Формулы и свойства правильной четырехугольной пирамиды

Что собой представляет пирамида

Под пирамидой понимают геометрическую фигуру пространственную, которая получается в результате соединения всех углов многоугольника с одной точкой пространства. Рисунок ниже демонстрирует расположение линий (ребер) для четырехугольной и пятиугольной пирамид.

Многоугольная грань фигуры называется ее основанием. Точка, где все треугольные грани соединяются, называется вершиной. Для определения высоты пирамиды отмеченные элементы являются важными.

Правильная треугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида – это пирамида, у которой основанием оказывается правильный треугольник, а вершина опускается в центр основания.

Элементы правильной пирамиды

  • Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема. На рисунке обозначена как отрезок ON
  • Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
  • Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)
  • Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
  • Диагональное сечение пирамиды – это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
  • Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной, четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр.

    Высота фигуры

    Высотой пирамиды называется перпендикуляр, который из ее вершины опущен на плоскость основания. Важно понимать, что из каждой вершины, принадлежащей основанию фигуры, тоже можно провести перпендикуляр к соответствующей треугольной грани, однако он высотой не будет являться. Высота пирамиды – это единственный перпендикуляр, который является одной из важных ее линейных характеристик.

    Каждому школьнику известно, что любая плоская фигура обладает геометрическим центром (в физике ему соответствует центр масс). Например, геометрический центр для произвольного треугольника определяется точкой пересечения его медиан, для параллелограмма – точкой пересечения диагоналей. Если высота пирамиды пересекает ее основание в геометрическом центре, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая в основании многоугольник с одинаковыми сторонами и углами, называется правильной.

    Рисунок выше показывает, чем отличается неправильная пирамида от правильной. Видно, что высота неправильной фигуры лежит за пределами ее основания, в то время как у правильной шестиугольной пирамиды высота находится внутри фигуры, пересекая ее основание в центре геометрическом.

    Важными свойствами всех правильных пирамид являются следующие:

    • все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники и равны друг другу;
    • длины боковых ребер и апофем являются одинаковыми.

    Что такое пирамида в общем случае?

    В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.

    Мы видим что первая фигура имеет треугольное основание, вторая – четырехугольное. Две последние представлены пяти- и шестиугольным основанием. Однако боковая поверхность всех пирамид образована треугольниками. Их число точно равно количеству сторон или вершин многоугольника в основании.

    Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия:

    • в основании должен находиться правильный многоугольник;
    • боковая поверхность фигуры должна состоять из равных равнобедренных треугольников.

    Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре.

    Объем пирамиды

    {V= dfrac{1}{3} S h}

    Формула для нахождения объема пирамиды через площадь основания и высоту:

    {V= dfrac{1}{3} S h}, где S — площадь основания, h — высота пирамиды.

    Некоторые свойства пирамиды

    1) Если все боковые ребра равны, то

    около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

    боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

    Верно и обратное.

    Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

    Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

    2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

    Верно и обратное.

    Правильная пирамида с треугольным основанием

    Фигура, которая получена с использованием произвольного треугольника и точки в пространстве, будет неправильной наклонной пирамидой в общем случае. Теперь представим, что исходный треугольник имеет одинаковые стороны, а точка пространства расположена точно над его геометрическим центром на расстоянии h от плоскости треугольника. Построенная с использованием этих исходных данных пирамида будет правильной.

    Очевидно, что число ребер, сторон и вершин у правильной треугольной пирамиды будет таким же, как у пирамиды, построенной из произвольного треугольника.

    Однако правильная фигура обладает некоторыми отличительными чертами:

    • ее высота, проведенная из вершины, точно пересечет основание в геометрическом центре (точка пересечения медиан);
    • боковая поверхность такой пирамиды образована тремя одинаковыми треугольниками, которые являются равнобедренными или равносторонними.

    Правильная треугольная пирамида является не только чисто теоретическим геометрическим объектом. Некоторые структуры в природе имеют ее форму, например кристаллическая решетка алмаза, где атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами ковалентными связями, или молекула метана, где вершины пирамиды образованы атомами водорода.

    Формулы для высоты правильной пирамиды

    Существует четыре основных линейных характеристики для любой пирамиды правильной:

    • сторона основания;
    • боковое ребро;
    • апофема боковой грани;
    • высота фигуры.

    Все они связаны математически друг с другом. Обозначим длину стороны основания символом a, высоту — h, апофему — hb и ребро — b. Формулы, которые эти величины связывают, имеют индивидуальный вид для соответствующей n-угольной пирамиды. Например, для правильной пирамиды четырехугольной высоту можно определить по формулам:

    h = √(ab2 — a2/4);h = √(b2 — a2/2).

    Эти формулы следуют из теоремы Пифагора при рассмотрении соответствующих прямоугольных треугольников внутри пирамиды.

    Если рассматривается фигура с треугольным основанием, тогда справедливы следующие формулы для высоты правильной пирамиды:

    h = √(ab2 — a2/12);h = √(b2 — a2/3).

    Найти высоту пирамиды, зная радиус и ребро

    Сообщить об ошибке

    Четыре основных линейных параметра

    Начнем рассмотрение математических свойств правильной четырехугольной пирамиды с формул высоты, длины стороны основания, бокового ребра и апофемы. Сразу скажем, что все эти величины связаны друг с другом, поэтому достаточно знать только две из них, чтобы однозначно вычислить оставшиеся две.

    Предположим, что известна высота h пирамиды и длина a стороны квадратного основания, тогда боковое ребро b будет равно:

    b = √(a2 / 2 + h2)

    Теперь приведем формулу для длины ab апофемы (высота треугольника, опущенная на сторону основания):

    ab = √(a2 / 4 + h2)

    Очевидно, что боковое ребро b всегда больше апофемы ab.

    Оба выражения можно применять для определения всех четырех линейных характеристик, если известны другие два параметра, например ab и h.

    Площадь и объем фигуры

    Это еще два важных свойства правильной четырехугольной пирамиды . Основание фигуры имеет следующую площадь:

    So = a2

    Эту формулу знает каждый школьник. Площадь боковой поверхности, которая образована четырьмя одинаковыми треугольниками, можно определить через апофему ab пирамиды так:

    Sb = 2 × a × ab

    Если ab является неизвестной, то можно ее определить по формулам из предыдущего пункта через высоту h или ребро b.

    Общая площадь поверхности рассматриваемой фигуры складывается из площадей So и Sb:

    S = So + Sb = a2 + 2 × a × ab = a (a + 2 × ab)

    Рассчитанная площадь всех граней пирамиды показана на рисунке ниже в виде ее развертки.

    Описание свойств правильной четырехугольной пирамиды не будет полным, если не рассмотреть формулу для определения ее объема. Эта величина для рассматриваемой пирамиды вычисляется следующим образом:

    V = 1/3 × h × a2

    То есть V равен третьей части произведения высоты фигуры на площадь ее основания.

    Свойства правильной пирамиды

    Для решения задач необходимо знать свойства отдельных элементов, которые в условии обычно опускаются, так как считается, что ученик должен это знать изначально.
    • боковые ребра равны между собой
    • апофемы равны
    • боковые грани равны между собой (при этом, соответственно, равны их площади, боковые стороны и основания), то есть они являются равными треугольниками
    • все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
    • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
    • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно π/n, где n — количество сторон многоугольника основания
    • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
    • около основания правильной пирамиды можно описать окружность (см. также радиус описанной окружности треугольника)
    • все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы
    • все высоты боковых граней равны между собой

    Указания к решению задач. Свойства, перечисленные выше, должны помочь в практическом решении. Если требуется найти углы наклона граней, их поверхность и т. д., то общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для нахождения отдельных элементов пирамиды, поскольку многие элементы являются общими для нескольких фигур.

    Необходимо разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы – треугольники, квадраты, отрезки. Далее, к отдельным элементам применить знания из курса планиметрии, что существенно упрощает нахождение ответа.

      Объем правильной четырехугольной пирамиды

      Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, площадь которого считается так: S = a2, где а – длина его стороны.

      Следовательно, формулу объема можно представить в виде:

      Решение задачи с шестиугольной пирамидой

      Предположим, что нам дана пирамида правильная с шестиугольным основанием. Известно, что высота основания пирамиды равна 13 см. Зная, что длина ее бокового ребра равна 10 см, необходимо вычислить объем и высоту правильной шестиугольной пирамиды.

      Рисунок ниже показывает, как выглядит правильный шестиугольник.

      Расстояние между любыми его двумя параллельными сторонами называется высотой. Не сложно показать, что эта высота ha связана с длиной стороны фигуры следующей формулой:

      ha = a*√3

      Подставляя в выражение значение ha, находим, что сторона основания a равна 7,51 см.

      Высоту h фигуры можно определить, если рассмотреть прямоугольный треугольник, находящийся внутри пирамиды и состоящий из двух катетов (высота пирамиды и половина диагонали шестиугольного основания) и гипотенузы (боковое ребро). Тогда значение h будет равно:

      h = √(b2 — a2) = √(100 — 56,4) = 6,6 см.

      Объем пирамиды определяется как третья часть от произведения высоты фигуры на площадь ее основания. Площадь правильного шестиугольника равна:

      S6 = n/4*a2*ctg(pi/n) = 6/4*a2*ctg(pi/6) = 3*√3/2*a2 = 3*√3/2*56,4 ≈ 146,53 см2.

      Использованная для вычисления S6 формула является универсальной для произвольного правильного n-угольника.

      Для определения объема фигуры остается подставить в соответствующую формулу найденные параметры:

      V = 1/3*h*S6 = 1/3*6,6*146,53 = 322,366 см3.

      Мы получили значение высоты пирамиды и рассчитали ее объем. Таким образом, поставленная задача решена.

      Усеченная пирамида

      Если верхнюю часть, содержащую вершину, отсечь у правильной треугольной пирамиды, то получится усеченная фигура. В отличие от исходной она будет состоять из двух равносторонних треугольных оснований и трех равнобедренных трапеций.

      Ниже на фото показано, как выглядит правильная усеченная пирамида треугольная, изготовленная из бумаги.

      Для определения объема треугольной пирамиды усеченной необходимо знать три ее линейных характеристики: каждую из сторон оснований и высоту фигуры, равную расстоянию между верхним и нижним основаниями. Соответствующая формула для объема записывается так:

      V = √3/12 × h × (A2 + a2 + A × a)

      Здесь h – высота фигуры, A и a – длины сторон большого (нижнего) и малого (верхнего) равносторонних треугольников соответственно.

      Источники


      • https://www.syl.ru/article/443108/vyisota-piramidyi-opredelenie-formulyi-raschetyi
      • https://www.calc.ru/Geometricheskiye-Figury-Pravilnaya-Piramida.html
      • https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter148/
      • https://FB.ru/article/442423/formulyi-i-svoystva-pravilnoy-chetyirehugolnoy-piramidyi-usechennaya-piramida
      • https://mnogoformul.ru/obem-piramidy
      • https://egemaximum.ru/piramida/
      • https://1Ku.ru/obrazovanie/41631-obem-treugolnoj-piramidy-formuly-i-primer-reshenija-zadachi/
      • https://klevo.net/vysota-piramidy-opredelenie-formuly-raschety/
      • https://geleot.ru/education/math/geometry/height/pyramid
      • https://MicroExcel.ru/obyom-piramidy/

      Рейтинг
      ( Пока оценок нет )
      Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
      Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
      Добавить комментарий

      ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: