Формулы произведения тригонометрических функций

Содержание
  1. Произведение косинусов
  2. Геометрическое определение
  3. Связи между тригонометрическими функциями одного угла
  4. Формулы двойного, тройного и т.д. угла
  5. Формулы понижения степени
  6. Примеры применения формул произведения тригонометрических функций
  7. Формулы общего вида
  8. Формулы преобразования произведений функций
  9. Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций
  10. Основные тригонометрические формулы
  11. Периодичность
  12. Произведение тангенса на тангенс
  13. Произведение синусов
  14. Формулы сложения
  15. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
  16. Формулы приведения
  17. Четность
  18. Формулы половинного угла
  19. Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса
  20. Произведение синуса на косинус
  21. Области определения и значений, возрастание, убывание
  22. Произведение котангенса на котангенс
  23. Тригонометрические функции двойного угла
  24. Тригонометрические функции суммы и разности двух углов
  25. Таблица тангенсов и котангенсов
  26. Универсальная тригонометрическая подстановка

Произведение косинусов

Сложим базовые равенства I и II — косинус разности и косинус суммы:

cos(α−β) + cos(α+β) = = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) + cos(α)×cos(β) − sin(α)×sin(β) = {одинаковые произведения синусов сокращаются} = cos(α)×cos(β) + cos(α)×cos(β) = 2×cos(α)×cos(β)

Получаем равенство:

cos(α−β) + cos(α+β) = 2×cos(α)×cos(β)

В этом равенстве можно и левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения косинусов:

cos(α)×cos(β) = [cos(α−β) + cos(α+β)] / 2,

т.е. произведение косинусов равно полусумме косинуса разности и косинуса суммы.

Геометрическое определение





|BD|длина дуги окружности с центром в точке A.
α – угол, выраженный в радианах.

Тангенс (tg α)
– это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB|.
Котангенс (ctg α)
– это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC|.

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

sin2α + cos2α = 1

Формулы двойного, тройного и т.д. угла


Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Формулы понижения степени

sin2 α = 1 – cos 2α
2
cos2 α = 1 + cos 2α
2
sin3 α = 3 sin α – sin 3α
4
cos3 α = 3 cos α + cos 3α
4

Примеры применения формул произведения тригонометрических функций

Пример 1. Вычислить точное значение следующего выражения:.

Решение. Так как невозможно найти точное решение ни для , ни для попробуем использовать формулу (d’):

Ответ: .

Пример 2. Вычислить точное значение следующего выражения:.

Решение. Так как несуществует точного решения ни для , ни для ,то попробуем использовать формулу (a):

Ответ: .

Формулы общего вида

Определения
Синус угла α (обозн. sin(α)) — отношение противолежащего от угла α катета к гипотенузе.
Косинус угла α (обозн. cos(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к гипотенузе.
Тангенс угла α (обозн. tg(α)) — отношение противолежащего к углу α катета к прилежащему. Эквивалентное определение — отношение синуса угла α к косинусу того же угла — sin(α)/cos(α).
Котангенс угла α (обозн. ctg(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к противолежащему. Эквивалентное определение — отношение косинуса угла α к синусу того же угла — cos(α)/sin(α).
Другие тригонометрические функции: секанс — sec(α) = 1/cos(α); косеканс — cosec(α) = 1/sin(α).
Примечание
Мы специально не пишем знак * (умножить), — там, где две функции записаны подряд, без пробела, он подразумевается.
Подсказка
Для вывода формул косинуса, синуса, тангенса или котангенса кратных (4+) углов, достаточно расписать их по формулам соотв. косинуса, синуса, тангенса или котангенса суммы, либо сводить к предыдущим случаям, сводя до формул тройных и двойных углов.

Формулы преобразования произведений функций

sin α · sin β = 1 (cos(αβ) – cos(α + β))
2
sin α · cos β = 1 (sin(α + β) + sin(αβ))
2
cos α · cos β = 1 (cos(α + β) + cos(αβ))
2

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формула Название формулы
Выражение квадрата синуса
через косинус двойного угла
Выражение квадрата косинуса
через косинус двойного угла
Выражение квадрата тангенса
через косинус двойного угла
Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла
Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла
Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

Основные тригонометрические формулы

sin2 α + cos2 α = 1
tg α · ctg α = 1
1 + tg2 α = 1
cos2 α
1 + ctg2 α = 1
sin2 α

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π.

Произведение тангенса на тангенс

Выведем формулу произведения тангенса на тангенс (d).

.

Другую формулу произведения тангенса на тангенс (формула (d’)) получим применяя формулы (a) и (c):

.

Произведение синусов

Воспользуемся базовыми формулами I и II — косинус разности и косинус суммы. Из равенства I вычтем равенство II:

cos(α−β) — cos(α+β) = = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) — cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) = {одинаковые произведения косинусов сокращаются} = sin(α)×sin(β) + sin(α)×sin(β) = 2×sin(α)×sin(β)

Получаем равенство:

cos(α−β) — cos(α+β) = 2×sin(α)×sin(β)

В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синусов:

sin(α)×sin(β) = [cos(α−β) — cos(α+β)] / 2,

т.е. произведение синусов равно полуразности косинуса разности и косинуса суммы.

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Формула Название формулы
Выражение синуса угла через
тангенс половинного угла
Выражение косинуса угла через
тангенс половинного угла
Выражение тангенса угла через
тангенс половинного угла
Выражение синуса угла через тангенс половинного угла
Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла
Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла

Формулы приведения



Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье формулы приведения.

Четность

Функции тангенс и котангенс – нечетные.

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье формулы половинного угла.

 

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Формула Название формулы
Выражение куба синуса через
синус угла и синус тройного угла
Выражение куба косинуса через
косинус угла и косинус тройного угла
Выражение куба синуса через
синус угла и синус тройного угла
Выражение куба косинуса через
косинус угла и косинус тройного угла

Произведение синуса на косинус

Сложим базовые равенства III и IV — синус суммы и синус разности:

sin(α−β) + sin(α+β) = = sin(α)×cos(β) − cos(α)×sin(β) + sin(α)×cos(β) + cos(α)×sin(β) = {одинаковые cos(α)×sin(β) сокращаются} = sin(α)×cos(β) + sin(α)×cos(β) = = 2×sin(α)×cos(β)

Получаем равенство:

sin(α−β) + sin(α+β) = 2×sin(α)×cos(β)

В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синуса на косинус:

sin(α)×cos(β) = [sin(α−β) + sin(α+β)] / 2,

т.е. произведение синуса на косинус равно полусумме синуса разности и синуса суммы.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n – целое).

y = tg x y = ctg x
Область определения и непрерывность
Область значений –∞ < y < +∞ –∞ < y < +∞
Возрастание
Убывание
Экстремумы
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0

Произведение котангенса на котангенс

Выведем формулу произведения котангенса на котангенс (e).

.

Другую формулу произведения котангенса на котангенс (формула (e’)) получим применяя формулы (a) и (c):

.

Тригонометрические функции двойного угла

sin 2α = 2 sin α · cos α
cos 2α = cos2 α – sin2 α
tg 2α = 2 tg α
1 – tg2 α
ctg 2α = ctg2 α – 1
2 ctg α

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Формула Название формулы
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β Синус суммы
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β Синус разности
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β Косинус суммы
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β Косинус разности
Тангенс суммы
Тангенс разности
Синус суммы
sin (α + β) = sin α cos β +
+
cos α sin β
Синус разности
sin (α – β) = sin α cos β –
cos α sin β
Косинус суммы
cos (α + β) = cos α cos β –
sin α sin β
Косинус разности
cos (α – β) = cos α cos β +
+
sin α sin β
Тангенс суммы
Тангенс разности

Таблица тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Обзор основных формул тригонометрии завершаем формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Такая замена получила название универсальной тригонометрической подстановки. Ее удобство заключается в том, что все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально без корней.

Источники


  • https://blitztest.ru/algebra/trigonometriya/proizvedenie-kosinusov-sinusov-i-sinusa-na-kosinus
  • https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/tangens/
  • https://www.resolventa.ru/spr/trig/formula.htm
  • http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/trigonometric_formulas.html
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/trigonometry_formula/
  • https://matworld.ru/trigonometry/formuly-proizvedenija-trigonometricheskih-funkcij.php
  • https://scolaire.ru/trigonometriya_formula.php

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: