Геометрическая прогрессия: определение, формулы, свойства

Сумма членов геометрической прогрессии

Для нахождения суммы членов геометрической прогрессии вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором. Просто введите данные и получите результат.

Знаменатель геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно вычислить с помощью текущего и следующего членов геометрической прогрессии по формуле:

Члены геометрической прогрессии

Общая формула для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю:

Следующий член геометрической прогрессии можно найти по предыдущему члену и знаменателю:

Предыдущий член геометрической прогрессии можно найти по следующему члену и знаменателю:

Также член геометрической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:

Для чего нужна геометрическая прогрессия и ее история возникновения.

Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие. Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?

В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия проявляется при вложении денежных средств в банк, когда сумма процентов начисляется на сумму, скопившуюся на счете за предыдущий период. Иными словами, если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна вкладу, умноженному на . Ещё через год уже эта сумма увеличится на , т.е. получившаяся в тот раз сумма вновь умножится на и так далее. Подобная ситуация описана в задачах на вычисление так называемых сложных процентов – процент берется каждый раз от суммы, которая есть на счете с учетом предыдущих процентов. Об этих задачах мы поговорим чуть позднее.

Есть еще много простых случаев, где применяется геометрическая прогрессия. Например, распространение гриппа: один человек заразил человек, те в свою очередь заразили еще по человека, и таким образом вторая волна заражения – человек, а те в свою очередь, заразили еще

Общий вид геометрической прогрессии

b₁, b₁q, b₂q, …, b_n-1q

• q – знаменатель прогрессии; это и есть постоянный множитель.
• b ≠ 0, q ≠ 0

Члены прогрессии:

• b₁
• b₂ = b₁q
• b₃ = b₂q = b₁q²
• и т.д.

Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.

Виды прогрессии:

• возрастающая: b₁ > 0 и q₁ > 0
• убывающая: 0 < q < 1
• знакочередующаяся: q < 0
• стационарная: q = 1.

Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии

где, q ≠ 1

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой |q| < 1. Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии как число, к которому неограниченно приближается сумма первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа .

Определение геометрической прогрессии

Определение. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число , называется геометрической прогрессией. Число , называется геометрической прогрессией. Число называется знаменателем прогрессии.

То есть геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

Примеры геометрических прогрессий.

1. Последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем — геометрическая прогрессия со знаменателем
2. Последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем — геометрическая прогрессия со знаменателем
3. Последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем — геометрическая прогрессия со знаменателем

Теорема 1. Пусть — геометрическая прогрессия со знаменателем — геометрическая прогрессия со знаменателем Тогда для всех натуральных справедлива формула

Доказательство. Воспользуемся рекуррентным определением геометрической прогрессии:

Итак, для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула

Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:

Доказательство. Из определения геометрической прогрессии

Следовательно,

откуда

Обратное утверждение тоже верно. Если для всех членов последовательности начиная со второго, выполняется равенство начиная со второго, выполняется равенство то эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Пример 1. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвёртого членов — 30. Найдём первый член и знаменатель прогрессии.

Решение. По условию

Выразим члены геометрической прогрессии через и и : Тогда система запишется в виде

Разделив второе уравнение системы на первое, получим Следовательно, Следовательно,

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Совсем недавно мы говорили о том, что может быть как больше, так и меньше нуля, однако, есть особые значения при которых геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей.

При – прогрессия называется бесконечно убывающей.

Как ты думаешь, почему такое название?
Для начала запишем какую-нибудь геометрическую прогрессию, состоящую из членов.
Допустим, , а , тогда:

Мы видим, что каждый последующий член меньше предыдущего в раза, но будет ли какое-либо число ? Ты сразу же ответишь – «нет». Вот поэтому и бесконечно убывающая – убывает, убывает, а нулем никогда не становится.

Чтобы четко понять, как это выглядит визуально, давай попробуем нарисовать график нашей прогрессии. Итак, для нашего случая формула приобретает следующий вид:

На графиках нам привычно строить зависимость от , поэтому:

Суть выражения не изменилась: в первой записи у нас была показана зависимость значения члена геометрической прогрессии от его порядкового номера, а во второй записи – мы просто приняли значение члена геометрической прогрессии за , а порядковый номер обозначили не как , а как . Все, что осталось сделать – построить график.
Посмотрим, что у тебя получилось. Вот какой график получился у меня:

Видишь? Функция убывает, стремится к нулю, но никогда его не пересечет, поэтому она бесконечно убывающая. Отметим на графике наши точки, а заодно и то, что обозначает координата и :

Попробуй схематично изобразить график геометрической прогрессии при , если первый ее член также равен . Проанализируй, в чем разница с нашим предыдущим графиком?

Справился? Вот какой график получился у меня:

Теперь, когда ты полностью разобрался в основах темы геометрической прогрессии: знаешь, что это такое, знаешь, как найти ее член, а также знаешь, что такое бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, перейдем к ее основному свойству.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Правило

• Арифметическая прогрессия
• Числовая последовательность
• Способы задания числовой последовательности
• Геометрическая прогрессия
• Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия

Cумма бесконечной геометрической прогрессии

Если |q| < 1 то при n → ∞

S =	b1
	1 – q

Решение задач на геометрическую прогрессию

Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных геометрической прогрессии.

Задача 1:

Дана геометрическая прогрессия 3, 6, 12, … . Найти 8-ой член геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов.

Решение:

b₁ = 3

q = 6 / 3 = 2

b₈ = b₁ ⋅ q⁷ = 3 ⋅ 2⁷ = 3 ⋅ 128 = 384

S₁₀ = b₁ ⋅ (1 — q¹⁰) / (1 — q) = 3 ⋅ (1 — 2¹⁰) / (1 — 2) = 3 ⋅ (1 — 1024) / (–1) = 3069

Ответ: 384 и 3069

Задача 2:

Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, … . Найдите его номер.

Решение:

b₁ = 2

q = 6 / 2 = 3

Применив формулу для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии, можно получить n:

486 = 2 ⋅ 3^{n – 1}

243 = 3^{n – 1}

3⁵ = 3^{n – 1}

n — 1 = 5

n = 6

Ответ: 6

Задача 3:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна –93. b₁ = –3, q = 2. Найти n.

Решение:

Чтобы вычислить число членов геометрической прогрессии, можно воспользоваться формулой ее суммы:

S_n = b₁ ⋅ (1 — qⁿ) / (1 — q)

–93 = –3 ⋅ (1 — 2ⁿ) / (1 — 2)

–93 = –3 ⋅ (1 — 2ⁿ) / (–1)

–31 = 1 — 2ⁿ

2ⁿ = 32

n = 5

Ответ: 5

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Вычислим сумму первых n членов геометрической прогрессии знаменатель которой знаменатель которой :

(1)

Умножим это равенство на :

или

(2)

Вычтем из равенства (2) равенство (1), и приведя подобные члены, получим Отсюда, так как Отсюда, так как имеем

или

(3)

Так как то формулу (3) можно переписать в виде

(4)

Пример 2. Считается, что шахматы были изобретены в V в. н. э. в Индии. По легенде, когда создатель шахмат показал своё изобретение правителю страны, тому настолько понравилась игра, что он решил щедро отблагодарить её создателя, позволив мудрецу самостоятельно выбрать награду.

Мудрец попросил короля за первую клетку шахматной доски дать ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, удваивая количество зёрен за каждую клетку. Правитель рассмеялся, услышав столь ничтожную на первый взгляд просьбу, и, быстро согласившись, повелел своим казначеям подсчитать и выдать нужное количество зерна. Однако спустя неделю зерно всё ещё не было подсчитано. Интересно, в чём же причина такой задержки?

Давайте подсчитаем величину награды, то есть найдём сумму геометрической прогрессии

По формуле (3) получаем

Именно столько зёрен должен был выдать король. Это примерно 1200 триллионов тонн или 1500 куб. км. пшеницы, что эквивалентно амбару размерами 10х10х15 км. Для справки, это примерно в 1800 раз больше всего урожая пшеницы 2009 года.

Примерно такие расчёты и показали королю, когда тот поинтересовался, почему зерно всё ещё не выдано.

Наверное, вы спросите, чем же всё закончилось. Легенда гласит, что король «не остался в долгу» перед хитрым изобретателем, и, выдав ему пшеницу (конечно, намного меньше), предложил тому пересчитать каждое зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что он честно с ним расплатился.

Источники

• https://mnogoformul.ru/summa-chlenov-geometricheskoy-progres
• http://worksbase.ru/matematika/teoriya/14-geometricheskaya-progressiya.html
• https://youclever.org/book/geometricheskaya-progressiya-1
• https://MicroExcel.ru/geometricheskaya-progressiya/
• http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/g-progressiya.html
• https://umath.ru/theory/posledovatelnosti/geometricheskaya-progressiya/
• https://formula-xyz.ru/geometricheskaya-progressiya.html
• https://ru.onlinemschool.com/math/formula/geometric_sequence/

Смотрите также:

1. Формулы объема геометрических фигур, найти все объемы
2. Формулы двойного угла, доказательство, примеры
3. Котангенс острого угла (ctg): определение, формула, таблица, график, свойства
4. Правильная треугольная призма: определение, формулы для площади поверхности и объема