Что такое эллипс: формула длины окружности эллипса

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

,

где A, B, C, D, E, F – числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Понятие алгебраической линии и её порядка

Линию на плоскости называют алгебраической, если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид , где , где – многочлен, состоящий из слагаемых вида (( – действительное число, – целые неотрицательные числа).

Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательныхстепенях.

Далее под словом «линия» по умолчанию будет подразумеваться алгебраическая линия на плоскости

Порядок линии равен максимальному значению входящих в него слагаемых.

По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат, поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах .

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид , где , где – произвольные действительные числа ( принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты не равны одновременно нулю.

Если , то уравнение упрощается до , то уравнение упрощается до , и если коэффициенты одновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой, которая представляет собой линию первого порядка.

Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемыееё уравнения и у каждого из них найти сумму степенейвходящих переменных.

Например:

слагаемое содержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое содержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое
содержит «игрек» в 1-й степени;
в слагаемом переменные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.

Далее из полученных чисел выбирается максимальное значение, в данном случае единица, – это и есть порядок линии.

Теперь разберёмся, почему уравнение задаёт линию второго порядка:

слагаемое содержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого содержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого
сумма степеней переменных: 1 + 1 = 2;
слагаемое содержит «игрек» во 2-й степени;
все остальные слагаемые – меньшей степени.

Максимальное значение: 2

Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, , то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
, то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
, где коэффициенты не равны одновременно нулю.

В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат , то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка, и т.д.

С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат.

Однако вернёмся к общему уравнению и вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола и вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола , уравнение которой легко привести к общему виду , и гипербола , и гипербола с эквивалентным уравнением . Однако не всё так гладко….

Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае не сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду.

Определение эллипсa

Определение.

Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек F1 и F2 равна постоянной величине. Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.

F1M1 + F2M1 = F1M2 + F2M2 = A1A2 = const

Рис.1 Рис.2

Формула площади эллипса через каноническое уравнение

Формула для нахождения площади в этом случае такова:

S=πabS=picdot acdot b

a,ba, b

– большая и мала полуоси эллипса, соответственно.

Решим задачу этим способом.

Пример

Дано уравнение эллипса. Найти его площадь и округлить ответ до целого числа.

x225+y29=1frac{x^2}{25}+frac{y^2}{9}=1

Решение

a2=25a^2=25


b2=9b^2=9

Для начала найдем длины наших полуосей:

a=a2=25=5a=sqrt{a^2}=sqrt{25}=5


b=b2=9=3b=sqrt{b^2}=sqrt{9}=3

Вычислим площадь:

S=πab=π5347S=picdot acdot b=picdot 5cdot 3approx47

(см. кв.)

Ответ: 47 см. кв.

Соотношения между элементами эллипса

Части эллипса (описание см. в разделе “Связанные определения”)
  • Малая полуось:
  • Расстояние от фокуса до ближней вершины:
  • Расстояние от фокуса до дальней вершины:
  • Связь фокального параметра с полуосями и фокусным расстоянием:
  • Связь фокального параметра с удалением вершин от данного фокуса:

Элементы эллипсa

F1 и F2фокусы эллипсa
Оси эллипсa.

А1А2 = 2aбольшая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B1B2 = 2bмалая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)

aбольшая полуось эллипса

bмалая полуось эллипса

O – центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)

Вершины эллипсa A1, A2, B1, B2 – точки пересечения эллипсa с малой и большой осями эллипсa
Диаметр эллипсa – отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через его центр.
Фокальное расстояние c – половина длины отрезка, соединяющего фокусы эллипсa.
Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a. Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 < e < 1, для круга e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.
e = c
a
Фокальные радиусы эллипсa r1, r2 – расстояния от точки на эллипсе до фокусов.
Радиус эллипсa R – отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.
R = ab = b
a2sin2φ + b2cos2φ 1 – e2cos2φ

где e – эксцентриситет эллипсa, φ – угол между радиусом и большой осью A1A2.

Фокальный параметр эллипсa p – отрезок который выходит из фокуса эллипсa и перпендикулярный большой полуоси:

p = b2
a
Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k – отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k < 1, для круга k = 1:
k = b
a

k = √1 – e2

где e – эксцентриситет.

Сжатие эллипсa (1 – k ) – величина, которая равная разности между единицей и эллиптичностью:

1 – k = a – b
a
Директрисы эллипсa – две прямые перпендикулярные фокальной оси эллипса, и пересекающие ее на расстоянии a e от центра эллипса. Расстояние от фокуса до директрисы равно p e .

Что такое канонический вид уравнения?

Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению «плоской» прямой, во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка «плоской» прямой, во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка и направляющий вектор .

Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй:

Связанные определения

  • Отрезок AB, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
  • Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
  • Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
  • Точка пересечения эллипса с осями называются его вершинами.
  • Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
  • Расстояния r1 и r2 от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
  • Расстояние называется фокальным расстоянием.
  • Эксцентриситетом эллипса называется отношение . Эксцентриситет (также обозначается ε) характеризует вытянутость эллипса изменяется. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
  • Фокальным параметром называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
  • Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: . Величина, равная называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент и эксцентриситет эллипса связаны соотношением

Расчет площади

  1. 1
    Определите большую полуось эллипса. Это расстояние от центра эллипса до его самого дальнего края. Большую полуось можно представить себе в качестве максимального радиуса эллипса. Измерьте длину большой полуоси или найдите ее значение в условии задачи. Обозначим эту длину буквой a.

    • Большая полуось эллипса является максимальным расстоянием от его центра до края.[1]
  2. 2
    Определите малую полуось эллипса. Как можно догадаться по названию, это кратчайшее расстояние от центра эллипса до его края. Обозначим это расстояние латинской буквой b.

    • Малая полуось эллипса расположена под прямым углом 90º к его большой полуоси, однако для нахождения площади нет необходимости определять углы.
    • Малая полуось эллипса является минимальным расстоянием от его центра до края.
  3. 3
    Умножьте на число “пи”. Площадь эллипса равна a x b x π. Поскольку перемножаются две величины с размерностью длины, в ответе получится длина в квадрате.

    • Например, если большая полуось эллипса равна 5 единицам, а малая 3 единицам длины, то получим площадь 5 x 3 x π, или около 47 квадратных единиц длины.
    • Если у вас нет под рукой калькулятора или на калькуляторе нет символа π, используйте вместо этого числа значение “3,14”.

Объяснение метода

  1. 1
    Вспомните формулу для площади круга. Вероятно, вы помните, что площадь круга равна πr2, то есть π x r x r. Что, если мы попробуем найти площадь круга по формуле для эллипса? В этом случае следует измерить радиус в одном направлении: r. Измерим радиус в перпендикулярном направлении, и тоже получим r. Подставим в формулу для площади эллипса: π x r x r! Таким образом, круг является лишь отдельной разновидностью эллипса.[2]
  2. 2
    Представьте, что круг сплющили. Вообразите, что круг сжали до формы эллипса. По мере сжатия один радиус круга будет становиться все короче, а второй — длиннее. При этом площадь круга будет оставаться неизменной, поскольку ничто не покидает его и не добавляется к нему.[3] Если мы используем в формуле для площади короткий и длинный радиусы, то “сплющивание” и “расширение” уравновесят друг друга, и в результате получится правильный ответ.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где a и b (a > b) – длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат – в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат – малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b, то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a, а окружность – частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a, если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy.

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия – эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось – это a = 5, меньшая полуось – это b = 4. Получаем каноническое уравнение эллипса:

.

Точки и и , обозначенные зелёным на большей оси, где

,

называются фокусами.

Число

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует “сплюснутость” эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

– если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5,

– если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат – каноническое уравнение эллипса:

.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13. Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

Классификация линий второго порядка

С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:

( и и – положительные действительные числа)

1) – каноническое уравнение эллипса;

2) – каноническое уравнение гиперболы;

3) – каноническое уравнение параболы;

4) мнимый эллипс;

5) – пара пересекающихся прямых;

6) – пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат);

7) – пара параллельных прямых;

8) – пара мнимых параллельных прямых;

9) – пара совпавших прямых.

У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение задаёт пару прямых задаёт пару прямых , параллельных оси , и возникает вопрос: а где же уравнение , и возникает вопрос: а где же уравнение , определяющее прямые , параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые , параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые представляют собой тот же самый стандартный случай , повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись , повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись в классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.

Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола.

Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова.

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

Обозначим фокусы эллипса  и . Допустим, что расстояние  – фокусное расстояние.

Рис. 1

 – фокусы .

– половина расстояния между фокусами;

– большая полуось;

– малая полуось.

Теорема:

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

Если точка находится на пересечении эллипса с вертикальной осью,  (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении эллипса с вертикальной осью,  (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, . Так как по определению сумма  – постоянная величина, то приравнивая получается:

Как построить эллипс?

Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:

Пример 1

Построить эллипс, заданный уравнением

Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду:

Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках . Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению .

В данном случае :
:

Отрезок называют большой осью эллипса;
отрезок называют большой осью эллипса;
отрезок
малой осьючисло называют большой полуосью эллипса;
число называют большой полуосью эллипса;
число
малой полуосью.
в нашем примере: .

Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения.

Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы. И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения.

По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями . Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки.

Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса на черновике быстренько выражаем:
на черновике быстренько выражаем:

Далее уравнение распадается на две функции:
– определяет верхнюю дугу эллипса;
– определяет верхнюю дугу эллипса;
– определяет нижнюю дугу эллипса.

Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция . Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами . Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами . Настукаем три смс-ки на калькуляторе:

Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.

Отметим на чертеже точки (красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
(красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:

Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?

Свойства

  • Фокальное свойство. Если F1 и F2 — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F1X) равен углу между этой касательной и прямой (F2X).
  • Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
  • Эволютой эллипса является астроида.

Эллипс также можно описать как

  • фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
  • ортогональную проекцию окружности на плоскость.
  • Пересечение плоскости и кругового цилиндра

Формула длины окружности эллипса

Хотя рассматриваемая фигура является достаточно простой, длину ее окружности точно можно определить, если вычислить так называемые эллиптические интегралы второго рода. Однако, индусский математик-самоучка Рамануджан еще в начале XX века предложил достаточно простую формулу длины эллипса, которая приближается к результату отмеченных интегралов снизу. То есть рассчитанное по ней значение рассматриваемой величины будет немного меньше, чем реальная длина. Эта формула имеет вид: P ≈ pi * [3 * (a+b) – √((3 * a + b) * (a + 3 * b))], где pi = 3,14 – число пи.

Например, пусть длины двух полуосей эллипса будут равны a = 10 см и b = 8 см, тогда его длина P = 56,7 см.

Каждый может проверить, что если a = b = R, то есть рассматривается обычная окружность, тогда формула Рамануджана сводится к виду P = 2 * pi * R.

Отметим, что в школьных учебниках часто приводится другая формула: P = pi * (a + b). Она является более простой, но и менее точной. Так, если ее применить для рассмотренного случая, то получим значение P = 56,5 см.


Источники


  • https://function-x.ru/curves_ellipse.html
  • http://www.mathprofi.ru/linii_vtorogo_poryadka_ellips_i_okruzhnost.html
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/ellipse/
  • https://studwork.org/spravochnik/matematika/ploshchad/ploshchad-ellipsa
  • https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1209999
  • https://ru.wikihow.com/%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C-%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C-%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%81%D0%B0
  • https://NauchnieStati.ru/spravka/ellips/
  • https://1Ku.ru/obrazovanie/10686-chto-takoe-ellips-formula-dliny-okruzhnosti-ellipsa/

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: