- Сумма членов геометрической прогрессии
- Знаменатель геометрической прогрессии
- Члены геометрической прогрессии
- Для чего нужна геометрическая прогрессия и ее история возникновения.
- Общий вид геометрической прогрессии
- Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии
- Определение геометрической прогрессии
- Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
- Характеристическое свойство геометрической прогрессии
- Cумма бесконечной геометрической прогрессии
- Решение задач на геометрическую прогрессию
- Сумма первых n членов геометрической прогрессии
Сумма членов геометрической прогрессии
1) {S_n= frac{b_1-b_1 cdot q^n}{1-q}},
2) {S_n= frac{b_1 cdot (1-q^n)}{1-q}}, где
b1 — первый член прогрессии,
q — знаменатель прогрессии,
n — номер члена
Для нахождения суммы членов геометрической прогрессии вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором. Просто введите данные и получите результат.
Знаменатель геометрической прогрессии
Знаменатель геометрической прогрессии можно вычислить с помощью текущего и следующего членов геометрической прогрессии по формуле:
q = bn+1 / bn
Члены геометрической прогрессии
Общая формула для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю:
bn = b1 ⋅ qn – 1
Следующий член геометрической прогрессии можно найти по предыдущему члену и знаменателю:
bn+1 = bn ⋅ q
Предыдущий член геометрической прогрессии можно найти по следующему члену и знаменателю:
bn-1 = bn / q
Также член геометрической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:
bn = √bn-1 ⋅ bn+1, где n > 1
Для чего нужна геометрическая прогрессия и ее история возникновения.
Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь:
В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия проявляется при вложении денежных средств в банк, когда сумма процентов начисляется на сумму, скопившуюся на счете за предыдущий период. Иными словами, если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на
Есть еще много простых случаев, где применяется геометрическая прогрессия. Например, распространение гриппа: один человек заразил
Общий вид геометрической прогрессии
b1, b1q, b2q, …, bn-1q
- q – знаменатель прогрессии; это и есть постоянный множитель.
- b ≠ 0, q ≠ 0
Члены прогрессии:
- b1
- b2 = b1q
- b3 = b2q = b1q2
- и т.д.
Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.
Виды прогрессии:
- возрастающая: b1 > 0 и q1 > 0
- убывающая: 0 < q < 1
- знакочередующаяся: q < 0
- стационарная: q = 1.
Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии
где, q ≠ 1
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой |q| < 1. Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии как число, к которому неограниченно приближается сумма первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа
.
Определение геометрической прогрессии


То есть геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением
Примеры геометрических прогрессий.
- Последовательность
— геометрическая прогрессия со знаменателем
— геометрическая прогрессия со знаменателем
- Последовательность
— геометрическая прогрессия со знаменателем
— геометрическая прогрессия со знаменателем
- Последовательность
— геометрическая прогрессия со знаменателем
— геометрическая прогрессия со знаменателем
Теорема 1. Пусть — геометрическая прогрессия со знаменателем
— геометрическая прогрессия со знаменателем
Тогда для всех натуральных
справедлива формула
Доказательство. Воспользуемся рекуррентным определением геометрической прогрессии:
Итак, для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула
Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:
Доказательство. Из определения геометрической прогрессии
Следовательно,
откуда
Обратное утверждение тоже верно. Если для всех членов последовательности начиная со второго, выполняется равенство
начиная со второго, выполняется равенство
то эта последовательность — геометрическая прогрессия.
Пример 1. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвёртого членов — 30. Найдём первый член и знаменатель прогрессии.
Решение. По условию
Выразим члены геометрической прогрессии через и
и
:
Тогда система запишется в виде
Разделив второе уравнение системы на первое, получим Следовательно,
Следовательно,
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Совсем недавно мы говорили о том, что
При |
Как ты думаешь, почему такое название?
Для начала запишем какую-нибудь геометрическую прогрессию, состоящую из
Допустим,
Мы видим, что каждый последующий член меньше предыдущего в
Чтобы четко понять, как это выглядит визуально, давай попробуем нарисовать график нашей прогрессии. Итак, для нашего случая формула
На графиках нам привычно строить зависимость
Суть выражения не изменилась: в первой записи у нас была показана зависимость значения члена геометрической прогрессии от его порядкового номера, а во второй записи – мы просто приняли значение члена геометрической прогрессии за
Посмотрим, что у тебя получилось. Вот какой график получился у меня:
Видишь? Функция убывает, стремится к нулю, но никогда его не пересечет, поэтому она бесконечно убывающая. Отметим на графике наши точки, а заодно и то, что обозначает координата
Попробуй схематично изобразить график геометрической прогрессии при
Справился? Вот какой график получился у меня:
Теперь, когда ты полностью разобрался в основах темы геометрической прогрессии: знаешь, что это такое, знаешь, как найти ее
Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Cумма бесконечной геометрической прогрессии
Если |q| < 1 то при n → ∞
S = | b1 |
1 – q |
Решение задач на геометрическую прогрессию
Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных геометрической прогрессии.
Задача 1:
Дана геометрическая прогрессия 3, 6, 12, … . Найти 8-ой член геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов.
Решение:
b1 = 3
q = 6 / 3 = 2
b8 = b1 ⋅ q7 = 3 ⋅ 27 = 3 ⋅ 128 = 384
S10 = b1 ⋅ (1 — q10) / (1 — q) = 3 ⋅ (1 — 210) / (1 — 2) = 3 ⋅ (1 — 1024) / (–1) = 3069
Ответ: 384 и 3069
Задача 2:
Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, … . Найдите его номер.
Решение:
b1 = 2
q = 6 / 2 = 3
Применив формулу для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии, можно получить n:
486 = 2 ⋅ 3n – 1
243 = 3n – 1
35 = 3n – 1
n — 1 = 5
n = 6
Ответ: 6
Задача 3:
Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна –93. b1 = –3, q = 2. Найти n.
Решение:
Чтобы вычислить число членов геометрической прогрессии, можно воспользоваться формулой ее суммы:
Sn = b1 ⋅ (1 — qn) / (1 — q)
–93 = –3 ⋅ (1 — 2n) / (1 — 2)
–93 = –3 ⋅ (1 — 2n) / (–1)
–31 = 1 — 2n
2n = 32
n = 5
Ответ: 5
Сумма первых n членов геометрической прогрессии
Вычислим сумму первых n членов геометрической прогрессии знаменатель которой
знаменатель которой
:
(1)
Умножим это равенство на :
или
(2)
Вычтем из равенства (2) равенство (1), и приведя подобные члены, получим Отсюда, так как
Отсюда, так как
имеем
или
(3)
Так как то формулу (3) можно переписать в виде
(4)
Пример 2. Считается, что шахматы были изобретены в V в. н. э. в Индии. По легенде, когда создатель шахмат показал своё изобретение правителю страны, тому настолько понравилась игра, что он решил щедро отблагодарить её создателя, позволив мудрецу самостоятельно выбрать награду.
Мудрец попросил короля за первую клетку шахматной доски дать ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, удваивая количество зёрен за каждую клетку. Правитель рассмеялся, услышав столь ничтожную на первый взгляд просьбу, и, быстро согласившись, повелел своим казначеям подсчитать и выдать нужное количество зерна. Однако спустя неделю зерно всё ещё не было подсчитано. Интересно, в чём же причина такой задержки?
Давайте подсчитаем величину награды, то есть найдём сумму геометрической прогрессии
По формуле (3) получаем
Именно столько зёрен должен был выдать король. Это примерно 1200 триллионов тонн или 1500 куб. км. пшеницы, что эквивалентно амбару размерами 10х10х15 км. Для справки, это примерно в 1800 раз больше всего урожая пшеницы 2009 года.
Примерно такие расчёты и показали королю, когда тот поинтересовался, почему зерно всё ещё не выдано.
Наверное, вы спросите, чем же всё закончилось. Легенда гласит, что король «не остался в долгу» перед хитрым изобретателем, и, выдав ему пшеницу (конечно, намного меньше), предложил тому пересчитать каждое зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что он честно с ним расплатился.
- https://mnogoformul.ru/summa-chlenov-geometricheskoy-progres
- http://worksbase.ru/matematika/teoriya/14-geometricheskaya-progressiya.html
- https://youclever.org/book/geometricheskaya-progressiya-1
- https://MicroExcel.ru/geometricheskaya-progressiya/
- http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/g-progressiya.html
- https://umath.ru/theory/posledovatelnosti/geometricheskaya-progressiya/
- https://formula-xyz.ru/geometricheskaya-progressiya.html
- https://ru.onlinemschool.com/math/formula/geometric_sequence/