Как найти площадь параллелограмма abcd: формула через стороны, диагонали

Найти диагональ параллелограммаЗная стороны и угол

Сторона параллелограмма a Сторона параллелограмма b Угол в градусах между этими сторонами α
d1 =
d2 =

Так как каждая диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника, именно их свойства и будут использованы для выведения формулы диагонали параллелограмма.

В любом треугольнике угол и сторона, лежащие напротив, пропорциональны друг другу. Для параллелограмма это будет значить, что более длинная диагональ будет лежать напротив тупого угла, а более короткая диагональ – напротив острого.С учетом того, что стороны треугольников, полученных в результате проведения диагоналей, одинаковы – это стороны параллелограмма, значение градусной меры угла между данными сторонами определяет чему будет равна длина диагонали,вычисленной по формуле. Другими словами, если в формулудиагонали подставить значение острого угла параллелограмма, то калькулятор вычислит длину короткой диагонали, а если подставить значение тупого угла – то длинной.

Для того чтобы перейти от одного угла к другому, используется разность 180 градусов и заданного угла, таким образом калькулятор одновременно может вычислить обе диагонали.

α=180°-β

Чтобы вывести формулу диагонали параллелограмма, используется теорема косинусов в треугольнике, который диагональ образует со сторонами. В любом из подобных треугольников, диагональ является стороной, противолежащей углу параллелограмма и, соответственно, ее квадрат равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (сторон параллелограмма, в данном случае) за вычетом удвоенного произведения тех же сторон на косинус приведенного угла. Чтобы найти длину диагонали параллелограмма, калькулятор вычисляет квадратный корень из данного выражения.

 

Формула вычисления площади

1. По длине стороны и высоте:

Площадь параллелограмма (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:

S = a * h

2. По двум сторонам и углу между ними:

Площадь параллелограмма находится путем умножения длин его обеих сторон и синуса угла между ними:

S = a * b * sin α

3. По двум диагоналям и углу между ними:

Площадь параллелограмма равна одной второй произведения длин его диагоналей, умноженного на синус угла между ними:

S = 1/2 * d1 *d2 * sin α

Площадь параллелограмма через диагонали


Формула площади параллелограмма через диагонали позволяет быстро найти значение.
Для вычислений понадобится величина угла, расположенного между диагоналями.

Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма через диагонали. Пусть дан параллелограмм с диагоналями D = 7 см, d = 5 см. Угол, лежащий между ними α=30°. Подставим данные в формулу:

Пример расчета площади параллелограмма через диагональ дал нам прекрасный результат – 8,75.

Зная формулу площади параллелограмма через диагональ можно решать множество интересных задач. Давайте рассмотрим одну из них.



Задача:Дан параллелограмм с площадью 92 кв. см. Точка F расположена на середине его стороны ВС. Давайте найдем площадь трапеции ADFB, которая будет лежать в нашем параллелограмме. Для начала нарисуем все, что получили по условиям.
Приступаем к решению:

По нашим условиям ah =92, а соответственно, площадь нашей трапеции будет равняться

Зная длину стороны a и длину высоты h

Чему равна площадь параллелограмма если сторона a = ,а высота h = ?
Ответ: S =
0

Чему равна площадь параллелограмма S если известны длина стороны a и длина высоты h, проведенной к этой стороне?

Формула

S = a⋅h

Площади фигур

Расчет площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, ромба, круга (площадь фигур). Площади фигур

Периметр параллелограмма

Определение.

Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:

P = 2a + 2b = 2(a + b)

2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:

P = 2a + √2d12 + 2d22 – 4a2

P = 2b + √2d12 + 2d22 – 4b2

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:
P = 2(b + hb )
sin α
P = 2(a + ha )
sin α

Через основание и высоту

{S= a cdot h}

Формула для нахождения площади параллелограмма через основание и высоту:

{S= a cdot h}, где a — основание параллелограмма, h — его высота, проведенная к основанию.

Высота

Нижняя сторона параллелограмма называется его основанием, а перпендикуляр, опущенный на основание из любой точки противоположной стороны, – высотой.

AD – это основание параллелограмма, h – высота.

Высота выражает расстояние между противоположными сторонами, поэтому определение высоты можно сформулировать ещё так: высота параллелограмма – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на противоположную ей сторону.

Формула Герона

S = √p(p – a)(p – b)(p – c)
  • Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
    S = 1 a · b · sin γ
    2
  • Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
    S = a · b · с
    4R
  • Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
    S = p · r

    где S – площадь треугольника,
    a, b, c – длины сторон треугольника,
    h – высота треугольника,
    γ – угол между сторонами a и b,
    r – радиус вписанной окружности,
    R – радиус описанной окружности,

    p = a + b + c – полупериметр треугольника.
    2

  • Основные свойства параллелограмма

    Квадрат, прямоугольник и ромб – есть параллелограммом.
    1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:

    AB = CD, BC = AD

    2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:

    AB||CD, BC||AD

    3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:

    ∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

    4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:

    ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

    5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:

    ∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

    6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
    7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников
    8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:
    AO = CO = d1
    2
    BO = DO = d2
    2
    9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
    10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

    AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2

    11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
    12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

    Формулы определения длин сторон параллелограмма:

    1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

    a = d12 + d22 – 2d1d2·cosγ 2 = d12 + d22 + 2d1d2·cosδ 2

    b = d12 + d22 + 2d1d2·cosγ 2 = d12 + d22 – 2d1d2·cosδ 2

    2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:
    a = 2d12 + 2d22 – 4b2
    2
    b = 2d12 + 2d22 – 4a2
    2
    3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:
    a = hb
    sin α
    b = ha
    sin α
    4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:
    a = S
    ha
    b = S
    hb

    Через стороны и угол между ними

    {S= a cdot b cdot sin({alpha})}

    Формула для нахождения площади параллелограмма через стороны и угол между ними:

    {S= a cdot b cdot sin({alpha})}, где a и b — стороны параллелограмма, α — угол между сторонами.

    Площадь параллелограмма по вписанной окружности и углу между сторонами

    Данная формула применима только для параллелограммов, в которые можно вписать окружность. Таким параллелограммом может являться только ромб.

    r – радиус вписанной окружности
    α° – угол между сторонами

    Примечание:

    Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

    Площадь

    Для измерения площади параллелограмма можно представить его в виде прямоугольника. Рассмотрим параллелограмм ABCD:

    Построенные высоты BE и CF образуют прямоугольник EBCF и два треугольника: ΔABE и ΔDCF. Параллелограмм ABCD состоит из четырёхугольника EBCD и треугольника ABE, прямоугольник EBCF состоит из того же четырёхугольника и треугольника DCF. Треугольники ABE и DCF равны (по четвёртому признаку равенства прямоугольных треугольников), значит и площади прямоугольника с параллелограммом равны, так как они составлены из равных частей.

    Итак, параллелограмм можно представить в виде прямоугольника, имеющего такое же основание и высоту. А так как для нахождения площади прямоугольника перемножаются длины основания и высоты, значит и для нахождения площади параллелограмма нужно поступить также:

    площадь ABCD = AD · BE

    Из данного примера можно сделать вывод, что площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Общая формула:

    S = ah

    где S – это площадь параллелограмма, a – основание, h – высота.

    Пример

    Даны длина прилежащей к высоте стороны параллелограмма (b) и угол, противоположный самой высоте (a).

    • Формула: h = b* sin a

    Пример: Обозначим наш параллелограмм буквами ABCD, высота BE проходит из угла ABC к стороне AD. Длина стороны AB равна 20 см, угол BAD равен 30 градусов. Найдите высоту.

    Решение:

    • h = 20 * sin 30° = 20 * 0,5 = 10

    Ответ: 10 см

    Источники


    • https://allcalc.ru/node/981
    • https://MicroExcel.ru/ploshhad-parallelogramma/
    • https://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-parallelogramma/
    • https://poschitat.online/ploshad-parallelogramma
    • https://www.calc.ru/Ploshchadi-Figur-Ploshchad-Parallelogramma.html
    • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/parallelogram/
    • https://mnogoformul.ru/kak-nayti-ploshhad-parallelogramma
    • https://naobumium.info/planimetriya/parallelogramm.php
    • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/area/
    • https://doza.pro/art/math/geometry/area-parallelogram
    • https://elhow.ru/ucheba/geometrija/planimetrija/kak-najti-vysotu-parallelogramma

    Рейтинг
    ( Пока оценок нет )
    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: