Формулы приведения в тригонометрии: примеры, таблицы, доказательства

Тригонометрические функции

sin α, cos α
tg α = sin α , α π + πn, n є Z
cos α 2
ctg α = cos α , απ + πn, n є Z
sin α
sec α = 1 , α π + πn, n є Z
cos α 2
cosec α = 1 , απ + πn, n є Z
sin α

Формулы двойного угла.

cos 2α = cos² α – sin² α

cos 2α = 2cos² α – 1

cos 2α = 1 – 2sin² α

sin 2α = 2sin α · cos α

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 – tg² α)

ctg 2α = (ctg² α – 1) ÷ (2ctg α)

Правила преобразования формул приведения.

1) Если аргумент содержит , где n – нечетное натуральное число , то функция меняется на “конфункцию”, т.е. синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот. Если n – четное натуральное число , то название функции не изменяется.

2) Определяем знак (“+” или “-“) значения первоначальной функции. Преобразованное выражение сохраняет знак своего родителя.

Примеры:

Стоит ли учить формулы приведения?

Вы в состоянии выучить вот такую таблицу? :(

А без приведения сложных аргументов тригонометрических функций к аргументам первой четверти на ЕГЭ по математике никуда.

Но нет необходимости учить эту таблицу!

Нужно просто потратить немного времени и понять алгоритм применения формул приведения.

Не будем терять время! Поехали!

Формулы приведения. Как запомнить?

Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить!!!» – это значит, что действительно, это необходимо именно выучить.

Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.

Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например:

  • задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.
  • задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.
  • задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.
  • стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.

И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.

Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?

Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от 0 до 450 градусов

Формулы приведения:

Угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов.

Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:

  • Определите знак функции в соответствующей четверти.

Напомню их:

Запомните следующее:

  • Функция изменяется на кофункцию

  • Функция на кофункцию не изменяется

Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?

Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.

Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:

Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:

  • Угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Меняем функцию на кофункцию, так как у нас 270 градусов.
  • Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов.
  • Угол лежит во второй четверти, синус во второй четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов.

Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.

В статье на решение прямоугольного треугольника был отмечен такой факт – синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём.

И наоборот – косинус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен синусу другого острого угла в нём. Вот вам и подтверждение этого с помощью формул приведения.

Конечно, определить значения углов можно и без формул приведения, по тригонометрической окружности. И если вы умеете это делать, то очень хорошо. Но поняв, как работают формулы приведения, вы сможете делать это очень быстро.

В дальнейшем, применяя свойство периодичности, четности (нечётности) вы без труда определите значение любого угла: 10500, -7500, 23700 и любые другие. Статья об этом в будущем обязательно будет, не пропустите!

Когда в решениях задач буду использовать формулы приведения, то обязательно буду ссылаться на эту статью, чтобы вы всегда смогли освежить в памяти представленную выше теорию. На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.

Формулы приведения тригонометрических функций − теория, примеры и решения

Докажем формулы приведения тригонометрических функций для аргумента (или ) . (Здесь и далее все углы α острые т.е. меньше 90° (или меньше )). На декартовой прямоугольной системе координат проведем окружность с радиусом 1 и возьмем точки M1 и M2 так, чтобы , . Опустив перпендикуляры из точек M1 и M2 на ось OX, получим прямоугольные треугольники и (Рис.1).

Поскольку , то . Очевидно, что , так как гипотенузы этих прямоугольных треугольников равны и . Из равенства этих треугольников следует:

,

Из определений синуса и косинуса (о синусе и косинусе смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор) имеем:

или

,
.

Выведем, далее формулы приведения тригонометрических функций тангенс и котангенс для аргумента (Рис.2).

Тангенсу угла соответствует ординат точки Q, что овечает отрезку QA, взятой со знаком минус (подробнее о тангенсе и котангенсе смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор ).

.

Котангенсу угла α соответствует абсцис точки P, что отвечает отрезку BP:

.

Прямоугольные треугольники QAO и PBO равны, так как, , . Тогда .

Из вышеизложенного следует:

или

Котангенс угла − это абсцис точки R, т.е.

.

Тангенс угла α − это ординат точки S, т.е.

.

Прямоугольные треугольники RBO и SAO равны, т.к. , , . Тогда .

Таким образом можно вывести формулу приведения функции котангенс для угла :

или

Выведем формулы приведения тригонометрических функций синус и косинус для угла (Рис.3):

Из следует и .

Тогда

,

или

,
.

Аналогично, выведем формулы приведения тригонометрических функций тангенс и котангенс для угла (Рис.4):

.

Поскольку , следовательно . Тогда

или

.

Так как , следовательно . Тогда

или

.

Аналогично выводятся формулы приведения тригонометрический функций для углов , , .

Определение для острых углов[править | править код]

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Тогда:

Построив систему координат с началом в точке , направлением оси абсцисс вдоль  и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).

Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами  (360°) для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и  (180°) для тангенса и котангенса.

Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.

Формулы приведения: список и таблицы

Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство.

Сначала запишем все формулы приведения:

Для угла (`frac {pi}2 pm alpha`) или (`90^circ pm alpha`):

`sin(frac {pi}2 — alpha)=cos alpha;` ` sin(frac {pi}2 + alpha)=cos alpha`
`cos(frac {pi}2 — alpha)=sin alpha;` ` cos(frac {pi}2 + alpha)=-sin alpha`
`tg(frac {pi}2 — alpha)=ctg alpha;` ` tg(frac {pi}2 + alpha)=-ctg alpha`
`ctg(frac {pi}2 — alpha)=tg alpha;` ` ctg(frac {pi}2 + alpha)=-tg alpha`

Для угла (`pi pm alpha`) или (`180^circ pm alpha`):

`sin(pi — alpha)=sin alpha;` ` sin(pi + alpha)=-sin alpha`
`cos(pi — alpha)=-cos alpha;` ` cos(pi + alpha)=-cos alpha`
`tg(pi — alpha)=-tg alpha;` ` tg(pi + alpha)=tg alpha`
`ctg(pi — alpha)=-ctg alpha;` ` ctg(pi + alpha)=ctg alpha`

Для угла (`frac {3pi}2 pm alpha`) или (`270^circ pm alpha`):

`sin(frac {3pi}2 — alpha)=-cos alpha;` ` sin(frac {3pi}2 + alpha)=-cos alpha`
`cos(frac {3pi}2 — alpha)=-sin alpha;` ` cos(frac {3pi}2 + alpha)=sin alpha`
`tg(frac {3pi}2 — alpha)=ctg alpha;` ` tg(frac {3pi}2 + alpha)=-ctg alpha`
`ctg(frac {3pi}2 — alpha)=tg alpha;` ` ctg(frac {3pi}2 + alpha)=-tg alpha`

Для угла (`2pi pm alpha`) или (`360^circ pm alpha`):

`sin(2pi — alpha)=-sin alpha;` ` sin(2pi + alpha)=sin alpha`
`cos(2pi — alpha)=cos alpha;` ` cos(2pi + alpha)=cos alpha`
`tg(2pi — alpha)=-tg alpha;` ` tg(2pi + alpha)=tg alpha`
`ctg(2pi — alpha)=-ctg alpha;` ` ctg(2pi + alpha)=ctg alpha`

Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:

Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(pi + alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin beta` и столбца ` pi + alpha`. Получим ` sin(pi + alpha)=-sin alpha`.

И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:

Формулы половинного угла.

  1. Синус половинного угла. Примечание: Знак перед корнем выбирается в зависимости от квадранта, в который попадает угол α/2 в левой части. Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже.

  2. Косинус половинного угла:

  3. Тангенс половинного угла:

  4. Котангенс половинного угла:

  5. Выражение синуса через тангенс половинного угла:

  6. Выражение косинуса через тангенс половинного угла:

  7. Выражение тангенса через тангенс половинного угла:

  8. Выражение котангенса через тангенс половинного угла:

Формулы приведения для косинуса

 cos(π/2-α) = sin(α) cos(π/2+α) = -sin(α) cos(π-α) = -cos(α) cos(π+α) = -cos(α) cos(3π/2-α) = -sin(α) cos(3π/2+α) = sin(α) cos(2π-α) = cos(α) cos(2π+α) = cos(α) 

Тригонометрические неравенства.

Простейшие тригонометрические неравенства:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx < a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx < a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx < a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx < a, cotx ≤ a.

Формулы приведения в тригонометрии

В тригонометрии, вообще, очень много разных формул. Их количество ни в коем случае не должно пугать школьника. Для того, чтобы успешно сдать ЕГЭ нужно не зубрить наизусть основные тригонометрические тождества, а понять их суть. Для многих формул разработаны даже специальные мнемонические правила, чтобы их можно было проще запомнить.

Один из самых сложных и запутанных, на взгляд ученика средней школы, раздел тригонометрических выражений – это формулы приведения. Для чего же они нужны? Отбросив вступление, скажем сразу — формулы приведения позволяют заменить функцию на кофункцию. Например, если в задании стоит синус α, его можно заменить на косинус α, и наоборот.

Функция Кофункция

sin α cos α
cos α sin α
tg α ctg α
ctg α tg α

Формулы приведения для тангенса

 tg(π/2-α) = ctg(α) tg(π/2+α) = -ctg(α) tg(π-α) = -tg(α) tg(π+α) = tg(α) tg(3π/2-α) = ctg(α) tg(3π/2+α) = -ctg(α) tg(2π-α) = -tg(α) tg(2π+α) = tg(α) 

Формулы приведения для синуса

 sin(π/2-α) = cos(α) sin(π/2+α) = cos(α) sin(π-α) = sin(α) sin(π+α) = -sin(α) sin(3π/2-α) = -cos(α) sin(3π/2+α) = -cos(α) sin(2π-α) = -sin(α) sin(2π+α) = sin(α) 

Мнемоническое правило для формул приведения

1. Задаем себе вопрос: «Меняется ли название функции на кофункцию?» (то есть синнус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и котангенс на тангенс).

Чтобы ответить на этот вопрос нужно, не смейтесь, – подвигать головой вдоль оси, на которой располагается ключевая точка. Ключевые точки всегда располагаются здесь (см. рис.):

Например, в формулах  – ключевые точки – это .

Так вот если вы мотаете головой вдоль горизонтальной прямой, потому что ключевая точка располагается на ней, то вы, как бы, отвечаете «нет» на вопрос «Меняется ли название функции на кофункцию?»

Если вы киваете головой вдоль вертикальной прямой, потому что ключевая точка располагается на ней, то вы отвечаете «да» на вопрос «Меняется ли название функции на кофункцию?».

2. Ставим справа, на выходе, тот знак, какой несет в себе левая, исходная, часть.

Данное правило еще называется «лошадиным».

Основные тригонометрические формулы

sin2 α + cos2 α = 1
tg α · ctg α = 1
1 + tg2 α = 1
cos2 α
1 + ctg2 α = 1
sin2 α

Формулы тройного угла.

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α

cos 3α = 4cos³ α – 3cos α

tg 3α = (3tg α – tg³ α) ÷ (1 – 3tg² α)

ctg 3α = (3ctg α – ctg³ α) ÷ (1 – 3ctg² α)

Тригонометрические функции суммы и разности углов

sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
sin(αβ) = sin α · cos β – cos α · sin β
cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β
cos(αβ) = cos α · cos β + sin α · sin β
tg(α + β) = tg α + tg β
1 – tgα · tg β
tg(αβ) = tg α – tg β
1 + tgα · tg β
ctg(α + β) = ctgα · ctg β – 1
ctg β + ctg α
ctg(αβ) = ctgα · ctg β + 1
ctg β – ctg α

Источники


  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/trigonometry_formula/
  • https://www.calc.ru/Trigonometricheskiye-Formuly.html
  • https://www.calc.ru/108.html
  • https://egemaximum.ru/formuly-privedeniya/
  • https://rgiufa.ru/matematika-fizika-himiya/kak-zapomnit-formuly-privedeniya.html
  • https://matworld.ru/trigonometry/formuly-privedenija.php
  • https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8
  • https://matemonline.com/dh/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F/formuly-privedenija/
  • https://prosto-o-slognom.ru/matematika/054-formuly_privedeniya.html

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: