Формулы двойного угла, доказательство, примеры

Формулы тройного угла.

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α

cos 3α = 4cos³ α – 3cos α

tg 3α = (3tg α – tg³ α) ÷ (1 – 3tg² α)

ctg 3α = (3ctg α – ctg³ α) ÷ (1 – 3ctg² α)

Формулы косинуса двойного угла

Далее приведены формулы (тождества) для преобразования косинуса двойного угла.
Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла
Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица
Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла
Зачем это нужно.
Указанные здесь преобразования (тождества) часто помогают получить точное значение для углов, которые не всегда можно найти в таблице часто встречающихся значений тригонометрических функций.
Например, нам необходимо вычислить значение косинуса 120 градусов.
Для этого, возьмем значение косинуса 60 градусов. Его значение известно.
Если представить выражение cos 120 как косинус двойного угла
cos 120º = cos (2 * 60º)
оказывается, можно получить и точное значение для этого угла, применяя указанные выше формулы.
cos 120º = cos (2 * 60º)
cos 120º = 2 cos2 60º – 1
Мы привели косинус угла, значение которого мы “не знаем”, к значению, которое нам известно.
Поскольку значение cos 60 = 1/2 , то вычислим полученное выражение:
2 cos2 60º – 1 = 2 (1/2)2 – 1 = 2 х 1/4 – 1 = -1/2
таким образом
cos 120º = -1/2
По аналогии, применяя формулы косинуса двойного угла, мы можем как решать тригонометрические уравнения, так и находить значения двойных углов тригонометрических функций на основании уже известных нам значений.
 

Список формул двойного угла

Прежде чем дать все формулы двойного угла напомним, что в тригонометрии при записи синуса, косинуса, тангенса и котангенса кратных углов вида , где n – некоторое натуральное число, аргумент принято записывать без скобок. При этом, например, запись понимают как . Также стоит напомнить, что запись понимается как , аналогичные записи используются и для косинуса, и для тангенса, и для котангенса в степени n.

Теперь запишем все формулы двойного угла в виде списка.

Заметим, что формулы синуса и косинуса двойного угла справедливы для любого угла . Формула тангенса двойного угла имеет место для любых , при которых определен (то есть, при , где z – любое целое число). В свою очередь формула котангенса двойного угла справедлива для любых , при которых имеет место (то есть, при ).

Привлекает внимание тот факт, что для косинуса двойного угла записаны три формулы. Все они равносильны, и употребляются примерно одинаково часто в зависимости от требований конкретной задачи.

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

sin2α + cos2α = 1

Формулы общего вида

Определения
Синус угла α (обозн. sin(α)) — отношение противолежащего от угла α катета к гипотенузе.
Косинус угла α (обозн. cos(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к гипотенузе.
Тангенс угла α (обозн. tg(α)) — отношение противолежащего к углу α катета к прилежащему. Эквивалентное определение — отношение синуса угла α к косинусу того же угла — sin(α)/cos(α).
Котангенс угла α (обозн. ctg(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к противолежащему. Эквивалентное определение — отношение косинуса угла α к синусу того же угла — cos(α)/sin(α).
Другие тригонометрические функции: секанс — sec(α) = 1/cos(α); косеканс — cosec(α) = 1/sin(α).
Примечание
Мы специально не пишем знак * (умножить), — там, где две функции записаны подряд, без пробела, он подразумевается.
Подсказка
Для вывода формул косинуса, синуса, тангенса или котангенса кратных (4+) углов, достаточно расписать их по формулам соотв. косинуса, синуса, тангенса или котангенса суммы, либо сводить к предыдущим случаям, сводя до формул тройных и двойных углов.

Формулы приведения.

Таблица всех формул приведения.

Функция / угол в рад.

π/2 – α

π/2 + α

π – α

π + α

3π/2 – α

3π/2 + α

2π – α

2π + α

sin

cos α

cos α

sin α

– sin α

– cos α

– cos α

– sin α

sin α

cos

sin α

– sin α

– cos α

– cos α

– sin α

sin α

cos α

cos α

tg

ctg α

– ctg α

– tg α

tg α

ctg α

– ctg α

– tg α

tg α

ctg

tg α

– tg α

– ctg α

ctg α

tg α

– tg α

– ctg α

ctg α

Функция / угол в °

90° – α

90° + α

180° – α

180° + α

270° – α

270° + α

360° – α

360° + α

Подробное описание формул приведения.

Тангенс двойного угла

Доказательство этой формулы аналогично, поэтому эту формулу мы предлагаем вам доказать самостоятельно :).

Все формулы тригонометрии на одном листе

На этой картинке собраны все формулы тригонометрии для печати. Листо можно распечатать и использовать при решении задач ЕГЭ или вырезать таблицы и использовать как шпаргалку. Распечатанный лист можно применять как справочный материал при решении задач по тригонометрии в 10 и 11 классе.

 

Формулы сложения.

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α – β) = sin α · cos β – sin β · cos α

cos (α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β

cos (α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 – tg α · tg β)

tg (α – β) = (tg α – tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β – ctg α)

ctg (α – β) = (ctg α · ctg β – 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Формула Название формулы
Сумма синусов
Разность синусов
Сумма косинусов
Разность косинусов
Сумма тангенсов
Разность тангенсов
Сумма синусов
Разность синусов
Сумма косинусов
Разность косинусов
Сумма тангенсов
Разность тангенсов

Примеры использования формул двойного угла

В этом пункте мы рассмотрим несколько примеров применения формул двойного угла. При этом мы не ставим целью перечислить все сферы, где применяются формулы двойного угла, мы лишь хотим показать их использование на конкретных примерах.

Для начала проверим справедливость формул двойного угла для , так как мы знаем точные значения тригонометрических функций для углов и . Итак, проверим, что и .

Мы знаем, что и , тогда , и . Приведенные вычисления подтверждают справедливость формул двойного угла для .

Понятно, что формулы двойного угла в основном используются для преобразования тригонометрических выражений.

В заключение остановимся на примерах применения формул двойного угла, когда угол задан в виде, отличном от . К примеру, можно ли применить формулу двойного угла при аргументе равном ? Конечно можно. В этом случае в качестве угла принимаем , тогда . Таким образом, формула двойного угла, например, для косинуса, даст равенство .

И разберем еще один пример на эту тему.

Пример.

Представьте через тригонометрические функции угла .

Решение.

Достаточно хорошо видно, что . Таким образом, применив последовательно два раза формулы двойного угла, мы сможем выразить через тригонометрические функции угла .

Сначала применяем формулу синуса двойного угла, имеем . А теперь к и применяем соответствующие формулы двойного угла:

Ответ:

.

Доказательство формул двойного угла


Формулы двойного угла доказываются достаточно просто – они следуют из формул сложения. Действительно, возьмем формулы синуса суммы и косинуса суммы , и положим в них . При этом получим и , так доказаны формулы синуса и косинуса двойного угла вида и .

Две другие формулы косинуса двойного угла вида и сводятся к формуле , если в них единицу заменить на сумму квадратов синуса и косинуса на основе основного тригонометрического тождества . Так и .

Осталось доказать формулы тангенса и котангенса двойного угла. Для этого используем равенства и , а также формулы синуса и косинуса двойного угла. Имеем и . Осталось числитель и знаменатель первой дроби разделить на (здесь нужно заметить, что при тех значениях , при которых определен , поэтому мы избежим деления на нуль), а второй – на ( при тех значениях , при которых определен ). Осталось лишь завершить доказательство формул двойного угла для тангенса и котангенса:

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формула Название формулы
Выражение квадрата синуса
через косинус двойного угла
Выражение квадрата косинуса
через косинус двойного угла
Выражение квадрата тангенса
через косинус двойного угла
Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла
Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла
Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

Формулы половинного угла.

  1. Синус половинного угла. Примечание: Знак перед корнем выбирается в зависимости от квадранта, в который попадает угол α/2 в левой части. Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже.

  2. Косинус половинного угла:

  3. Тангенс половинного угла:

  4. Котангенс половинного угла:

  5. Выражение синуса через тангенс половинного угла:

  6. Выражение косинуса через тангенс половинного угла:

  7. Выражение тангенса через тангенс половинного угла:

  8. Выражение котангенса через тангенс половинного угла:

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Формула Название формулы
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β Синус суммы
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β Синус разности
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β Косинус суммы
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β Косинус разности
Тангенс суммы
Тангенс разности
Синус суммы
sin (α + β) = sin α cos β +
+
cos α sin β
Синус разности
sin (α – β) = sin α cos β –
cos α sin β
Косинус суммы
cos (α + β) = cos α cos β –
sin α sin β
Косинус разности
cos (α – β) = cos α cos β +
+
sin α sin β
Тангенс суммы
Тангенс разности
Источники


  • https://www.calc.ru/Trigonometricheskiye-Formuly.html
  • https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson756/
  • http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/double_angle_formulas.html
  • https://www.resolventa.ru/spr/trig/formula.htm
  • https://scolaire.ru/trigonometriya_formula.php
  • https://umath.ru/theory/formuly-dvojnogo-i-trojnogo-ugla/
  • https://mnogoformul.ru/vse-formuly-po-trigonometrii

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: