Как найти стороны прямоугольного треугольника

Определение

Тангенс острого угла α (tg α или tan α) – это отношение противолежащего катета (a) к прилежащему (b) в прямоугольном треугольнике.

tg α = a / b

Например:
a = 3
b = 4
tg α = a / b = 3 / 4 = 0.75

Равнобедренный треугольник

Одно из свойств равнобедренного треугольника — два его угла равны. Для вычисление значений углов прямоугольного равнобедренного треугольника нужно знать, что:

  • Прямой угол равен 90º.
  • Значения острых углов определяются по формуле: (180º-90º)/2=45º, т.е. углы α и β равны 45º.

Если известна величина одного из острых углов, второй можно найти по формуле: β=180º-90º-α, или α=180º-90º-β. Чаще всего это соотношение используется, если один из углов равен 60º или 30º.

Определение тригонометрических функций.

Тригонометрические функции изначально связывались с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. У них есть только один аргумент угол (1-н из острых углов треугольника).

Соотношения сторон и их связь с функциями:

  • Синус — противолежащий катет к гипотенузе.
  • Косинус — прилежащий катет к гипотенузе.
  • Тангенс — противолежащий катет к прилежащему.
  • Котангенс — прилежащий катет к противолежащему.
  • Секанс — гипотенуза к прилежащему катету.
  • Косеканс — гипотенуза к противолежащему катету.

Благодаря этим определениям легко вычислять значение функций для острых углов, т.е. в интервале 0 – 90° (0 – π/2 рад.).

Найти угол α зная угол β и наоборот

Если ∠β = , то ∠α =
0

Если ∠α = , то ∠β =

0

Формула

α = 90° – β

β = 90° – α

Задача

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Тангенс — это отношение…

Итак, есть два определения:

  1. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

    Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.

  2. Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

    Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.

Приняты обозначения:

Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan⁡(α).

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по двум катетам).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по катету и острому углу).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и острому углу).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и катету).

Сумма углов треугольника

Есть два варианта нахождения общей суммы углов треугольника:

  • Математический анализ. За столь страшными словами кроется обычная простая формула:

180*(n-2)- где n – количество сторон многоугольника.

  • Второй способ – геометрический. Именно таким образом было в первый раз выведено утверждение о том, что сумма углов треугольника равняется 180 градусам. Рассмотрим его подробнее.

Рис. 2. Рисунок к задаче

Пусть треугольник АВС – произвольный треугольник с основанием АС. Тогда построим прямую ВD, проходящую через точку В, параллельно основанию. Тогда получается две параллельные прямые: АС и ВD с двумя секущими АВ и ВС.

Тогда рассмотрим углы при секущих прямых. Сумма трех углов при вершине В будет равна 180 градусам, так как они представляют собой развернутый угол. Тогда внутренние углы треугольника будут равные накрест лежащим наружным углам. То есть сумма углов треугольника равняется градусной мере развернутого угла и равняется 180 градусам.

Важно понимать, что наружные углы нельзя называть внешними углами треугольника, так как внешние углы получаются с помощью продолжения одной из сторон треугольника, а прямая ВD продолжением стороны треугольника не является.

Общая формула суммы углов многоугольника получается с помощью разбиения фигуры на треугольники и подсчета сумм углов получившихся малых фигур.

Решение прямоугольного треугольника по двум сторонам

Если даны две стороны прямоугольного треугольника, то третья сторона может быть вычислена по теореме Пифагора. Острые углы определяются по формулам тригонометрических функций острого углаСинус угла — sin(A), Косинус угла — cos(A), Тангенс угла — tg(A), Котангенс угла — ctg(A), Секанс угла — sec(A), Косеканс угла — cosec(A).

Решение прямоугольного треугольника

Если известны катет a и гипотенуза c

Второй катет b определится по теореме Пифагора:

[ b = sqrt{c^2 – a^2} ]

Угол A определится по формуле синуса:

[ sin(A) = frac{a}{c} ]

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180° то второй острый угол определится так:

[ B = 180° – 90° – A ]

Если известны катеты a и b

Гипотенуза с определится по теореме Пифагора:

[ c = sqrt{a^2 + b^2} ]

Угол A определится по формуле тангенса:

[ tg(A) = frac{a}{b} ]

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180° то второй острый угол определится так:

[ B = 180° – 90° – A ]

Свойства тангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства тангенса с формулами.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Свойство Формула
Симметричность tg (90°- α) = ctg α‘ data-original-value=’tg (90°- α) = ctg α‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”3″ data-y=”3″ data-x=”1″ data-cell-id=”B3″>tg (90°- α) = ctg α
Тригонометрические тождества tg α = 1 / ctg α‘ data-original-value=’tg α = 1 / ctg α‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”5″ data-y=”5″ data-x=”1″ data-cell-id=”B5″>tg α = 1 / ctg α
Тангенс двойного угла tg (α+β) = (tg α + tg β) / (1 – tg α tg β)‘ data-original-value=’tg (α+β) = (tg α + tg β) / (1 – tg α tg β)‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”7″ data-y=”7″ data-x=”1″ data-cell-id=”B7″>tg (α+β) = (tg α + tg β) / (1 – tg α tg β)
Тангенс разности углов tg α + tg β = sin (α + β) / cos α cos β‘ data-original-value=’tg α + tg β = sin (α + β) / cos α cos β‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”9″ data-y=”9″ data-x=”1″ data-cell-id=”B9″>tg α + tg β = sin (α + β) / cos α cos β
Разность тангенсов tg α tg β = (tg α + tg β) / (ctg α + ctg β)‘ data-original-value=’tg α tg β = (tg α + tg β) / (ctg α + ctg β)‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”11″ data-y=”11″ data-x=”1″ data-cell-id=”B11″>tg α tg β = (tg α + tg β) / (ctg α + ctg β)
tg α ctg β = (tg α + ctg β) / (ctg α + tg β)‘ data-original-value=’tg α ctg β = (tg α + ctg β) / (ctg α + tg β)‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”13″ data-y=”13″ data-x=”1″ data-cell-id=”B13″>tg α ctg β = (tg α + ctg β) / (ctg α + tg β)
∫ tg x dx = -ln |cos x| + C‘ data-original-value=’∫ tg x dx = -ln |cos x| + C‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”16″ data-y=”16″ data-x=”1″ data-cell-id=”B16″>∫ tg x dx = -ln |cos x| + C
Формула Эйлера