Геометрические фигуры

Объём призмы

Формула. Объём призмы через площадь основания и высоту:

V = SоснH

Формула. Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра:

V = SпL

Формула. Объём правильной прямой призмы через высоту (h), длину стороны (a) и количество сторон (n):
V = n ha2ctg π
4 n

Что такое треугольная призма?

Перед тем как приводить формулу объема треугольной призмы, рассмотрим свойства этой фигуры.

Чтобы получить этот вид призмы, необходимо взять треугольник произвольной формы и параллельно самому себе перенести его на некоторое расстояние. Вершины треугольника в начальном и конечном положении следует соединить прямыми отрезками. Полученная объемная фигура называется треугольной призмой. Она состоит из пяти сторон. Две из них называются основаниями: они параллельны и равны друг другу. Основаниями рассматриваемой призмы являются треугольники. Три оставшиеся стороны – это параллелограммы.

Помимо сторон, рассматриваемая призма характеризуется шестью вершинами (по три для каждого основания) и девятью ребрами (6 ребер лежат в плоскостях оснований и 3 ребра образованы пересечением боковых сторон). Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то такая призма называется прямоугольной.

Отличие треугольной призмы от всех остальных фигур этого класса заключается в том, что она всегда является выпуклой (четырех-, пяти-, …, n-угольные призмы могут также быть вогнутыми).

Правильная треугольная призма – это прямоугольная фигура, в основании которой лежит равносторонний треугольник.

Формула объема треугольной призмы правильной

Многогранник, который мы изучаем, будет правильным, если две его грани являются одинаковыми треугольниками равносторонними и три грани — это одинаковые прямоугольники. Формулу для объема такой призмы несложно получить из выражения общего вида, записанного в пункте выше. Чтобы это сделать, рассчитаем сначала площадь основания:

So = 1 / 2 × ha × a = 1 / 2 × √3 / 2 × a × a = √3 / 4 × a2

Значение высоты треугольника ha получено, исходя из того факта, что для равностороннего основания она является также медианой и биссектрисой. Таким образом, площадь So является функцией только одного параметра (стороны a).

Формулу объема для изучаемой призмы можно получить, если умножить на высоту выражение выше:

V = √3 / 4 × a2 × h

Поскольку для рассматриваемой фигуры высота равна длине бокового ребра b, то полученное выражение также можно переписать через параметры a и b.

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы.

Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы.

Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Найти объем призмы, зная площадь основания и высоту

Найти объем правильной треугольной призмы, зная ребра

Сообщить об ошибке

Объем правильной фигуры через значение ее диагонали

Треугольная призма является самой простой фигурой из своего класса, поэтому она обладает всего одним единственным типом диагонали. Это диагонали трех ее параллелограммов.

Предположим, что имеется правильная фигура, диагональ которой равна d (это диагональ прямоугольника), а высота равна h. Как рассчитать ее объем?

Для начала следует определить значение стороны основания a. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

d2 = h2 + a2 =>a = √(d2 — h2)

Тогда формула объема треугольной призмы приобретает вид:

V = √3 / 4 × a2 × h = √3 / 4 × (d2 — h2) × h

В случае правильной призмы объем всегда является функцией двух параметров (h и d в данном выражении).

Виды призм

  • Прямая призма – это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.
  • Наклонная призма – это призма, в которой боковые грани не перпендикулярны к основанию.
  • Правильная призма – это призма, в которой основания являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.
  • Усечённая призма – это призма, в которой основания не параллельны друг другу. Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Вычисление объема правильной пятиугольной призмы

  1. 1
    Запишите формулу для нахождения объема пятиугольной призмы. Формула: V = [1/2 x 5 x сторона пятиугольника x апофема] x высота призмы. Можно использовать первую часть формулы для нахождения площади пятиугольника в основании призмы. Это можно представить как нахождение площади пяти треугольников, составляющих правильный пятиугольник. В этом случае сторона пятиугольника равна основанию треугольника, а апофема — высоте треугольника. Умножим эти величины на 1/2 и получим площадь треугольника, а затем умножим результат на 5, так как 5 одинаковых треугольников составляют основу правильной пятиугольной призмы.[4]

    • Больше информации о том, как найти апофему, если она не дана, можно найти здесь.[5]
  2. 2
    Найдите площадь пятиугольного основания. Допустим, длина стороны составляет 6 см и длина апофемы равна 7 см. Просто подставьте эти цифры в формулу:

    • А = 1/2 х 5 х сторона х апофема.
    • А= 1/2 х 5 х 6 см х 7 см = 105 см2.
  3. 3
    Найдите высоту призмы. Допустим, высота призмы равна 10 см.
  4. 4
    Умножьте площадь пятиугольного основания на высоту призмы. Просто умножьте площадь основания (105 см2) на высоту (10 см) и найдете объем правильной пятиугольной призмы.

    • 105 см2 x 10 см = 1050 см3.
  5. 5
    Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 1050 см3.

Формула вычисления объема призмы

Объем призмы равняется произведению площади ее основания на высоту.

V = Sосн ⋅ h

  • Sосн – площадь основания, т.е. в нашем случае – четырехугольника ABCD или EFGH (равны между собой);
  • h – высота призмы.

Приведенная выше формула подходит для следующих видов призм:

  • прямой – боковые ребра перпендикулярны основанию;
  • правильной – прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник;
  • наклонной – боковые ребра расположены под углом по отношению к основанию.

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

– площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

– длина бокового ребра.

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Как рассчитывать объем фигуры произвольного типа?

Часть пространства, которая ограничена плоскими сторонами геометрической фигуры, называется ее объемом. В общем случае для призмы абсолютно любого типа справедлива следующая формула для определения ее объема:

V = So × h

Как видно, она очень проста и содержит всего два множителя: So — площадь одного основания, h — высота призмы, то есть дистанция между ее основаниями.

Применительно к треугольной призме произвольной формы (наклонной и неправильной), для вычисления величины So можно воспользоваться универсальной формулой для треугольника:

So = 1 / 2 × ha × a

Здесь a — сторона треугольника, ha — высота треугольника, опущенная на сторону a.

Расчет высоты h призмы можно провести с использованием теоремы Пифагора, если знать длину бокового ребра b и двугранные углы между основанием и боковыми гранями.

Вычисление объема трапецеидальной призмы

  1. 1
    Запишите формулу для вычисления объема трапецеидальной призмы. Формула: V = [1/2 x (основание трапеции1 + основание трапеции2) x высота трапеции] x высота призмы. Прежде чем вычислять объем призмы, необходимо использовать первую часть этой формулы, чтобы найти площадь основания призмы (площадь трапеции).[3]
  2. 2
    Найдите площадь основания трапецеидальной призмы. Для этого просто подставьте в формулу длину обоих основания и высоту трапеции.

    • Например, основание1 = 8 см, основание2 = 6 см, а высота = 10 см.
    • 1/2 х ( 6 + 8 ) х 10 = 1/2 х 14 см х 10 см = 70 см2.
  3. 3
    Найдите высоту трапецеидальной призмы. Допустим, высота трапецеидальной призмы составляет 12 см.
  4. 4
    Умножьте площадь основания на высоту. Чтобы рассчитать объем трапецеидальной призмы, надо просто умножить площадь основания на высоту.

    • 70 см2 x 12 см = 840 см3.
  5. 5
    Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 840 см3.

Основные свойства призмы

  • Основание призмы – равные многоугольники
  • Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
  • Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
  • Боковые грани призмы – параллелограммы
  • Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
  • В прямой призме грани могут быть прямоугольниками или квадратами.

Объем треугольной призмы общего типа

Как найти объем треугольной призмы? Формула в общем виде аналогична таковой для призмы любого вида. Она имеет такую математическую запись:

V = So * h

Здесь h – это высота фигуры, то есть расстояние между ее основаниями, So – площадь треугольника.

Величину So можно найти, если известны некоторые параметры для треугольника, например одна его сторона и два угла или две стороны и один угол. Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на длину стороны, на которую опущена эта высота.

Что касается высоты h фигуры, то ее проще всего найти для прямоугольной призмы. В последнем случае h совпадает с длиной бокового ребра.

Площадь поверхности призмы

Формула. Площадь боковой поверхности призмы через периметр основания и высоту:

Sb = P·h

Формула. Площадь поверхности призмы через площадь основания, периметр основания и высоту:

S = 2Soсн + P·h

Формула. Площадь поверхности правильной призмы через высоту (h), длину стороны (a) и количество сторон (n):
S = n a2ctg π + nah
2 n

Пример призмы

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Объем прямой фигуры с прямоугольным треугольником в основании

Прямоугольный треугольник представляет собой фигуру из трех сторон, две из которых пересекаются под прямым углом. Эти стороны называются катетами. Обозначим их a1 и a2. Третья сторона называется гипотенузой (a3). Из планиметрии известно каждому школьнику, что если взять половину произведения катетов, то можно получить площадь рассматриваемого треугольника, то есть:

So = a1 × a2 / 2

Так как призма является прямой, то достаточно умножить на So длину ее бокового ребра b, чтобы получить объем фигуры:

V = a1 × a2 × b/2

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение:

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k2 = S122 = 4S1.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Источники


  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/prism/
  • https://1Ku.ru/obrazovanie/36442-obem-treugolnoj-prizmy-formula-obshhego-tipa-i-formula-dlja-pravilnoj-prizmy/
  • https://klevo.net/formuly-obemov-prizm-treugolnyh-razlichnyh-vidov/
  • https://novstudent.ru/treugolnaya-prizma-vse-formulyi-i-primeryi-zadach/
  • https://geleot.ru/education/math/geometry/volume/prism
  • http://calc-online24.ru/formula/prizm
  • https://ru.wikihow.com/%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D1%82%D0%B8-%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BC-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D1%8B
  • https://MicroExcel.ru/obyom-prizmy/
  • https://youclever.org/book/prizma-1

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: