Функция ВЕЙБУЛЛ для расчета распределения Вейбулла в Excel

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера создано Имя для параметра распределения – λ .

Графики функций

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Примечание : Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .

Вывод плотности вероятности

Наш первый вопрос был: почему λ * e^(−λt) — это плотность вероятности времени до следующего события?

Определение экспоненциального распределения — это распределение вероятности времени *между* событиями в процессе Пуассона.

Смотрите: в период ожидания не происходит ни одного события. Другими словами, Пуассон (X=0).

Есть важная вещь, которую стоит помнить о пуассоновской плотности вероятности: период времени, в течение которого возникают пуассоновские события (X=k), составляет только одну (1) единицу времени.

Как смоделировать распределение вероятности не просто в течение одной единицы времени, а “ничего не произошло в период времени t”?

P(ничего не произошло в течение t единиц времени)
= P(X=0 в первую единицу времени)
* P(X=0 во вторую единицу времени)
* … * P (X=0 в t-ую единицу времени)
= e^−λ * e^−λ * … * e^−λ = e^(-λt)

Распределение Пуассона предполагает, что события возникают независимо друг от друга. Следовательно, можно посчитать вероятность нулевого успеха в течение t единиц времени, умножив P(X=0 в единицу времени) на t раз.

P(T > t) = P(X=0 в t единиц времени) = e^−λt
* T : случайная переменная времени до первого успешного события
* X : количество событий
* P(T > t) : вероятность того, что время ожидания события больше,чем t единиц времени
* P(X=0 в t единиц времени): вероятность нулевого успеха в t единиц времени

Плотность вероятности — это производная от кумулятивной функции распределения вероятности.

Поскольку у нас уже есть кумулятивная функция распределения вероятности экспоненциального распределения, 1 — P(T > t), мы можем получить плотность вероятности, продифференцировав ее.

Отсутствие последействия

Определение:
P(X > a + b | X > a) = P(X > b)

Это означает:

Доказательство:

Отсутствие последействия — полезный параметр?

Рационально ли моделировать долговечность механического устройства, используя экспоненциальное распределение?

Например, если устройство уже проработало девять лет, отсутствие последействия означает, что вероятность его бесперебойной работы в следующие три года (то есть в сумме 12 лет) точно такая же, как для совершенно нового механизма.

P(X > 12|X > 9) = P(X > 3)

Это уравнение кажется вам разумным?

Мне нет. Как показывает мой опыт, чем старше устройство, тем вероятнее поломка. Смоделировать этот параметр — возрастающую интенсивность отказов — можно с помощью распределения Вейбулла.

Так когда же стоит применять экспоненциальное распределение (постоянную интенсивность отказов)?

Автомобильные происшествия. Если никто не врезался в вас за последние пять часов, это не снижает и не повышает шансы попадания в аварию.

Где еще есть отсутствие последействия?

Экспоненциальное распределение — это единственное непрерывное распределение с отсутствием последействия (или распределение с постоянной интенсивностью отказов). Геометрическое распределение, его дискретный аналог, является единственным дискретным распределением с отсутствием последействия.

Применение в реальной жизни

a) Моделирование времени ожидания

У значений экспоненциальной случайной величины есть много маленьких значений и немного крупных значений. Автобус, который вы ждете, скорее всего приедет в течение 10 минут нежели в течение 60 минут.

Используя экспоненциальное распределение, можно ответить на следующие вопросы:

1. Автобус в среднем приезжает каждые 15 минут (предположим, что время между прибытием автобусов имеет экспоненциальное распределение, значит, количество автобусов, прибывающих в течение часа имеет распределение Пуассона). И я только что пропустила автобус! Водитель был злой. Как только я пришла, он закрыл двери и уехал. Если следующий автобус не приедет в течение десяти мнут, я вызову Uber, иначе опоздаю. Какова вероятность того, что ожидание следующего автобуса займет меньше 10 минут?

2. Девяносто процентов автобусов прибывают через сколько минут после предыдущего?

3. В течение какого времени в среднем прибывают два автобуса?

b) Моделирование отказа

Раз мы можем смоделировать успешное событие (прибытие автобуса), почему бы не смоделировать отказ — время поломки продукта.

Количество часов, которое AWS оборудование способно проработать без перезагрузки, соответствует экспоненциальному распределению со средним значением 8 000 часов в год.

1. У вас нет резервного сервера, а вам нужна бесперебойная работа в течение 10 000 часов. Какова вероятность того, что вы сможете выполнить эту задачу без перезагрузки сервера?

2. Какова вероятность того, что сервер не потребует перезагрузки между 12 и 18 месяцами?

Заметьте, что иногда экспоненциальное распределение не подходит — когда интенсивность отказов изменяется в течение срока службы. Тем не менее это единственное распределение, обладающее уникальным параметром — постоянной интенсивностью отказов.

c) Моделирование времени обслуживания (Теория очередей)

Время обслуживания (например, как долго в кафе готовят мне буррито) тоже можно смоделировать как экспоненциально распределенные переменные.

Общая длина процесса — последовательность нескольких независимых задач — соответствует распределению Эрланга: распределению суммы нескольких независимых экспоненциально распределенных переменных.

Распределение Вейбулла в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для распределения Вейбулла имеется функция ВЕЙБУЛЛ.РАСП() , английское название – WEIBULL.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, имеющая распределение Вейбулла , примет значение меньше или равное x).

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ВЕЙБУЛЛ() , которая позволяет вычислить интегральную функцию распределения и плотность вероятности . ВЕЙБУЛЛ() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

Генерация случайных чисел и оценка параметров

Используем обратную функцию распределения (или p – quantile , см. статью про Квантили ), которая для распределения Вейбулла может быть выражена в явном виде с использованием элементарных функций:

С помощью этой функции можно сгенерировать значения случайной величины, имеющей распределение Вейбулла . Для этого нужно использовать формулу MS EXCEL:

=бета*(-LN(СЛЧИС()))^(1/альфа)

Функция СЛЧИС() генерирует непрерывное равномерное распределение от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).

Теперь имея массив случайных чисел, сгенерированных с заданными параметрами распределения альфа и бета (пусть их будет 200), оценим параметры распределения.

Оценку параметров альфа и бета можно сделать с помощью линейной регрессии. Для этого необходимо привести функцию распределения Вейбулла к виду обычной прямой, задаваемой уравнением Y=aX+b. Для этого сделаем следующие преобразования:

Сравнивая выражение с уравнением прямой Y=ax+b получим, что:

• Y соответствует левая часть выражения,
• X – соответствует ln(x),
• параметр распределения бета соответствует коэффициенту a , отвечающего за наклон прямой к оси абсцисс.
• выражение –бета*ln(альфа) соответствует коэффициенту b (ордината точки пересечения с осью Oy).

По сути, мы практически построили Вероятностный график (probability plot) для распределения Вейбулла : если отсортированные значения ln(x), отложенные по оси Ох, лягут приблизительно вдоль прямой, то это будет означать, что значения выборки взяты из распределения Вейбулла. Осталось модифицировать ось Оу с помощью формулы =LN(-LN(1-Ui)), где Ui=(i-0,5)/200, а i=1; 2; …; 200.

Заметим, что -LN(1-Ui) – это обратная функция распределения с параметрами альфа=1 и бета=1. Второй логарифм нам потребовался, т.к. по оси абсцисс отложены не сами x, а ln(x).

Примечание : Т.к. форма распределения Вейбулла существенно зависит от его параметров, то вместо альфа=1 и бета=1 для обратной функции лучше использовать точечные оценки этих параметров , полученные на основании выборки . О том как вычислить оценку параметров альфа и бета см. ниже.

В файле примера на листе Генерация построен соответствующий Вероятностный график .

С помощью функции НАКЛОН() вычислим наклон получившейся кривой (коэффициент прямой а, англ. slope ), который служит оценкой параметра бета .

Функция ОТРЕЗОК() вернет ординату точки пересечения с Оу (коэффициент прямой b ). Выражение =EXP(-b/бета) служит оценкой параметра альфа .

Построив частотную гистограмму по данным из выборки , сравним ее с плотностью вероятности модельного распределения, т.е. распределения, с помощью которого были сгенерированы сами значения выборки . Из-за наличия случайной ошибки выборки (sampling error) значения могут расходиться.

Процедура построения модельного распределения следующая:

• Значения плотности вероятности модельного распределения вычислены как P _i – P _i-1 , где P – значения интегральной функции распределения на границах интервалов гистограммы, а dx =1. (Обычно, плотность вероятности непрерывного распределения вычисляется как производная функции распределения dP/dx).
• Вследствие такого преобразования, мы перешли от непрерывного распределения к дискретному . Необходимо убедиться, что сумма плотностей вероятностей равна 1.
• Пронормировав модифицированные плотности вероятностей на количество значений в выборке (200), вычислим для каждого интервала частоты модельного распределения (можно обойтись без нормирования, использовав вспомогательную ось диаграммы).

В итоге получим:

Как видно из диаграммы выше, совпадение модельного распределения с гистограммой выборки достаточно хорошее.

Примечание : При построении диаграммы использована гистограмма и график с маркерами . Подробнее о построении диаграмм см. Основы построения диаграмм в MS EXCEL .

Также можно сравнить плотности вероятностей модельного распределения и распределения с параметрами, полученными в результате оценки.

Как видно из диаграммы выше, совпадение также достаточно хорошее.

СОВЕТ : Т.к. генерирование случайных чисел происходит с помощью функции СЛЧИС() , то нажимая клавишу F9 , можно каждый раз получать новую выборку и, соответственно, новую оценку параметров.

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Коэффициенты и параметры функции распределения по закону Вейбулла

Интегральная функция распределения соответствует значению вероятности события, при котором некоторая величина X, распределенная по закону Вейбулла, будет принимать значение, которое <=x.

Формула функции ВЕЙБУЛЛ:

Формула плотности вероятности для данного распределения:

Данное распределение характеризуется двумя основными параметрами:

1. α – характеризует форму распределения.
2. β – характеризует масштаб.

Оба параметра указываются значениями из диапазона от 0 (не включительно) до бесконечности со знаком плюс (при этом для практического применения распределения рационально в качестве параметра β (бетта) указывать значение >=1).

Распределение Вейбулла может быть преобразовано к обычному экспоненциальному распределению, если параметр α (альфа) принимает значение 1.

Целесообразность применения:

1. Определение времени наработки без отказа до момента выхода из строя самого уязвимого элемента системы.
2. Определение времени работы до момента разрушения вследствие внутренних причин (физический износ материала). Если причина разрушения материала обусловлена внешними факторами, применяют экспоненциальное распределение (то есть, принимают α=1).

Примечание:

Рассматриваемая функция использовалась до выхода MS Office версии 2010 года. В последующих версиях она заменена аналогичной функцией ВЕЙБУЛЛ.РАСП, однако оставлена для обеспечения совместимости.

Правила использования функции ВЕЙБУЛЛ в Excel

Функция имеет следующий синтаксис:

=ВЕЙБУЛЛ()

Описание аргументов (все являются обязательными):

• x – принимает числовое значение некоторой величины с распределением Вейбулла, для которой необходимо определить функцию;
• альфа – принимает числовое значение, характеризующее α-параметр распределения;
• бета – принимает числовое значение, которое характеризует β-параметр распределения;
• интегральная – принимает данные логического типа, определяющие форму вычисляемой функции: ИСТИНА – будет возвращена интегральная функция, ЛОЖЬ – будет возвращена функция плотности распределения Вейбулла.

Примечания:

1. Первые три аргумента функции должны принимать числовые значения или данные, которые могут быть преобразованы к числам, иначе результатом выполнения функции ВЕЙБУЛЛ будет код ошибки #ЗНАЧ!
2. Если аргумент x принимает значение 0, функция вернет 0 (нуль) при любых значениях остальных аргументов. Если первый аргумент (x) указан числом из диапазона отрицательных значений, будет возвращен код ошибки #ЧИСЛО! Аналогичная ошибка возникает, если аргументы, характеризующие α-параметр и β-параметр соответственно не взяты из диапазона положительных значений (0 также исключен).
3. Последний аргумент может указан в виде числа, соответствующего логическим значениям: 1 – ИСТИНА, 0 – ЛОЖЬ.

Что нужно иметь в виду об экспоненциальной функции (EXP) в Excel

Экспоненциальная функция в Excel часто используется с функцией журнала, например, если мы хотим найти скорость роста или уменьшения, мы будем использовать функции EXP и LOG вместе.

Мы также можем использовать функцию POWER вместо экспоненциальной функции в Excel, но единственным отличием является точность измерения. При использовании функции POWER ее можно указать от e до 2.71 или до десятичных разрядов 3-4, но функция EXP в Excel обычно принимает значение от e до десятичных разрядов 9.

Таким образом, если вы вычисляете экспоненту в серии Excel для работы с нелинейными экспоненциальными функциями, экспоненциальное значение которых у нас есть, лучше использовать функцию EXP в Excel, чем функцию POWER.

Функция EXP в Excel всегда принимает числовое значение в качестве входных данных, когда мы предоставляем ввод, отличный от числового значения, которое она генерирует #NAME? Ошибка.

В случае сложных показателей, например = EXP (- (2.2 / 9.58) ^ 2), необходимо соблюдать осторожность с помощью скобок, если скобки перепутаны, выходные данные могут отличаться от фактических выходных данных, поэтому это должно быть = EXP (- ((2.2 / 9.58) ^ 2)).