Формула площади квадрата, как посчитать площадь

Содержание
  1. Как посчитать диагональ квадрата?
  2. Формула вычисления площади
  3. Основные свойства квадрата
  4. Площадь поверхности куба, онлайн расчет
  5. Находим площадь по стороне квадрата, формула расчёта
  6. Пример расчёта
  7. Как найти площадь квадрата по диагонали, формула расчёта
  8. Пример расчёта площади по диагонали
  9. Формулы для четвёртой степени
  10. Площади фигур
  11. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности
  12. Примеры задач
  13. Как найти площадь квадрата если известен периметр формулы, пример расчёта
  14. Вычисление диагонали квадрата по известной стороне
  15. Определения и соглашения
  16. Таблица с формулами площади квадрата
  17. Неполный квадрат разности
  18. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности
  19. Площадь квадрата
  20. Формулы определения площади квадрата
  21. Другие свойства диагоналей квадрата
  22. Формула площади квадрата через периметр
  23. Вывод

Как посчитать диагональ квадрата?

Первый способ – это всем уже известная и привычная теорема Пифагора. В квадрате все углы прямые, а значит, диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника и сама является их гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Второй способ – это простая формула, которая свойственна исключительно квадратам, и ее нужно просто запомнить. Как известно, все стороны квадрата равны, и именно поэтому математики вычислили следующую формулу для нахождения его диагонали: она равна произведению стороны на корень из двух.

Безусловно, лучше всего просто запомнить формулу длины диагонали квадрата и пользоваться ею всегда, ведь это гораздо быстрее и удобнее. Особенно это чувствуется при решении задач в буквенном виде, где вместо целых больших подкорневых выражений можно обойтись лишь одним произведением.

Формула вычисления площади

1. По длине стороны:

Площадь квадрата (S) равняется квадрату длины его стороны:

S = a2

Данная формула следует из того, что квадрат является частным случаем прямоугольника, площадь которого находится путем умножения его смежных сторон:

S = a*b

А т.к. все стороны квадрата равны, то вместо стороны b мы снова подставляем в формулу сторону a, т.е. S = a*a = a2.

2. По по длине диагонали

Площадь квадрата равняется половине квадрата длины его диагонали:

S = d2/2

Соотношение стороны и диагонали квадрата: d=a√2.

Основные свойства квадрата

Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.
1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:

AB = BC = CD = AD

2. Противоположные стороны квадрата параллельны:

AB||CD, BC||AD

3. Все четыре угла квадрата прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:

AC = BD

6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры
7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:
ACBD AO = BO = CO = DO = d
2
8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности
9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Площадь поверхности куба, онлайн расчет

Найти площадь поверхности куба по формуле через длину его ребра. Площадь поверхности куба, онлайн расчет

Находим площадь по стороне квадрата, формула расчёта

Формула: S=A²

S- площадь квадрата

А- сторона квадрата

Пример расчёта

А= 10см
Рассчёт будет таким:
S = 10²=10×10=100
Ответ: площадь квадрата равна 100см

Как найти площадь квадрата по диагонали, формула расчёта

Формула: S=D²/2

S- площадь квадрата

D- диагональ квадрата

Пример расчёта площади по диагонали

Диагональ D= 30см
Рассчёт будет таким:
S = 30²/2=(30×30)/2 =450см
Ответ: площадь квадрата равна 450см

Формулы для четвёртой степени

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(ab)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4
a4b4 = (ab)(a + b)(a2 + b2)

Площади фигур

Расчет площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, ромба, круга (площадь фигур). Площади фигур

Формула площади квадрата через радиус описанной окружности

{S= 2 cdot R ^2}

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь квадрата, сторона которого равна 7 см.

Решение:
Используем формулу по длине стороны, т.е. S = 72 = 49 см2.

Задание 2
Найдите площадь квадрата, диагональ которого равняется 4 см.

Решение 1:
Воспользуемся второй формулой (по длине диагонали): S = 42/2 = 8 см2.

Решение 2:
Мы можем выразить длину стороны через диагональ: a = 4/√2. И тогда, используя первую формулу, S = (4/√2)2 = 8 см2.

Как найти площадь квадрата если известен периметр формулы, пример расчёта

Формула: S=(Р/4)²

S- площадь квадрата

P- периметр квадрата

Вычисление диагонали квадрата по известной стороне

Самым простым способом является вычисление диагонали, если известна сторона квадрата. Здесь действует широко известная теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Запишем эту формулу: c^2 = a^2+b^2.

Отметим, что в нашем случае диагональ квадрата есть гипотенуза треугольника с равными катетами. Перепишем формулу исходя из наших условий: d^2 = a^2+a^2. Преобразуем, получим: d^2 = 2*a^2. Следующим шагом извлечём квадратный корень, получится: d = rad2*a. Это и есть наша конечная формула.

Рассмотрим вычисление на примере. Пусть a = 64. Подставим наше значение в формулу. Получим d = 64*rad2. Это и есть ответ.

Определения и соглашения

  1. Квадрат — это четырёхугольник с равными сторонами, все углы которого являются прямыми, то есть равны 90 градусов. Данная фигура одновременно и ромб, и прямоугольник, поэтому сохраняет все их свойства.
  2. Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В статье её будем обозначать буквой d.
  3. Противоположными называются вершины, не лежащие на одной стороне.
  4. Корень квадратный из числа, это такое число, которое при умножении само на себя даст исходное. В геометрии используются только положительные значения квадратного корня. В статье его будем обозначать сокращением rad (от латинского radical — корень).
  5. Сторону квадрата будем обозначать буквой a.

Как понятно из вышеизложенного, у квадрата только две диагонали. Поскольку квадрат является прямоугольником и сохраняет его свойства, то они равны между собой. Рассмотрим различные методы нахождения её длины.

Таблица с формулами площади квадрата

эскиз формула
1 сторона
2 диагональ
3 периметр
4 отрезок проведенный из вершины квадрата к середине противоположной стороны
5 радиус вписанной окружности
6 радиус описанной окружности

Неполный квадрат разности

Выражение:

a2 – 2ab + b2

Это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:

a2ab + b2,

которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности

{S= 4 cdot r ^2}

Площадь квадрата

Определение.

Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.

Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.

Формулы определения площади квадрата

1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:

S = a2

2. Формула площади квадрата через периметр квадрата:
S = P2
16
3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:
S = d2
2
4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:

S = 2R2

5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:
S = Do2
2
6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:

S = 4r2

7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:

S = Dв2

8. Формула площади квадрата через длину отрезка l:
S = l 2 16
5

Другие свойства диагоналей квадрата

Помимо знания того, как найти диагонали квадрата, нужно также знать и их свойства. Основные из них:

  • Диагонали равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
  • При пересечении образуют прямые углы.
  • Делят квадрат на равные треугольники.

Формула площади квадрата через периметр

 

Вывод

Вопросом, как посчитать диагонали квадрата, обычно задаются ученики, пропустившие эту тему в школе. Однако такие фундаментальные правила математики должен знать каждый! Желательно решать как можно быстрее, и для этого необходимы знания сокращенных формул. Все это предельно просто и легко, но вместе с тем является базой, необходимой для решения в дальнейшем гораздо более сложных задач. И важную часть этой базы занимает квадрат.


Источники


  • https://1Ku.ru/obrazovanie/65472-kak-poschitat-diagonal-kvadrata-formula-dliny-diagonali-kvadrata/
  • https://MicroExcel.ru/ploshhad-kvadrata/
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/square/
  • https://www.calc.ru/Ploshchadi-Figur-Ploshchad-Kvadrata.html
  • https://home-my.ru/kak-rasschitat-ploshhad-kvadrata-cherez-diagonal-ili-perimetr
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/multiplication_formula/
  • https://www.calc.ru/ploshchad-kvadrata.html
  • https://mnogoformul.ru/formuly-ploshhadi-kvadrata
  • https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/formuly-i-sposoby-kak-nahodit-diagonal-kvadrata
  • https://doza.pro/art/math/geometry/area-square
  • https://naobumium.info/algebra/formuly_sokr_umnojeniya.php

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: