Как найти разность арифметической прогрессии: формулы и примеры решений

Математическое определение

Итак, если речь идет о прогрессии арифметической или алгебраической (эти понятия определяют одно и то же), то это означает, что имеется некоторый числовой ряд, удовлетворяющий следующему закону: каждые два соседних числа в ряду отличаются на одно и то же значение. Математически это записывается так:

an + 1-an = d

Здесь n означает номер элемента an в последовательности, а число d – это разность прогрессии (ее название следует из представленной формулы).

О чем говорит знание разности d? О том, как “далеко” друг от друга отстоят соседние числа. Однако знание d является необходимым, но не достаточным условием для определения (восстановления) всей прогрессии. Необходимо знать еще одно число, которым может быть совершенно любой элемент рассматриваемого ряда, например, a4, a10, но, как правило, используют первое число, то есть a1.

Понятие о прогрессии алгебраической

Числовая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый последующий элемент можно получить из предыдущего, если применить некоторый математический закон. Известно два простых вида прогрессии: геометрическая и арифметическая, которую называют также алгебраической. Остановимся на ней подробнее.

Представим себе некоторое рациональное число, обозначим его символом a1, где индекс указывает его порядковый номер в рассматриваемом ряду. Добавим к a1 некоторое другое число, обозначим его d. Тогда второй элемент ряда можно отразить следующим образом: a2 = a1+d. Теперь добавим d еще раз, получим: a3 = a2+d. Продолжая эту математическую операцию, можно получить целый ряд чисел, который будет называться прогрессией арифметической.

Как можно понять из изложенного выше, чтобы найти n-ый элемент этой последовательности, необходимо воспользоваться формулой: an = a1 + (n-1)*d. Действительно, подставляя n=1 в выражение, мы получим a1 = a1, если n = 2, тогда из формулы следует: a2 = a1 + 1*d, и так далее.

Например, если разность прогрессии арифметической равна 5, а a1 = 1, то это значит, что числовой ряд рассматриваемого типа имеет вид: 1, 6, 11, 16, 21, … Как видно, каждый его член больше предыдущего на 5.

Примеры арифметических прогрессий.

1. Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5,… является арифметической прогрессией, в которой 1-й член , а разность .

1, -1, -3, -5, -7 — первые пять членов арифметической прогрессии, в которой и .

2. Если каждый элемент некоторой последовательности имеет такую же величину, как и остальные элементы этой системы и равен некоторому числу , тогда это является арифметической прогрессией, в которой и . В частности, является арифметической прогрессией с разностью .

3. Сумма 1-х натуральных чисел выражают формулой:

.

Решение без использования формул

Решим первую задачу, при этом не будем использовать никакие из приведенных формул. Пусть даны элементы ряда: а6 = 3, а9 = 18. Найти разность прогрессии арифметической.

Известные элементы стоят близко друг к другу в ряду. Сколько раз нужно добавить разность d к наименьшему, чтобы получить наибольшее из них? Три раза (первый раз добавив d, мы получим 7-й элемент, второй раз – восьмой, наконец, третий раз – девятый). Какое число нужно добавить к трем три раза, чтобы получить 18? Это число пять. Действительно:

3 + 5 + 5 + 5 = 18

Таким образом, неизвестная разность d = 5.

Конечно же, решение можно было выполнить с применением соответствующей формулы, но этого не было сделано намеренно. Подробное объяснение решения задачи должно стать понятным и ярким примером, что такое арифметическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со 2-го, получают из предыдущего путем умножения его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : .

Или другими словами: геометрическая прогрессия – это численная последовательность, каждое из чисел равняется предыдущему, умноженному на определенное постоянное число q для данной прогрессии, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии можно вычислить при помощи формулы:

Когда и , значит, прогрессия возрастает , когда , значит, прогрессия убывает, а при — знакочередуется.

Название геометрическая прогрессия взяла из своего характеристического свойства:

т.е. все члены равны среднему геометрическому их соседей.

Общий вид арифметической прогрессии

a1, a1 + d, a1 + 2d, … a1 + (n – 1) d, …

d – шаг или разность прогрессии; это и есть постоянное слагаемое.

Члены прогрессии:

  • a1
  • a2 = a1 + d
  • a3 = a2 + d = a1 + 2d
  • и т.д.

Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.

Что вы узнаете

В жизни мы часто сталкиваемся с числовыми последовательностями. Например, средняя температура воздуха для каждого дня в сентябре или расходы на транспорт в каждом месяце года.

Пусть каждому натуральному числу

nn

поставлено в соответствие некоторое единственное действительное число

ana_n

(при этом разным натуральным числам

nn

могут соответствовать и одинаковые действительные числа). Тогда можно сказать, что задана числовая последовательность

a1,a2,a3,....a_1, a_2, a_3, ….

Другое обозначение:

{an}n=1{{a_n}_{n}^{infty }}_{=1}

.

Последовательности, о которых пойдет речь в данной главе, обладают интересными свойствами: очередной член последовательности можно вычислить, зная предыдущий член, по определенной формуле. Если использовать свойства этих последовательностей, то многие задачи математики, физики и экономики значительно упрощаются.

Начнем с арифметической прогрессии.

Формулы для определения элементов прогрессии

В общем, информации выше уже достаточно, чтобы переходить к решению конкретных задач. Тем не менее до того, как будет дана прогрессия арифметическая, и найти разность ее будет необходимо, приведем пару полезных формул, облегчив тем самым последующий процесс решения задач.

Несложно показать, что любой элемент последовательности с номером n может быть найден следующим образом:

an = a1 + (n – 1) * d

Действительно, проверить эту формулу может каждый простым перебором: если подставить n = 1, то получится первый элемент, если подставить n = 2, тогда выражение выдает сумму первого числа и разности, и так далее.

Условия многих задач составляются таким образом, что по известной паре чисел, номера которых в последовательности также даны, необходимо восстановить весь числовой ряд (найти разность и первый элемент). Сейчас мы решим эту задачу в общем виде.

Итак, пусть даны два элемента с номерами n и m. Пользуясь полученной выше формулой, можно составить систему из двух уравнений:

an = a1 + (n – 1) * d;

am = a1 + (m – 1) * d

Для нахождения неизвестных величин воспользуемся известным простым приемом решения такой системы: вычтем попарно левую и правую части, равенство при этом останется справедливым. Имеем:

an = a1 + (n – 1) * d;

an – am = (n – 1) * d – (m – 1) * d = d * (n – m)

Таким образом, мы исключили одну неизвестную (a1). Теперь можно записать окончательное выражение для определения d:

d = (an – am) / (n – m), где n > m

Мы получили очень простую формулу: чтобы вычислить разность d в соответствии с условиями задачи, необходимо лишь взять отношение разностей самих элементов и их порядковых номеров. Следует обратить на один важный момент внимание: разности берутся между “старшим” и “младшим” членами, то есть n > m (“старший” – имеется в виду стоящий дальше от начала последовательности, его абсолютное значение может быть как больше, так и меньше более “младшего” элемента).

Выражение для разности d прогрессии следует подставить в любое из уравнений в начале решения задачи, чтобы получить значение первого члена.

Далее в статье приведем примеры решения задач на вычисления d и на восстановление числового ряда алгебраической прогрессии. Здесь же хотелось бы отметить один важный момент.

В наш век развития компьютерных технологий многие школьники стараются найти решения для своих заданий в Интернете, поэтому часто возникают вопросы такого типа: найти разность арифметической прогрессии онлайн. По подобному запросу поисковик выдаст ряд web-страниц, перейдя на которые, нужно будет ввести известные из условия данные (это могут быть как два члена прогрессии, так и сумма некоторого их числа) и моментально получить ответ. Тем не менее такой подход к решению задачи является непродуктивным в плане развития школьника и понимания сути поставленной перед ним задачи.

Формулы разности прогрессии арифметической

Из приведенного выше определения рассматриваемого ряда чисел следует, что для его определения необходимо знать два числа: a1 и d. Последнее называется разностью этой прогрессии. Оно однозначно определяет поведение всего ряда. Действительно, если d будет положительным, то числовой ряд будет постоянно возрастать, наоборот, в случае d отрицательного, будет происходить возрастание чисел в ряду лишь по модулю, абсолютное же их значение будет уменьшаться с ростом номера n.

Чему равна разность прогрессии арифметической? Рассмотрим две основные формулы, которые используются для вычисления этой величины:

  • d = an+1-an, эта формула следует непосредственно из определения рассматриваемого ряда чисел.
  • d = (-a1+an)/(n-1), это выражение получается, если выразить d из формулы, приведенной в предыдущем пункте статьи. Заметим, что это выражение обращается в неопределенность (0/0), если n=1. Связано это с тем, что необходимо знание как минимум 2-х элементов ряда, чтобы определить его разность.
  • Эти две основные формулы используются для решения любых задач на нахождение разности прогрессии. Однако существует еще одна формула, о которой также необходимо знать.

    Свойства арифметической прогрессии.

    1. Общий член арифметической прогрессии.

    Член арифметической прогрессии с номером можно найти с помощью формулы:

    ,

    где — 1-й член прогрессии, — разность прогрессии.

    2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

    Последовательность – это арифметическая прогрессия для элементов этой прогрессии выполняется условие:

    .

    3. Сумма 1-х членов арифметической прогрессии.

    Сумму 1-х членов арифметической прогрессии можно найти с помощью формул:

    ,

    где — 1-й член прогрессии,

    — член с номером ,

    — число суммируемых членов.

    ,

    где — 1-й член прогрессии,

    разность прогрессии,

    — число суммируемых членов.

    4. Сходимость арифметической прогрессии.

    Арифметическая прогрессия является расходящейся при и сходящейся при . При этом:

    5. Связь между арифметической и геометрической прогрессиями.

    Есть — арифметическая прогрессия с разностью , где число . Тогда последовательность, которая имеет вид является геометрической прогрессией, имеющей знаменатель .

    Онлайн калькуляторсумма арифметической прогрессии

    Известный член прогрессии A

    Шаг (разность) прогрессии d Произвести вычисления для n равного

    Бытует мнение, что формула суммы арифметической прогрессии была открыта еще Гауссом, как быстрый и точный способ расчета суммы чисел в определенной последовательности. Он заметил, что такая прогрессия является симметричной, то есть сумма симметрично расположенных с начала и конца членов прогрессии является постоянной для данного ряда.

    a1+an=a2+a(n-1)=a3+a(n-2)=⋯

    Соответственно, он нашел данную сумму и умножил ее на половину от общего количества чисел в последовательности, участвующих в расчете суммы. Таким образом, была выведена формула суммы арифметической прогрессии

    Пример. Предположим, задано условие: “Найдите сумму первых десяти (10) членов арифметической прогрессии”. Для этого понадобится следующие данные: разность прогрессии и первый ее член. Если в задаче дан какой-либо n член арифметической прогрессии вместо первого, тогда сначала нужно воспользоваться разделом, где представлена формула нахождения первого члена прогрессии, и найти его. Затем исходные данные вбиваются в калькулятор и он производит расчеты, складывая первый и десятый члены, и умножая полученную сумму на половину от общего количества складываемых членов – на 5. Аналогично происходит, если нужно найти сумму первых шести членов или любого другого количества.

    В случае, когда необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии, начинающихся не с первого, а с пятого члена, к примеру, тогда среднее арифметическое остается тем же, а общее количество членов берется как увеличенная на единицу разность между порядковыми номерами взятых членов.

     
    Источники


    • https://FB.ru/article/432010/kak-nayti-raznost-arifmeticheskoy-progressii-formulyi-i-primeryi-resheniy
    • https://1Ku.ru/obrazovanie/10028-kak-najti-raznost-arifmeticheskoj-progressii/
    • https://www.calc.ru/Progressii-Arifmeticheskaya-Geometricheskaya-Formuly.html
    • https://MicroExcel.ru/arifmeticheskaya-progressiya/
    • https://lampa.io/p/%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F-00000000753cfa14d82214511e944e87
    • https://allcalc.ru/node/1002

    Рейтинг
    ( Пока оценок нет )
    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: