Как найти площадь прямоугольного треугольника

Расчет площади равностороннего треугольника, зная сторону

Если вам дана только высота треугольника, то S равностороннего треугольника следует рассчитать по формуле:

где S — площадь треугольника; h — его высота.

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Формула площади равнобедренного треугольника через стороны

Зная стороны равнобедренного треугольника, найти площадь можно по формуле:

  • b — основание треугольника.
  • a — равные стороны.

Зная три стороны и радиус описанной окружности

  1. Найдите произведение всех сторон треугольника.
  2. Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • R — радиус описанной окружности.
  • a, b, c — стороны треугольника.

Вывод формул для площади произвольного треугольника

Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а haвысота, опущенная на эту сторону.

Доказательство.

Рис. 1

Достроив треугольник ABC до параллелограммапараллелограмма ABDC (рис. 1), получим

что и требовалось доказать.

Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

Доказательство.

Рис. 2

Поскольку

ha = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

Доказательство.

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = hactg C , y = hactg B ,

то

a = x + y =
=
ha
ctg C + hactg B =
=
ha( ctg C + ctg B) .

Следовательно,

Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

Доказательство.

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

что и требовалось доказать.

Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

Доказательство.

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

Следовательно,

Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

Доказательство.

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

Поэтому

a = 2R sin A ,
b =
2R sin B ,
c =
2R sin C ,

В силу утверждения 5

что и требовалось доказать.

Формула Герона

S = √p(p – a)(p – b)(p – c)
  • Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
    S = 1 a · b · sin γ
    2
  • Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
    S = a · b · с
    4R
  • Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
    S = p · r

    где S – площадь треугольника,
    a, b, c – длины сторон треугольника,
    h – высота треугольника,
    γ – угол между сторонами a и b,
    r – радиус вписанной окружности,
    R – радиус описанной окружности,

    p = a + b + c – полупериметр треугольника.
    2
  • Площадь поверхности куба, онлайн расчет

    Найти площадь поверхности куба по формуле через длину его ребра. Площадь поверхности куба, онлайн расчет

    Через высоту и основание

    Формула площади равнобедренного треугольника через высоту и основание.

    • b — основание треугольника.
    • a — равные стороны.
    • h — высота.

    через две стороны и угол

    a, b – стороны треугольника,
    α – угол между сторонами.

    Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

    Гипотенуза c =
    Катет (a или b) =
    S =
    0
    Введите длины гипотенузы и одного из катетов, и получите ответ.

    Теория

    Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны его гипотенуза (c) и один из катетов (a или b)?

    Формула

    S = ½ ⋅ a ⋅ c² – a² = ½ ⋅ b ⋅ c² – b²

    Пример

    К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 2 см, а гипотенуза c = 5 см:

    S = 2 ⋅ 5² – 2² / 2 = 25 – 4 ≈ 4.58 см²

    Через сторону и два прилежащих угла

     

    Ответы:

    Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

    Способ расчета площади треугольника

    Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек (вершины треугольника), не лежащих на одной прямой, соедененных тремя отрезками (стороны треугольника).
    Формула площади треугольника: ,
    где a – сторона треугольника, h – высота

    Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

    Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

    • S — искомая площадь треугольника.
    • r — радиус вписанной окружности.
    • p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

    Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

    Сторона a
    Сторона b
    Угол α° между сторонами a и b

    Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.

    Найти площадь равнобедренного треугольника, зная сторону и угол

    Источники


    • https://infofaq.ru/ploshhad-ravnostoronnego-treugolnika.html
    • https://Lifehacker.ru/kak-najti-ploshhad-lyubogo-treugolnika/
    • https://hr-vector.com/geometriya/area/ploshhad-ravnobedrennogo-treugolnika-formuly-onlajn-kalkulyator
    • https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/sqt.htm
    • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/area/
    • https://www.calc.ru/ploshchad-treugolnika.html
    • https://calc.by/math-calculators/area-triangle.html
    • https://poschitat.online/ploshad-pryamougolnogo-treugolnika
    • https://www.mozgan.ru/Geometry/AreaTriangle
    • https://doza.pro/art/math/geometry/area-triangle
    • https://geleot.ru/education/math/geometry/area/isosceles_triangle

    Рейтинг
    ( Пока оценок нет )
    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: