Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Содержание
  1. Формулы сложения.
  2. Геометрическое определение синуса и косинуса
  3. Тригонометрические функции суммы и разности углов
  4. Список формул
  5. Формулы двойного угла.
  6. Формулы сложения
  7. Примеры использования
  8. Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций
  9. Основные тригонометрические тождества
  10. Вывод формул
  11. Соотношение между косинусом и тангенсом:
  12. Соотношение между синусом и котангенсом:
  13. Формулы приведения
  14. Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса
  15. Основные тригонометрические формулы
  16. Формулы общего вида
  17. Формулы тройного угла.
  18. Графики функций синус, y = sin x, и косинус, y = cos x
  19. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
  20. Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус
  21. Тригонометрические функции
  22. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
  23. Формулы половинного угла.
  24. Формулы тройного угла
  25. Формулы понижения степени

Формулы сложения.

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α – β) = sin α · cos β – sin β · cos α

cos (α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β

cos (α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 – tg α · tg β)

tg (α – β) = (tg α – tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β – ctg α)

ctg (α – β) = (ctg α · ctg β – 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Геометрическое определение синуса и косинуса

Прямоугольный треугольник.



|BD|длина дуги окружности с центром в точке A.
α – угол, выраженный в радианах.

Синус (sin α)
– это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos α)
– это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Тригонометрические функции суммы и разности углов

sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
sin(αβ) = sin α · cos β – cos α · sin β
cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β
cos(αβ) = cos α · cos β + sin α · sin β
tg(α + β) = tg α + tg β
1 – tgα · tg β
tg(αβ) = tg α – tg β
1 + tgα · tg β
ctg(α + β) = ctgα · ctg β – 1
ctg β + ctg α
ctg(αβ) = ctgα · ctg β + 1
ctg β – ctg α

Список формул

Запишем формулы суммы и разности синусов и косинусов. Как Вы понимаете, их четыре штуки: две для синусов и две для косинусов.

Теперь дадим их формулировки. При формулировании формул суммы и разности синусов и косинусов угол называют полусуммой углов и , а угол – полуразностью. Итак,

  • Формула суммы синусов : сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
  • Формула разности синусов : разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.
  • Сумма косинусов : сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности этих углов.
  • Формула разности косинусов : разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на синус полуразности этих углов, взятому со знаком минус.

Стоит отметить, что формулы суммы и разности синусов и косинусов справедливы для любых углов и .

Формулы двойного угла.

cos 2α = cos² α – sin² α

cos 2α = 2cos² α – 1

cos 2α = 1 – 2sin² α

sin 2α = 2sin α · cos α

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 – tg² α)

ctg 2α = (ctg² α – 1) ÷ (2ctg α)

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Примеры использования

Разберем несколько примеров использования формул суммы синусов и косинусов, а также разности синусов и косинусов.

Для примера проверим справедливость формулы суммы синусов вида , взяв и . Чтобы это сделать, вычислим значения левой и правой частей формулы для данных углов. Так как и (при необходимости смотрите таблицу основных значений синусов и косинусов), то . При и имеем и , тогда . Таким образом, значения левой и правой частей формулы суммы синусов для и совпадают, что подтверждает справедливость этой формулы.

В некоторых случаях использование формул суммы и разности синусов и косинусов позволяет вычислять значения тригонометрических выражений, когда углы отличны от основных углов (). Приведем решение примера, подтверждающего эту мысль.

Пример.

Вычислите точное значение разности синусов 165 и 75 градусов.

Решение.

Точных значений синусов 165 и 75 градусов мы не знаем, поэтому непосредственно вычислить значение заданной разности мы не можем. Но ответить на вопрос задачи нам позволяет формула разности синусов . Действительно, полусумма углов 165 и 75 градусов равна 120, а полуразность равна 45, а точные значения синуса 45 градусов и косинуса 120 градусов известны.

Таким образом, имеем

Ответ:

.

Несомненно, главная ценность формул суммы и разности синусов и косинусов заключается в том, что они позволяют перейти от суммы и разности к произведению тригонометрических функций (по этой причине эти формулы часто называют формулами перехода от суммы к произведению тригонометрических функций). А это в свою очередь может быть полезно, например, при преобразовании тригонометрических выражений или при решении тригонометрический уравнений. Но эти темы требуют отдельного разговора.

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формула Название формулы
Выражение квадрата синуса
через косинус двойного угла
Выражение квадрата косинуса
через косинус двойного угла
Выражение квадрата тангенса
через косинус двойного угла
Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла
Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла
Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности. Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Вывод формул


Для вывода формул суммы и разности синусов можно использовать формулы сложения, в частности, формулы
синуса суммы ,
синуса разности ,
косинуса суммы и
косинуса разности .

Также нам потребуется представление углов и в виде и . Такое представление правомерно, так как и для любых углов и .

Теперь подробно разберем вывод формулы суммы синусов двух углов вида .

Сначала в сумме заменяем на , а на , при этом получаем . Теперь к применяем формулу синуса суммы, а к – формулу синуса разности:

После приведения подобных слагаемых получаем . В итоге имеем формулу суммы синусов вида .

Для вывода остальных формул нужно лишь проделать аналогичные действия. Приведем вывод формул разности синусов, а также суммы и разности косинусов:

Для разности косинусов мы привели формулы двух видов или . Они эквивалентны, так как , что следует из свойств синусов противоположных углов.

Итак, мы разобрали доказательство всех формул суммы и разности синусов и косинусов.

Соотношение между косинусом и тангенсом:

1/cos2α−tan2α=1 или sec2α−tan2α=1.

Данная формула является следствием основного тригонометрического тождества и получается из него делением левой и правой части на cos2α. Предполагается, что α≠π/2+πn,n∈Z.

Соотношение между синусом и котангенсом:

1/sin2α−cot2α=1 или csc2α−cot2α=1.

Эта формула также следует из основного тригонометрического тождества (получается из него делением левой и правой части на sin2α. Здесь предполагается, что α≠πn,n∈Z.

Формулы приведения



Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье формулы приведения.

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Формула Название формулы
Выражение куба синуса через
синус угла и синус тройного угла
Выражение куба косинуса через
косинус угла и косинус тройного угла
Выражение куба синуса через
синус угла и синус тройного угла
Выражение куба косинуса через
косинус угла и косинус тройного угла

Основные тригонометрические формулы

sin2 α + cos2 α = 1
tg α · ctg α = 1
1 + tg2 α = 1
cos2 α
1 + ctg2 α = 1
sin2 α

Формулы общего вида

Определения
Синус угла α (обозн. sin(α)) — отношение противолежащего от угла α катета к гипотенузе.
Косинус угла α (обозн. cos(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к гипотенузе.
Тангенс угла α (обозн. tg(α)) — отношение противолежащего к углу α катета к прилежащему. Эквивалентное определение — отношение синуса угла α к косинусу того же угла — sin(α)/cos(α).
Котангенс угла α (обозн. ctg(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к противолежащему. Эквивалентное определение — отношение косинуса угла α к синусу того же угла — cos(α)/sin(α).
Другие тригонометрические функции: секанс — sec(α) = 1/cos(α); косеканс — cosec(α) = 1/sin(α).
Примечание
Мы специально не пишем знак * (умножить), — там, где две функции записаны подряд, без пробела, он подразумевается.
Подсказка
Для вывода формул косинуса, синуса, тангенса или котангенса кратных (4+) углов, достаточно расписать их по формулам соотв. косинуса, синуса, тангенса или котангенса суммы, либо сводить к предыдущим случаям, сводя до формул тройных и двойных углов.
 

Формулы тройного угла.

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α

cos 3α = 4cos³ α – 3cos α

tg 3α = (3tg α – tg³ α) ÷ (1 – 3tg² α)

ctg 3α = (3ctg α – ctg³ α) ÷ (1 – 3ctg² α)

Графики функций синус, y = sin x, и косинус, y = cos x

Графики функций y=sin(x) и y=cos(x).

Графики синуса и косинуса смещены по оси x друг относительно друга на :
.

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Формула Название формулы
Сумма синусов
Разность синусов
Сумма косинусов
Разность косинусов
Сумма тангенсов
Разность тангенсов
Сумма синусов
Разность синусов
Сумма косинусов
Разность косинусов
Сумма тангенсов
Разность тангенсов

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

 

Тригонометрические функции

sin α, cos α
tg α = sin α , α π + πn, n є Z
cos α 2
ctg α = cos α , απ + πn, n є Z
sin α
sec α = 1 , α π + πn, n є Z
cos α 2
cosec α = 1 , απ + πn, n є Z
sin α

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Формула Название формулы
Выражение синуса угла через
тангенс половинного угла
Выражение косинуса угла через
тангенс половинного угла
Выражение тангенса угла через
тангенс половинного угла
Выражение синуса угла через тангенс половинного угла
Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла
Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла

Формулы половинного угла.

  1. Синус половинного угла. Примечание: Знак перед корнем выбирается в зависимости от квадранта, в который попадает угол α/2 в левой части. Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже.

  2. Косинус половинного угла:

  3. Тангенс половинного угла:

  4. Котангенс половинного угла:

  5. Выражение синуса через тангенс половинного угла:

  6. Выражение косинуса через тангенс половинного угла:

  7. Выражение тангенса через тангенс половинного угла:

  8. Выражение котангенса через тангенс половинного угла:

Формулы тройного угла

sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α
cos 3α = 4 cos3 α – 3 cos α
tg 3α = 3 tg α – tg3 α
1 – 3 tg2 α
ctg 3α = 3 ctg α – ctg3 α
1 – 3 ctg2 α

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой

Источники


  • https://www.calc.ru/Trigonometricheskiye-Formuly.html
  • https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/sinus/
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/trigonometry_formula/
  • http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/sum_of_sin_and_cos.html
  • http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/trigonometric_formulas.html
  • https://www.resolventa.ru/spr/trig/formula.htm
  • https://scolaire.ru/trigonometriya_formula.php

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: