Как найти площадь поверхности конуса: боковую, основания, полную

Фигура конус

Чтобы понять, как найти образующую конуса, следует дать представление об этой фигуре. Круглым прямым конусом называют фигуру вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Рисунок ниже демонстрирует процесс вращения.

Полученная пространственная фигура имеет следующие характеристики:

Заметим, что высота фигуры пересекает круглое основание в его центре. Это является достаточным условием, чтобы считать конус прямым.

Найти площадь поверхности конуса через:

Конус – геометрическое тело, которое состоит из круга (основание конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершина конуса), и всех точек, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Площадь поверхности конуса формула:
, где r – радиус основания, l – образующая

Площадь поверхности конуса формула:
, где r – радиус основания, h – высота

Площадь куба

Формула площади боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса можно получить, зная его радиус R и образующую L:

Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и направляющую

Пусть дан конус с радиусом R и образующей L
AS=L, AO=R

Разрежем конус по образующей L и развернем его боковую поверхность.
В результате получим криволинейный треугольник ASA` , где AS=L, A`S=L.
Дуга AA` -это вытянутая окружность основания конуса с радиусом R. Следовательно, длина дуги AA` будет равна 2πR
Площадь боковой поверхности будет равна площади сектора круга с радиусом R.
Если угол α – радиальная мера угла, то:
где α=∠{ASA`}
Чтобы найти угол ∠{ASA`} воспользуемся формулой длины дуги, которая стягивает данный угол:
Но с другой стороны:
Приравняем правые части равенств. Имеем:
Выразим α:
Подставим полученное выражение в формулу площади сектора:
Следовательно, боковая поверхность конуса равна произведению числа π на радиус конуса и его образующую.
Формула боковой поверхности конуса будет иметь следующий вид:

Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и направляющая
Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 3 см, образованным направляющей равной 7 см
По условию задачи L = 5см, R=3см
Формула боковой поверхности конуса:

Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:

Площадь прямоугольного параллелепипеда

Площадь цилиндра

Виды конуса

Конус может быть нескольких видов:

Прямым, если его основанием является эллипс или круг. Причем вершина должна точно проектироваться в центр основания.
Косым — это тот случай, когда центр фигуры, лежащей в основании, не совпадает с проекцией вершины на это основание.
Круговым — соответственно, если основание — круг.
Усеченным — область конуса, которая будет лежать между основанием и сечением плоскости, параллельной основанию и пересекающей этот конус.

Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и высоту

Очень часто в задачах на вычисление площади боковой поверхности конуса известна высота конуса вместо его направляющей.
Так как конус прямой, то треугольник AOS – прямоугольный, где AO и OS – катеты, а AS –гипотенуза. Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем:
Отсюда:
Но
Тогда:
Подставим данное выражение в формулу площади боковой поверхности конуса:
Боковая поверхность конуса равна произведению числа на радиус конуса и корень квадратный из суммы квадратов радиуса и высоты конуса

Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и высота.
Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 1 см и высотой, равной 5 см
По условию задачи Н = 5см, R=1см
Формула боковой поверхности конуса:

Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:

Полная площадь

Для вычисления суммарной площади конуса следует сложить площади боковой поверхности и основания:

S = π R l + π R² или S = π R (l + R)

Элементы конуса

Определение. Осевое сечение конуса – это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника – это диаметр основания конуса.

Определение. Касательная плоскость к конусу – это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.

Определение. Прямой конус – это конус у которого ось перпендикулярна основе. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой.

Формула. Объём кругового конуса:

V =	1	πHR2
	3

где R – радиус основы, а H – высота конуса.

Формула. Площадь боковой поверхности (S_b) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:

S_b = πRL

Формула. Общая площадь поверхности (S_p) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L:

S_p = πRL + πR²

Определение. Косой (наклонный) конус – это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой.

Формула. Объём любого конуса:

V =	1	SH
	3

где S – площадь основы, а H – высота конуса.

Определение. Усеченный конус – это часть конуса, которая находится между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельная основе.

Формула. Объём усеченного конуса:

V =	1	(S2H – S1h)
	3

где S₁ и S₂ – площади меньшей и большей основы соответственно, а H и h – расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы соответственно.

Формула площади основания конуса

Площадь основания конуса можно вычислить по его радиусу R:

Площадь шара

Формулы площади шара:

• Площадь поверхности шара равна четырем его радиусам в квадрате умноженным на число π.

  S = 4 π R²

• Площадь поверхности шара равна квадрату его диаметра умноженного на число π.

  S = π D²

Примеры задач

Задание 1
Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если известно, что его радиус равен 16 см, а длина образующей – 5 см.

Решение:
Используем соответствующую формулу с известными нам величинами:
S = 3,14 ⋅ 16 см ⋅ 5 см = 251,2 см².

Задание 2
Высота конуса равна 4 см, а его радиус – 3 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Если рассмотреть конус в сечении, то можно заметить, что его высота, радиус и образующая представляют собой прямоугольный треугольник. Следовательно, воспользовавшись теоремой Пифагора, можно найти длину образующей (является гипотенузой):
l² = (4 см)² + (3 см)² = 25 см².
l = 5 см.

Осталось только использовать найденное и известные по условиям задачи значения, чтобы рассчитать площадь:
S = 3,14 ⋅ 3 см ⋅ (5 см + 3 см) = 75,36 см².

О какой фигуре будет идти речь?

Круглый конус – это фигура, которую можно получить следующим образом. Необходимо взять треугольник с углом прямым и его вокруг одного из катетов вращать. Тогда получится показанная ниже объемная фигура.

Отрезок AC на рисунке называется радиусом основания, который “рисует” при вращении с центром в точке A круг. Катет AB – это высота конуса. Очевидно, что отрезок AB перпендикулярен основанию и является частью оси вращения фигуры. Точка B – это высота рассматриваемой фигуры. Отрезок BE называется образующей, или генератрисой конуса. Совокупность всех генератрис образует боковую поверхность конуса. Она является конической. Ограничивающая основание окружность называется направляющей, или директрисой конуса.

Поскольку генератриса, радиус и высота являются гипотенузой и катетами рассмотренного прямоугольного треугольника, то для них можно записать формулу:

g2 = r2 + h2

Здесь g – генератриса, r – радиус, h – высота.

Генератриса усеченной фигуры

Итак, мы познакомились с усеченным конусом, а также с понятием о его образующей. Как находить образующую конуса усеченного? Для того чтобы получить нужную формулу, заметим, если высоту h перенести параллельно самой себе к боковой поверхности конуса так, чтобы она касалась одним концом образующей фигуры, то получится прямоугольный треугольник. Его сторонами будут высота h (катет), генератриса g (гипотенуза) и r1-r2 (катет). Тогда можно записать формулу для определения g:

g = √((r1 – r2)2 + h2)

Соответственно, если дан острый угол φ1 между большим основанием и генератрисой, тогда последнюю можно определить так:

g = h/sin(φ1);

g = (r1 – r2)/cos(φ1)

Если же известен тупой угол φ2 между малым основанием и генератрисой, тогда для ее вычисления необходимо применять такие выражения:

g = h/sin(φ2);

g = (r2 – r1)/cos(φ2)

Здесь первая формула является точно такой же, как для угла φ1, а во второй формуле радиусы в числителе поменялись местами.

Таким образом, найти образующую конуса усеченного можно, если знать любые три его параметра.

Формула объема конуса

Объем конуса можно вычислить, зная его высоту H и площадь основания:

Осевое сечение конуса и его площадь

Чтобы записать для конуса формулу площади сечения осевого, сначала следует познакомиться с самим сечением. Оно получается так: нужно взять секущую плоскость, расположить ее параллельно оси конуса. Затем необходимо разрезать конус плоскостью на две одинаковые части таким образом, чтобы в плоскость сечения попала вершина фигуры.

Несложно себе представить, что в результате описанной операции получится равнобедренный треугольник. Равные стороны треугольника будут такие же, как длины генератрис. А третья сторона будет равна диаметру основания.

Формула площади осевого сечения конуса (фото см. выше) не отличается сложностью. Она соответствует формуле расчета этой величины для описанного треугольника. Поскольку у треугольника площадь равна произведению основания на высоту, которое следует поделить пополам, то искомое равенство для осевого сечения примет вид:

S = h*r

Эта формула говорит о том, что S в два раза больше площади прямоугольного треугольника, вращением которого был получен конус.

Образующая конуса

Теперь можно переходить к ответу на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого. Выше было сказано, что она представляет собой отрезок, который лежит на конической поверхности и соединяет вершину с точкой окружности основания. В прямоугольном треугольнике, из которого был конус получен, образующая является гипотенузой. Это наблюдение позволяет записать известную теорему Пифагора, связав образующую g с радиусом r и высотой h фигуры. Формула, как найти образующую конуса, имеет вид:

g = √(r2 + h2)

Помимо этой формулы, на практике вместо высоты или радиуса фигуры может быть известен угол φ между образующей и основанием. В этом случае генератрису g можно рассчитать с помощью следующих выражений:

g = h/sin(φ);

g = r/cos(φ)

Эти формулы следуют из свойств тригонометрических функций синуса и косинуса.

Таким образом, вычисление образующей конуса возможно, если знать любые два параметра фигуры.