Формулы площади

Основные свойства и виды

К выпуклым четырехугольникам можно отнести практически все известные нам фигуры, состоящие из четырех углов и сторон. Можно выделить следующие:

  1. параллелограмм;
  2. квадрат;
  3. прямоугольник;
  4. трапеция;
  5. ромб.

Все эти фигуры объединяет не только то, что они четырехугольные, но и то, что они еще и выпуклые. Достаточно просто рассмотреть схему:

Что такое четырех угольник

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Площадь четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей и угла между ними.

Четырехугольник – это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, последовательно соединенная отрезками.

Формулы площади квадрата

  1. Формула площади квадрата по длине стороны
    Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
    S = a2
  2. Формула площади квадрата по длине диагонали
    Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
    S = 1 d2
    2

    где S – площадь квадрата,
    a – длина стороны квадрата,
    d – длина диагонали квадрата.

Определения и соглашения

В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.

  1. Четырёхугольник – это фигура из четырёх точек (вершин), из которых любые три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) последовательно их соединяющих.
  2. Диагональ — отрезок, соединяющий вершины многоугольника не лежащие на одной стороне (её обозначение – латинская буква d).
  3. Площадь фигуры — это численное значение территории, заключённой внутри многоугольника (её обозначение – латинская буква S).
  4. Синус угла — это число равное отношению противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (её обозначение – запись sin).
  5. Косинус угла — это число равное отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В дальнейшем в статье для его обозначения будем использовать латинскую запись cos.
  6. Описанная окружность — это окружность, которой принадлежат все вершины многоугольника ( её радиуса обозается буквой R).
  7. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. В дальнейшем в статье для обозначения её радиуса будем использовать латинскую букву r.
  8. Угол между сторонами a и b будем обозначать следующей записью (a,b).

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.

Дан квадрат ABCD, расположенный в системе координат XY. Найти площадь фигуры, если координаты вершин AB(10;8); CDДан квадрат ABCD, расположенный в системе координат XY. Найти площадь фигуры, если координаты вершин AB(10;8); CD

Мы знаем, что все стороны фигуры равны, и формула площади квадрата находится по формуле:
Найдем одну из сторон, к примеру, AB:
Подставим значения в формулу:
Знаем, что все стороны одинаковые. Подставляем значение в формулу расчета площади:

Формула вычисления площади

Площадь (S) выпуклого четырехугольника равняется одной второй (половине) произведения его диагоналей и синуса угла между ними:

S = 1/2 * d1 * d2 * sin α

Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами

Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных.

Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника.

Пусть a, b, c, d известные стороны многоугольника; p – его полупериметр. Корень квадратный выражения условимся обозначать как rad (от латинского radical). Формула площади четырёхугольника будет находиться по формуле: S = rad(( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d ⋅ c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d).

На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной. Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров. Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 миллиметров.

Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s^2( (a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 – 18)*(40 – 23)*(40 – 22)*(40 – 17) – 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 – 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 – 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного.

Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.

Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:

S = ((a + b+ c + d)/2)*r

Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:

S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра. Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров.

Первым делом определим полупериметр, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 дециметров. Подставим найденное значение в нашу формулу. Получим:

S = rad((65 – 26)*(65 – 35)*(65 – 39)*(65 – 30)) = rad(39*30*26*35) = 1032 (округлённо) дециметров квадратных.

Особые виды четырехугольников

Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:

  • Параллелограмм
  • Ромб
  • Прямоугольник
  • Квадрат
  • Трапеция
  • Дельтоид
  • Контрпараллелограмм

Квадрат, прямоугольник и другие параллелограммы

  1. 1
    Определение параллелограмма. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу. Квадраты, прямоугольники и ромбы — это параллелограммы.

    • Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и пересекаются под прямым углом.
    • Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.
    • Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
  2. 2
    Площадь прямоугольника. Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно знать его ширину (короткая сторона; представьте ее как высоту) и длину (длинная сторона; представьте ее как сторону, к которой проведена высота). Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.

    • Площадь = длина х высота, или S = a х h.
    • Пример: если длина прямоугольника равна 10 см, а ширина равна 5 см, то площадь этого прямоугольника: S = 10 х 5 = 50 квадратных сантиметров.
    • Не забывайте, что площадь измеряется в квадратных единицах (квадратных метрах, квадратных сантиметрах и так далее).
  3. 3
    Площадь квадрата. Квадрат — это частный случай прямоугольника, поэтому используйте ту же формулу, что и для нахождения площади прямоугольника. Но в квадрате все стороны равны, поэтому площадь квадрата равна любой из его сторон, возведенной в квадрат (то есть умноженной саму на себя).[1]

    • Площадь = сторона х сторона, или S = a2.
    • Пример: если сторона квадрата равна 4 см (a = 4), то площадь этого квадрата: S = a2 = 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.
  4. 4
    Площадь ромба равна произведению его диагоналей, разделенной на два. Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные вершины ромба.[2]

    • Площадь = (диагональ1 х диагональ2)/2, или S = (d1 × d2)/2
    • Пример: если диагонали ромба равны 6 см и 8 см, то площадь этого ромба: S = (6 х 8)/2 = 24 квадратных сантиметров.
  5. 5
    Площадь ромба также можно найти, если умножить его сторону на высоту, опущенную на эту сторону. Но не путайте высоту со смежной стороной. Высота — это прямая, опущенная из любой вершины ромба на противоположную сторону, и пересекающая противоположную сторону под прямым углом.

    • Пример: если длина ромба равна 10 см, а его высота равна 3 см, то площадь такого ромба равна 10 х 3 = 30 квадратных сантиметров.
  6. 6
    Формулы для вычисления площадей ромба и прямоугольника применимы к квадратам, так как квадрат — это частный случай как прямоугольника, так и ромба.

    • Площадь = сторона х высоту, или S = a × h
    • Площадь = (диагональ1 × диагональ2)/2, или S = (d1 × d2)/2
    • Пример: если сторона квадрата равна 4 см, то его площадь равна 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.
    • Пример: диагонали квадрата равны по 10 см. Вы можете найти площадь этого квадрата по формуле: (10 х 10)/2 = 100/2 = 50 квадратных сантиметров.

Пример задачи

Найдите площадь выпуклого четырехугольника, если его диагонали равны 5 и 9 см, а угол между ними составляет 30°.

Решение:
Подставляем в формулу известные нам значения и получаем: S = 1/2 * 5 см * 9 см * sin 30° = 11,25 см2.

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются. Действительно, это явление можно наблюдать визуально, достаточно взглянуть на рисунок:

На рисунке слева изображен невыпуклый четырехугольник или четырехсторонник. Как угодно. Как видно, диагонали не пересекаются, по крайней мере, не все. Справа изображен выпуклый четырехугольник. Тут уже наблюдается свойство диагоналей пересекаться. Это же свойство можно считать признаком выпуклости четырехугольника.

Свойства длин сторон четырехугольника

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

|a – b| ≤ c + d

|a – c| ≤ b + d

|a – d| ≤ b + c

|b – c| ≤ a + d

|b – d| ≤ a + b

|c – d| ≤ a + b

Важно. Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.

В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны.

a ≤ b + c + d

b ≤ a + c + d

c ≤ a + b + d

d ≤ a + b + c

Важно. При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является “вырожденным”, то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Площадь четырехугольника по сторонам

Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон. Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:

используем найденное значение для расчета площади:

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).

Главное свойство описанного четырехугольника:

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)

Главное свойство вписанного четырехугольника:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

где d1 и d2диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Рис. 1

Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2. Площадь параллелограммапараллелограмма можно найти по формуле

S = a ha ,

где a – сторона параллелограмма, а haвысотавысотавысота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Рис. 2

Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

SABCD = SAEFD = a ha ,

что и требовалось доказать.

Утверждение 3.Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Рис. 3

Доказательство. Поскольку

ha = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a ha = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

Утверждение 4. Площадь ромбаромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Рис. 4

Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h высотавысотавысота (рис.5).

Рис. 5

Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6. Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции,

(рис.6).

Рис. 6

Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Следовательно,

где

,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7. Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Рис. 7

Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.

Площадь выпуклого четырехугольника

 
  1. Вы знаете длины четырех сторон и размеры двух противолежащих углов. Тогда площадь четырехугольника можно найти по формуле Бретшнайдера.

,
где s — полупериметр.

Четырехугольник произвольной формы

  1. 1
    Если вам дан четырехугольник произвольной формы, то даже для таких четырехугольников существуют формулы для вычисления их площадей. Обратите внимание, что такие формулы требуют знания тригонометрии.

    • Во-первых, найдите длины всех четырех сторон. Обозначим их через a, b, c, d (а напротив с, а b напротив d).
    • Пример: дан четырехугольник произвольной формы со сторонами 12 см, 9 см, 5 см и 14 см.
  2. 2
    Найдите угол А между сторонами а и d и угол С между сторонами b и с (вы можете найти любые два противолежащих угла).

    • Пример: в нашем четырехугольнике А = 80 градусов и C = 110 градусов.
  3. 3
    Представьте, что существует отрезок, соединяющий вершины, образованные сторонами а и b и сторонами с и d. Этот отрезок разделит четырехугольник на два треугольника. Так как площадь треугольника равна 1/2absinC, где C — угол между сторонами a и b, вы можете найти площади двух треугольников и сложить их, чтобы вычислить площадь квадрата.

    • Площадь = 0,5 х сторона1 х сторона4 х sin(угол между стороной1 и стороной4) + 0,5 х сторона2 х сторона3 х sin(угол между стороной2 и стороной3), или
    • Площадь = 0,5 a × d × sin A + 0,5 × b × c × sin C
    • Пример: вы нашли стороны и углы, поэтому просто подставьте их в формулу.
      = 0,5 (12 × 14) × sin (80) + 0,5 × (9 × 5) × sin (110)
      = 84 × sin (80) + 22,5 × sin (110)
      = 84 × 0,984 + 22,5 × 0,939
      = 82,66 + 21,13 = 103,79 квадратных сантиметров.
    • Обратите внимание, что если вы пытаетесь найти площадь параллелограмма (у которого противоположные углы равны), то формула примет вид: площадь = 0.5*(ad + bc) * sin A

Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником?

Выше показано изображение параллелограмма. Как видно из рисунка, параллелограмм также является выпуклым. Если посмотреть на фигуру относительно прямых, на которых лежат отрезки AB, BC, CD и AD, то становится понятно, что она всегда находится на одной плоскости от этих прямых. Основными же признаками параллелограмма является то, что его стороны попарно параллельны и равны так же, как и противоположные углы равны между собой.

Теперь, представьте себе квадрат или прямоугольник. По своим основным свойствам они являются еще и параллелограммами, то есть все их стороны расположены попарно параллельно. Только в случае с прямоугольником длина сторон может быть разной, а углы прямые (равные 90 градусам), квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны и углы также прямые, а у параллелограмма длины сторон и углы могут быть разными.

В итоге, сумма всех четырех углов четырехугольника должна быть равна 360 градусам. Легче всего это определить по прямоугольнику: все четыре угла прямоугольника прямые, то есть равны 90 градусам. Сумма этих 90-градусных углов дает 360 градусов, другими словами, если сложить 90 градусов 4 раза, получится необходимый результат.

Формулы площади треугольника

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
    S = 1 a · h
    2
  2. Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона

S = √p(p – a)(p – b)(p – c)
  • Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
    S = 1 a · b · sin γ
    2
  • Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
    S = a · b · с
    4R
  • Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
    S = p · r

    где S – площадь треугольника,
    a, b, c – длины сторон треугольника,
    h – высота треугольника,
    γ – угол между сторонами a и b,
    r – радиус вписанной окружности,
    R – радиус описанной окружности,

    p = a + b + c – полупериметр треугольника.
    2
  • Инструкция по использованию

    Для расчета площади участка четырехугольной формы выполните следующие действия:

    1. Введите длину первой стороны в метрах (AB);
    2. Введите длину второй стороны в метрах (BC);
    3. Введите длину третьей стороны в метрах (CD);
    4. Введите длину четвертой стороны в метрах (DA).

    В результате вы получите размер участка квадратных метрах и в сотках.

    Таблица с формулами площади четырехугольника

    исходные данные
    (активная ссылка для перехода к калькулятору)
    эскиз формула
    1 диагональ и угол между ними
    2 стороны и углы между этими сторонами
    где  ,
    3 стороны
    (по Формуле Брахмагупты)
    где 
    4 стороны и радиус вписанной окружности
    где 
    5 стороны и углы между ними

    Заключение

    Внимательно изучив все вышеизложенное, можно сделать вывод — определение площади произвольного четырёхугольника с разными сторонами сложнее, чем у них же специальных видов – квадрата, прямоугольника, ромба, трапеции, параллелограмма. Однако внимательно изучив все приведённые методы, можно с лёгкостью решать задачи необходимые для школьников. Сведём все наши формулы в одну таблицу:

    1. S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2)
    2. S = rad(( p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ) − a*b*c*d*c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d)
    3. S = ((a + b+ c + d)/2)*r

    S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине периметра​.

    Таким образом, реально сложной является только формула номер 2, но и она вполне доступна, при условии хорошего понимания данных в статье определений и соглашений.

    Источники


    • https://obrazovanie.guru/srednee-obrazovanie-i-shkola/ponyatie-vypuklogo-chetyrehugolnika-ego-svojstva-i-priznaki.html
    • https://calcsbox.com/post/cetyrehugolnik.html
    • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/area/
    • https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/formuly-vychisleniya-ploshhadi-proizvolnogo-chetyryohugolnika
    • https://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-chetyrexugolnika/
    • https://MicroExcel.ru/ploshhad-vypuklogo-chetyrekhugolnika/
    • https://ru.wikihow.com/%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D1%82%D0%B8-%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C-%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0
    • https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/sqf.htm
    • https://planetcalc.ru/5977/
    • https://zakonguru.com/nedvizhimost/zemelnyj/razmer/kalkulyator-rascheta-ploshhadi-uchastka-nepravilnoj-formy-s-raznymi-storonami.html
    • https://doza.pro/art/math/geometry/area-tetragon

    Рейтинг
    ( Пока оценок нет )
    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: