Экспоненциальное сглаживание с учетом тренда и сезонности

Гироскоп

Самый простой инклинометр может быть сконструирован либо с помощью гироскопа, либо с помощью акселерометра. В случае использования гироскопа, угол наклона устройства легко вычисляется с помощью дискретного интегрирования скорости его вращения. Напомним:

a(t) = a(t-1) + gx*dt [1]

где
a(t) — искомый угол наклона тела;
a(t-1) — угол тела в предыдущий момент времени;
gx — скорость вращения тела вокруг оси X — это то, что измеряет гироскоп;
dt — время, которое прошло с момента предыдущего вычисления угла a.

Однако, у MEMS гироскопа есть один коварный недостаток, который называется дрейфом нуля. Суть этого недостатка сводится к тому, что при остановке вращения гироскопа, он все еще будет показывать значение отличное от нуля.

Другим недостатком такого решения, является применение процедуры дискретного интегрирования, которая по своей природе дает неточный результат.

Третья проблема тесно связана с предыдущей. Она выражается в постепенном накоплении ошибки вычисления угла из-за ограниченной точности переменных микроконтроллера.

Какой же вывод можно сделать из сказанного выше? А такой, что если строить инклинометр только на основе гироскопа, он будет довольно неточен. Значит и стабилизация машины будет весьма посредственная. Убедиться в этом можно, посмотрев на график в конце 3-го раздела.

Как работает Альфа — Бета фильтр

Поскольку фильтрация по каждой из осей X, Y происходит независимо, проследим работу фильтра по одной из осей. Для нас важен физический смысл того, что происходит, поскольку математическая реализация фильтра довольно проста и занимает вместе с графикой не больше 100 строк на Питоне.

Итак, цель движется в горизонтальной плоскости, и мы наблюдаем ее положение скажем по оси X. Наблюдение сводится к измерению x координаты цели в каждый дискретный момент времени с равномерными промежутками. Возьмем отдельно взятый отсчет по координате x, допустим пусть это будет 1523 метра. В этот момент альфа — бета фильтр делает предположение, или прогноз, или предсказание о том, где цель очутится в следующий момент времени. Как он это делает?

Предположим, что в тот момент когда мы достигли отсчета 1523м, у нас уже было предсказание, сделанное в предыдущей точке о том, где мы будем находится. Скажем, до текущего отсчета альфа — бета фильтр предсказал нам что наша текущая позиция (а для него тогда это была наша будущая позиция) составит 1535м. Этого для нас, точнее для фильтра достаточно, и теперь внимательно наблюдаем за тем что он будет делать с настоящим и прошлым. Он из этого будет делать будущее.

Во-первых, фильтр тут же узнает о том, насколько он ошибся в своем прошлом прогнозе. Ошибка составит 12м. Фильтр постоянно старается минимизировать эту ошибку и улучшить точность предсказания. Для этого он берет долю альфа от этой ошибки и добавляет эту долю к своему прошлому прогнозу. После добавления это значение становится предсказанием будущего расстояния.

То же самое фильтр проделывает со скоростью движения, только для корректировки скорости используется параметр бета. Прогноз скорости также используется для определения будущего расстояния, поскольку цель проходит его за промежуток между двумя отсчетами.

Примеры прогнозов

Для аддитивной модели прогнозирования Хольта-Винтерса имеем следующую формулу для построения прогноза. Пусть ряд имеет сезонность периодом длиной p. Например, недельная сезонность p = 7. h в данном случае номер периода, на который строится прогноз. Например, для построения прогноза на 7 дней вперед, h принимает значения от 1 до 7.

Функция mod – это остаток от деления. Например, 23 mod 4 = 3.

Прогноз Y^ [t+h] на период номер h будет иметь вид

Y^[t+h] = a[t] + h * b[t] + s[t – p + 1 + (h – 1) mod p],

где a[t], b[t] и s[t] рассчитываются следующим образом

  1. a[t] = α (Y[t] – s[t-p]) + (1-α) (a[t-1] + b[t-1])
  2. b[t] = β (a[t] – a[t-1]) + (1-β) b[t-1]
  3. s[t] = γ (Y[t] – a[t]) + (1-γ) s[t-p]

Здесь α, β, γ являются параметрами, которые необходимо выбрать перед прогнозированием. Все они изменяются от 0 до 1. Первое уравнение описывает сглаженный ряд, второе уравнение служит для оценки тренда, третье уравнение для оценки сезонности. Пример модели Хольта-Уинтерса с аддитивной сезонной компонентой представлен на рисунке 1. Реальные продажи представлены черным цветом, красным – модель по методу Хольта-Уинтерса.

Рисунок 1. Хольт-Винтерс , аддитивная сезонная компонента.

Поближе можно рассмотреть пример модели, построенной этим методом на рисунке 2. Реальные продажи представлены черным цветом, красным – модель по методу Хольта-Винтерса.

Рисунок 2. Хольт-Винтерс, аддитивная сезонная компонента, 16 периодов

В мультипликативном случае сезонность не прибавляется, а умножается. Так, формула для прогнозирования примет вид

Y^[t+h] = (a[t] + h * b[t]) * s[t – p + 1 + (h – 1) mod p]

где a[t], b[t] и s[t] вычисляются следующим образом

  1. a[t] = α (Y[t] / s[t-p]) + (1-α) (a[t-1] + b[t-1])
  2. b[t] = β (a[t] – a[t-1]) + (1-β) b[t-1]
  3. s[t] = γ (Y[t] / a[t]) + (1-γ) s[t-p]

Точно также mod – остаток от деления. Аналогично, α, β, γ являются параметрами, которые необходимо выбрать перед прогнозированием. Все они изменяются от 0 до 1. Первое уравнение описывает сглаженный ряд, второе уравнение служит для оценки тренда, третье уравнение для оценки сезонности. Где присутствует сезонная компонента s, можно заметить вычитание изменилось на деление.

Пример построенной модели с помощью Хольта-Уинтерса с мультипликативной сезонной составляющей представлен на рисунке 3. Как можно заметить, амплитуда модели увеличилась.

Рисунок 3. Хольт-Уинтерс, мультипликативная модель

Параметры для этого примера были выбраны следующие:

  • α: 0.02627821
  • β: 0.04908298
  • γ: 0.2922139

Выбор параметров осуществлялся с помощью «умного» перебора и минимизации ошибки на известных данных – модели.

Пример прогноза можно видеть на рисунке 4. Прогноз начинается в желто-оранжевой области. Оранжевая область показывает доверительный интервал с 80% вероятностью, желтая с 95%. Доверительный интервал означает, что продажи с указанной вероятностью не выйдут за отмеченные границы (желтые или оранжевые на графике соответственно).

Рисунок 4. Пример прогноза методом Хольта-Винтерса.

Как рассчитать прогноз по методу Хольта Винтерса?

1. Рассчитываем экспоненциально-сглаженный ряд:

Lt=k*Yt/St-s+(1-k)*(Lt-1+Tt-1)

2. Определяем значение тренда:

Tt=b*(Lt – Lt-1)+(1-b)*Tt-1

3. Оцениваем сезонность:

St=q*Yt/Lt+(1-q)*St-s

4. Делаем прогноз:

Ŷt+p = (Lt + p *Tt)*St-s+p

Как сделать модель Хольта-Винтерса для расчета прогноза в Excel

Мы будем строить нашу модель прогноза по Хольту-Винтерсу на основе статистических данных, взятых из аэропорта. Используя модель, мы попытаемся предсказать, сколько пассажиров будет обслуживаться в иностранном регулируемом воздушном сообщении в 2016-2018 годах. В нашей таблице будут столбцы, указывающие: C(Yt) – количество обслуживаемых пассажиров, D(Ft) – оценка случайных вариаций модели, E(St) – оценка тренда для модели, F(Yt*) – истекший и реальный прогнозы, G(yt-yt*);H(|yt-yt*|);I((yt-yt*)2) – расчеты, необходимые для расчета показателей MAE, MSE, RMSE, MN – альфа и бета параметры для модели.

Составим прогноз с учетом всех правил модели Хольта-Винтерса используя формулы Excel и на основе полученных данных составим график для визуального анализа.

Возвращаясь к экспоненциальному сглаживанию…

В одной из предыдущих частей мы уже рассматривали простое экспоненциальное сглаживание. Напомним в двух словах основную идею. Мы предполагали, что прогноз для точки t определяется некоторым средним уровнем предыдущих значений. Причем способ, которым вычисляется прогнозное значение, определяется рекуррентным соотношением

В таком виде метод дает удобоваримые результаты, если ряд продаж достаточно стационарен — нет выраженного тренда или сезонных колебаний. Но на практике такой случай — счастье. Поэтому мы рассмотрим модификацию данного метода, позволяющую работать с трендовыми и сезонными моделями.

Метод получил название Холта-Винтерса по именам разработчиков: Холт предложил метод учета тренда, Винтерс добавил сезонность.

Для того, чтобы не только разобраться с арифметикой, но и «почувствовать», как это работает, давайте немного повернем нашу голову и подумаем, что меняется, если мы вводим тренд. Если для простого экспоненциального сглаживания оценка прогноза на p-й период делалась как

,

где Lt — усредненный по известному правилу «общий уровень», то при наличии тренда появляется поправка


,

то есть к общему уровню добавляется оценка тренда. Причем как общий уровень, так и тренд мы будем усреднять независимо по методу экспоненциального сглаживания. Что понимается под усреднением тренда? Мы предполагаем, что в нашем процессе присутствует локальный тренд, определяющий систематическое приращение на одном шаге — между точками t и t-1, например. И если для линейной регрессии линия тренда проводится по всей совокупности точек, мы считаем, что более поздние точки должны вносить больший вклад, поскольку рыночное окружение постоянно меняется и более свежие данные более ценны для прогноза. В итоге Холт предложил использовать уже два рекуррентных соотношения — одно сглаживает общий уровень ряда, другое сглаживает трендовую составляющую.


Методика сглаживания такова, что вначале выбираются начальные значения уровня и тренда, а затем делается проход по всему ряду, на каждом шаге вычисляя новые значения по формулам. Из общих соображений понятно, что начальные значения должны как-то определяться исходя из значений ряда в самом начале, однако четких критериев тут нет, присутствует элемент волюнтаризма. Наиболее часто используются два подхода в выборе «точек отсчета»:

  1. Начальный уровень равен первому значению ряда, начальный тренд равен нулю.

  2. Берем первые несколько точек (штук 5), проводим линию регрессии (ax+b). Начальный уровень задаем как b, начальный тренд как a.

По большому счету этот вопрос не является принципиальным. Как мы помним, вклад ранних точек мизерный, поскольку коэффициенты очень быстро (по экспоненте) убывают, так что при достаточной длине ряда исходных данных мы скорее всего получим практически идентичные прогнозы. Разница, однако, может проявиться при оценке ошибки модели.

На этом рисунке показаны результаты сглаживания при двух выборах начальных значений. Здесь хорошо видно, что большая ошибка второго варианта связана с тем, что начальное значение тренда (взятое по 5 точкам) получилось явно завышенным, поскольку мы не учитывали рост, связанный с сезонностью.

Поэтому (вслед за господином Винтерсом) усложним модель и будем делать прогноз с учетом сезонности:


В данном случае мы, как и раньше, предполагаем мультипликативную сезонность. Тогда наша система уравнений сглаживания получает еще одну составляющую:




где s — лаг сезонности.

И вновь заметим, что выбор начальных значений, как и величин постоянных сглаживания — вопрос воли и мнения эксперта.

Для действительно важных прогнозов, однако, можно предложить составить матрицу всех комбинаций постоянных и перебором выбрать такие, которые дают меньшую ошибку. О методах оценки ошибочности моделей мы поговорим немного позже. А пока займемся сглаживанием нашего ряда по методу Холта-Винтерса. Начальные значения будем в данном случае определять по следующему алгоритму:

  1. Берем первые 12 точек ряда, чтобы нивелировать сезонность.

  2. Проводим линию регрессии

  3. Задаем начальное значение уровня 1021,41

  4. Задаем начальное значение тренда 26,24

  5. Задаем начальные значения 12ти сезонных коэффициентов как факт, деленный на значение регрессии в точке

Теперь начальные значения определены.

  1. Идем по процедуре, получая сглаженный уровень
  2. Для интереса нарисуем модель с учетом сезонности

  3. Создаем прогноз уровня на 12 точек вперед

  4. И прогноз с учетом сезонности

Результаты всего этого безобразия:

2. Как оценить точность модели Хольта – Винтерса и подобрать оптимальные коэффициенты сглаживания для ряда, тренда и сезонности.

1. Рассчитываем прогноз на 1 период вперед для каждого месяца , когда продажи нам известны (во вложенном файле столбец “прогноз для оценки модели “).

Прогноз для оценки модели в первом и втором году (сезоне) = значению экспоненциально-сглаженного ряда за предыдущий период + значение тренда за предыдущий период. (значение тренда мы не умножаем на p, т.к. прогноз делаем на 1 период, а в этом случае p=1).

Прогноз для третьего года (сезона) = (значение экспоненциально-сглаженного ряда за предыдущий период + значение тренда за предыдущий период) умножить на коэффициент сезонности этого периода в предыдущем сезоне.

2. Рассчитаем ошибку модели = из фактических данных вычитаем прогноз на этот период.

3. Определим отклонение ошибки модели от прогнозной модели = Отношение ошибки модели в квадрате к фактическому значению в квадрате.

4. Рассчитаем точность прогноза = единица минус среднее значение отклонений.

Для подбора коэффициентов сглаживания ряда, тренда и сезонности k, b и q, при которых прогноз будет максимально точным, нам необходимо последовательно перебрать все значения k, b и q в диапазоне от 0 до 1 и найти такое сочетание, при котором точность прогноза будет максимальна приближена к 100%.

Обращаю ваше внимание, что программа для прогнозирования Forecast4AC PRO умеет
  1. автоматически выбирать экспоненциальную модель прогноза (простое экспоненциальное сглаживание, модель Хольта или Хольта-Винтерса);
  2. автоматически подбирать коэффициенты сглаживания ряда, тренда и сезонности

для каждого ряда значений. значительно экономя ваше время и увеличивая точность прогнозирования.

Описание модели Хольта-Уинтерса

Более сложный метод прогнозирования, чем рассмотренные ранее методы скользящего среднего и экспоненциального сглаживания. Метод может учитывать сезонность, что немаловажно, и общий тренд.

Модель Хольта-Уинтерса является расширением метода Хольта до трехпараметрического экспоненциального сглаживания. Это значит, что метод характеризуется тремя параметрами, которые необходимо выбрать, чтобы получить прогноз. Выбор этих параметров может производится путем простого перебора. Потом смотрим на полученные «прогнозы» в прошлом – модель, выбираем те параметры, при которых модель наиболее точно повторяет реальность.

Модели Хольта-Винтерса могут учитывать сезонность в мультипликативном и аддитивном вариантах. Грубо говоря, мультипликативный случай представляет сезонность как произведение, а аддитивный как сумму.

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ

В результате освоения данной главы студент должен: знать • основные понятия, принципы, методы и инструменты анализа и прогнозирования эволюционных социально-экономических процессов; • современные теории краткосрочного прогнозирования эволюционных процессов; • характеристики и свойства модели экспоненциального

Сравнение прогнозов по модели Хольта-Винтерса с Forecast NOW!

Для сравнения с алгоритмом Forecast NOW! были построены прогнозы методом Хольта-Винтерса с различными параметрами, выбиралась лучшая модель, исходя из ошибки на известных данных (модели). Для выбора оптимальных параметров была написана программа на языке программирования R. Ошибки прогнозирования (RMSE) представлены в таблице 1.

На рисунках 5 и 6 представлен график сравнения Forecast NOW! и Хольта-Уинтерса (мультипликативная сезонная модель и аддитивная). По оси Х отложены товары, по оси Y на сколько алгоритм Forecast NOW! лучше или хуже алгоритма Хольта-Уинтерса в процентах. Положительный процент показывает, что Forecast NOW! лучше на обозначенное число процентов, отрицательный – хуже. Как можно видеть из графика почти во всех случаях алгоритм Forecast NOW! оказывается значительно лучше (в среднем на 10-20%), то есть предоставляет более точный прогноз. А более точный прогноз в свою очередь позволяет точнее планировать необходимые товарные запасы.

Таблица 1. Ошибки прогнозирования методов Хольта-Уинтерса и Forecast NOW!

Рисунок 5. Процентное улучшение качества прогноза Forecast NOW! по отношению к алгоритму Хольта-Уинтерса с мультипликативной моделью сезонности

Рисунок 6. Процентное улучшение качества прогноза Forecast NOW! по отношению к алгоритму Хольта-Винтерса с аддитивной моделью сезонности.

Акселерометр

Акселерометр — это прибор, позволяющий измерять ускорение тела под действием внешних сил. С помощью этого датчика тоже можно вычислить углы наклона тела. Подробно о том как это сделать расскажет наш урок про акселерометр. В частности, угол наклона тела a вокруг оси тела находится при помощи простой формулы:

a = 90 - arccos(Gyт) [2]

Здесь Gyт — это проекция ускорения свободного падения на ось акселерометра Xт. Именно это значение возвращает нам датчик. Важно помнить, что величина Gyт должна измеряться в единицах земной гравитации. К примеру, если датчик повернуть осью Y вертикально, то Gyт будет равен единице (G = 1 земная гравитация).

В чем минус акселерометра? К сожалению, любое воздействие внешней силы на датчик будет вносить ошибку в вычисление угла наклона. Такой внешней силой может быть вибрация летательного аппарата, ветер или тяга двигателей. Частично снять воздействие внешних сил можно с помощью фильтра низких частот, но побочным эффектом подобной обработки сигнала будет сильное уменьшение быстродействия инклинометра.

3. Комплементарный фильтр

В итоге у нас имеется два замечательных прибора, каждый из которых позволяет рассчитать углы наклона машины относительно поверхности земли. Но в случае гироскопа точность таких расчетов снижается из-за дрейфа нуля и ошибок интегрирования. В случае же акселерометра слишком велика чувствительность к внешним воздействиям.

Возникает естественное желание объединить показания этих двух устройств для устранения их недостатков. Сделать такое объединение позволяет комплементарный фильтр, который немного меняет формулу для интегрирования показаний гироскопа:

a(t) = (1-K) * (a(t-1) + gx*dt) + K * acc [3]

Здесь
a(t) — искомый угол наклона, учитывающий показания акселерометра;
a(t-1) — угол тела в предыдущий момент времени;
gx — скорость вращения тела вокруг оси X;
dt — время, которое прошло с момента предыдущего вычисления угла a;
acc — значение угла наклона, полученное при помощи акселерометра;
K — коэффициент комплементарного фильтра.

Как видно из формулы, итоговая величина угла наклона представляет собой сумму интегрированного значения гироскопа и мгновенного значения акселерометра. По сути, главная задача комплементарного фильтра здесь в том, чтобы с помощью показаний акселерометра нивелировать дрейф нуля гироскопа и ошибки дискретного интегрирования. Указанное выражение именно это и делает. На каждом шаге интегрирования (по сути шаге цикла управления машиной) мы корректируем интеграл угла наклона с помощью показаний акселерометра. Сила этой коррекции определяется коэффициентом фильтра K.

Выбор коэффициента K зависит от величины дрейфа нуля гироскопа, от скорости накопления ошибок вычисления и от условий использования машины. Так, слишком большое значение K приведет к тому, что на результат работы фильтра будет сильно влиять вибрация корпуса беспилотника. Слишком малое значение K может оказаться недостаточным, чтобы ликвидировать дрейф нуля гироскопа. Как правило, коэффициент комплементарного фильтра подбирается вручную для каждого инклинометра исходя из вышеуказанных условий. Например, для любительских мультикоптеров K может принимать значение в диапазоне от 0,05 до 0,01.

Результат работы комплементарного фильтра хорошо видно на следующем графике.

Синий график — это угол, вычисленный по показаниям гироскопа. Хорошо видно, что этот угол постепенно увеличивается (он может и уменьшаться) — дрейфует.

Красный график — это угол по акселерометру. Графики получены при работе устройства в руке человека, представляете какой будет шум от вибрации двигателей мультикоптера.

Наконец, зеленый график — это угол, вычисленный при помощи комплементарного фильтра. Видно, что угол совпадает с реальным углом наклона и практически не имеет шума.

Как рассчитать прогноз по методу Хольта:

  1. Рассчитываем экспоненциально-сглаженный ряд;
  2. Определяем значение тренда;
  3. Делаем прогноз.

1. Рассчитываем экспоненциально-сглаженный ряд:

Lt=k*Yt+(1-k)*(Lt-1-Tt-1), где

  • Lt – сглаженная величина на текущий период;
  • k – коэффициент сглаживания ряда;
  • Yt – текущие значение ряда (например, объём продаж);
  • Lt-1 – сглаженная величина за предыдущий период;
  • Tt-1 – значение тренда за предыдущий период;

Lt (Сглаженная величина текущий период) = k(коэффициент сглаживания ряда)* Yt(текущие значение ряда (например, объём продаж))+(1-коэффициент сглаживания ряда)*( Lt-1(сглаженная величина за предыдущий период) -Tt-1(тренд за предыдущий период)

Коэффициент сглаживания ряда k задается вами в ручную и находится в диапазоне от 0 до 1.

Для первого периода в начале данных экспоненциально-сглаженный ряд равен первому значению ряда (например, объему продаж за первый месяц) L1=Y1

В приложенном файле вводим значение L первого периода и рассчитываем сглаженную величину для всего массива данных:

2. Определяем значение тренда

Tt=b*(Lt – Lt-1)+(1-b)*Tt-1, где:

  • Tt – значение тренда на текущий период;
  • b – коэффициент сглаживания тренда;
  • Lt – экспоненциально сглаженная величина за текущий период;
  • Lt-1 – экспоненциально сглаженная величина за предыдущий период;
  • Tt-1 – значение тренда за предыдущий период.

Tt(значение тренда на текущий период)=b(коэффициент сглаживания тренда)*(Lt (экспоненциально сглаженная величина за текущий период)- Lt-1(экспоненциально сглаженная величина за предыдущий период))+(1-b(коэффициент сглаживания тренда))*Tt-1 (значение тренда за предыдущий период)

Коэффициент сглаживания тренда b задается вами в ручную и находится в диапазоне от 0 до 1.

Значение тренда для первого периода равно 0 (T1 =0);

В приложенном файле рассчитаем значения тренда:

3. Делаем прогноз по методу Хольта

Прогноз на p периодов вперед равен:

Ŷt+p = Lt + p *Tt, где

  • Ŷt+p – прогноз по методу Хольта на p период;
  • Lt – экспоненциально сглаженная величина за последний период;
  • p – порядковый номер периода, на который делаем прогноз;
  • Tt – тренд за последний период.

Ŷt+p (Прогноз по методу Хольта)= Lt (экспоненциально сглаженная величина за последний период)+ p (количество периодов вперед, на которое делаем прогноз) *Tt (тренд за последний период)

Во вложенном файле сделаем прогноз на 3 месяца.

Для этого заполним номера периодов, на 3 месяца вперед

Вводим формулу прогноза в ячейку. Для этого к экспоненциальному ряду за последний период прибавляем значение тренда за последний период, умноженное на номер периода для прогноза. Также зафиксируем ссылку на последнее значение экспоненциально сглаженного ряда и тренда — для этого выделяем ссылку и нажимаем F4:

Протягиваем формулу на 3 периода вперед, получаем прогноз:

Отмечу, что при появлении новых данных прогноз по методу Хольта необходимо пересчитывать. Также при подготовке данных для прогноза всегда стоит очищать данные от факторов, которые в прогнозном периоде не повторятся (например, прирост продаж по мероприятию по стимулированию сбыта) или учитывать запланированные факторы, которые дадут дополнительный прирост продаж (например, ввод продукции в розничную сеть).

Предсказание положения цели и траекторная обработка

Обратимся к диаграмме в начале статьи. На ней показаны результаты моделирования движения цели в горизонтальной плоскости. Альфа — бета фильтр использовался в двух каналах X, Y независимо. Измеренные, или реальные положения цели обозначены зелеными треугольниками, а предсказанные фильтром положения цели — красными кружочками. Цель движется с левого верхнего угла к правому нижнему углу диаграммы.

Поскольку в начале работы альфа — бета фильтра предыдущее положение цели неизвестно, ее координаты задаются нулевыми. Соответственно, с самого начала работы фильтра возникает максимальная ошибка, которую обозначает самый большой эллипс на рисунке. Эта ошибка — разница между текущим положением цели и нулевой координатой. На втором шаге фильтр уже существенно улучшает прогноз и ставит его в левую верхнюю часть диаграммы, но ошибка обозначенная эллипсом поменьше по прежнему высока. Видно, как за первые четыре итерации значения ошибок неуклонно снижаются и к началу выхода траектории цели на движение вдоль оси X фильтр предсказывает будущее значение красным кружком практически там же, где будет находиться цель. По мере дальнейшего движения цели и роста крутизны маневра, начинает наблюдаться отставание предсказанного значения от реального. Для того чтобы сократить это отставание, фильтру не хватает работы по второй производной движения — по ускорению. Ускорение учитывается в более сложном альфа — бета — гамма фильтре, где параметр гамма определяет вклад ускорения цели в предсказание положения.

На основе предсказания строится траекторная обработка. Цель такой обработки — логически связать вместе все отсчеты (plots) и назначить их принадлежащему одному треку цели (track). Если каждый плот попадает в предсказанную область, то его с высокой степенью вероятности можно считать принадлежащему этому треку.

Формулы для модели составления прогноза Хольта-Винтерса в Excel

Теперь, согласно сделанным в начале предположениям, приведем начальные значения для параметров F1 и S1. В нашем случае это будет y1 = F1 и y2-y1 = S1. Далее мы вводим альфа и бета параметры, временно принимая их значения равными 0,4 (позже мы будем оптимизировать данные с помощью инструмента «Поиск решения» Солвера).

На следующем шаге мы вычисляем Ft и St одновременно в соответствии с приведенными выше формулами, перетаскивая формулы вниз.

Перейдем к столбцу F, в котором с помощью формул рассчитываем, что для 1998-2015 годов прогнозы истекли, а для 2016-2018 годов – реальные прогнозы.

Мы заполняем столбцы GI, которые в данный момент будут использоваться для расчета фактической ошибки прогнозов с истекшим сроком (для получения абсолютного значения в столбце H мы можем использовать функцию Excel =ABS()).

Затем, используя функцию =СРЗНАЧ() и =КОРЕНЬ(), мы вычисляем вышеуказанные индикаторы ошибок MAE, MSE и RMSE.

Когда мы уже рассчитали показатели, мы можем приступить к оптимизации альфа- и бета-параметров, чтобы индекс MAE был как можно меньше. Для этого мы будем использовать аналитический инструмент в Excel «Поиск решения», доступный на вкладке «ДАННЫЕ» в группе «Анализ». Параметры поиска решения устанавливаются так, чтобы минимизировать индекс MAE, изменяя ячейки, помеченные как альфа и бета, закрытые в интервале [0-1].

После нажатия кнопки «Найти решение» и сохранения полученных результатов параметры альфа- и бета-сглаживания должны быть a = 1 и b = 0.228657122399511. На этом этапе мы можем предварительно проверить, может ли наша модель использоваться в качестве эффективного инструмента прогнозирования. Для этой цели мы рассчитываем коэффициент приемлемости прогноза, определенный формулой RMSE / фактическим прогнозом для последующих периодов T16-T18. В нашем случае на 2016 год это 5%, поэтому прогноз можно считать достоверным. Наконец, стоит визуализировать весь анализ на графике, принимая реальные значения и прогнозы в виде серии данных.

Когда у нас есть прогноз, ничего не остается делать, кроме как следить за новыми данными, чтобы проверить, имеет ли смысл использовать модель. Из того, что можно найти на одном из информационных порталов о авиаперелетах данной компании, общее количество ее обслуженных пассажиров в 2017 году составило более 4,6 млн. человек. Поэтому высокая вероятность, что прогнозируемые нами значения работают на практике.

Метод экспоненциального сглаживания

Экспоненциальное сглаживание – способ сглаживания временных рядов, вычислительная процедура которого включает обработку всех предыдущих наблюдений, при этом учитывается устаревание информации по мере удаления от прогнозного периода. Иначе говоря, чем “старше” наблюдение, тем меньше оно

Заключение

Удивительно, но такой простой метод дает на практике очень неплохие результаты, вполне сравнимые с гораздо более “математическими” – например, с линейной регрессией. И при этом реализация экспоненциального сглаживания в информационной системе на порядок проще.

Источники


  • https://robotclass.ru/articles/complementary-filter/
  • http://www.nazim.ru/1054
  • https://fnow.ru/algorithm-comparison/metod-holta-wintersa
  • https://4analytics.ru/prognozirovanie/prognoz-po-metodu-eksponencialnogo-sglajivaniya-s-trendom-i-sezonnostyu-xolta-vintersa.html
  • https://exceltable.com/shablony-skachat/grafik-modeli-holta-vintersa
  • http://scm.center/HoltWinters
  • https://studme.org/52034/ekonomika/model_brauna_model_eksponentsialnogo_sglazhivaniya
  • https://4analytics.ru/prognozirovanie/prognoz-po-metodu-eksponencialnogo-sglajivaniya-xolta.html

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: