КОНУС формулы объема, площади поверхности

Онлайн-калькулятор

 

Общее определение конуса

Конус – это тело, образованное совокупностью всех лучей, исходящих из точки пространства и пересекающих плоскость.

Точка, из которой лучи исходят, получила название вершины конуса. В случае, когда основанием конуса является многоугольник, он превращается в пирамиду.

Рассмотрим некоторые важные понятия.

Образующей конуса называется отрезок, который соединяет любую точку границы основания конуса, с его вершиной.
Высотой конуса является перпендикуляр, который опущен из вершины к основанию тела.

Конус бывает нескольких типов:

Прямой, если его основание – одна из таких фигур, как эллипс или круг. Обязательным условием является проецирование вершины конуса в центр основания.

Косой – у него центр фигуры, которая находится в основании, не совпадает с проекцией вершины на это самое основание.

Круговой – отталкиваясь от названия, понятно, что в его основании лежит круг.

Усеченный – область конуса, лежащая между основанием и сечением плоскости, которая параллельна основанию и пересекает данный конус.

Связанные определения для конуса

Образующая конуса. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.

Образующая поверхность конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса.

Коническая поверхность. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

Высота конуса (H). Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.

Угол раствора конуса. Угол раствора конуса – угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).

Прямой конус. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.

Косой (наклонный) конус. Косой (наклонный) конус – конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.

Круговой конус. Круговой конус – конус, основание которого является кругом.

Прямой круговой конус. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).

Эллиптическим конус. Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).

Усечённый конус. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Формула образующей конуса

Образующую конуса можно найти, зная ее высоту H и радиус R:

L = √H2 + R2

Объем конуса

Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема конуса:

V = 1 π R2 h
3
V = 1 So h
3
где V – объем конуса,
So – площадь основания конуса,
R – радиус основания конуса,
h – высота конуса,
π = 3.141592.

Объем конуса через радиус

Радиус конуса r Высота конуса h Результат

Данный треугольник для получения конуса должен вращаться вокруг одного из своих катетов, который является не только осью вращения, но и высотой конуса. Второй же катет становится радиусом полученной в результате вращения окружности-основания конуса, а гипотенуза будет апофемой (высотой опущенной под прямым углом к линии окружности, а не центру).

Технически взаимосвязь конуса с цилиндром идентична взаимосвязи пирамиды с кубом (параллелепипедом), единственное, что вывод формулы проходит через отношения интегралов их сферических углов, но тем не менее, он точно также как и пирамида занимает одну треть цилиндра, в который он может быть вписан.

Поэтому его объем равен произведению площади основания на высоту, деленному на три, или произведению числом π на квадрат радиуса и высоту, деленному на три.

Объем усеченного конуса

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом.

Первый способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

[ LARGE V = frac{1}{3} left( Hcdot S_2 + h cdot s_1 right) ]

где:
V – объем конуса
h – расстояния от плоскости верхнего основания до вершины
H – расстояния от плоскости нижнего основания до вершины
S1 – площадь верхнего (ближнего к вершине) основания
S2 – площадь нижнего основания

Второй способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

[ LARGE V = frac{1}{3} pi h left( R^2 + R cdot r + r^2 right) ]

где:
V – объем конуса
h – высота конуса
R – радиус нижнего основания
r – радиус верхнего основания

Элементы конуса

Определение. Вершина конуса – это точка (K), из которой исходят лучи.
Определение. Основание конуса – это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.
Определение. Образующей конуса (L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.
Формула. Длина образующей (L) прямого кругового конуса через радиус R и высоту H (через теорему Пифагора):

L2 = R2 + H2

Определение. Направляющая конуса – это кривая, которая описывает контур основания конуса.
Определение. Боковая поверхность конуса – это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.
Определение. Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.
Определение. Высота конуса (H) – это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.
Определение. Ось конуса (a) – это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.
Определение. Конусность (С) конуса – это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса – это отношение разности диаметров поперечных сечений D и d усеченного конуса к расстоянию между ними:
C = D и C = D – d
H h

где C – конусность, D – диаметр основания, d – диаметр меньшего основания и h – расстояние между основаниями.
Конусность характеризует остроту конуса, то есть, угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее угол наклона. угол конуса α будет:

α = 2arctg R
H

где R – радиус основы, а H – высота конуса.

Определение. Осевое сечение конуса – это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника – это диаметр основания конуса.

Определение. Касательная плоскость к конусу – это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.

Определение. Конус, что опирается на круг, эллипс, гиперболу или параболу называется соответственно круговым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом (последние два имеют бесконечный объем).

Определение. Прямой конус – это конус у которого ось перпендикулярна основе. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой.

Формула. Объём кругового конуса:
V = 1 πHR2
3

где R – радиус основы, а H – высота конуса.

Формула. Площадь боковой поверхности (Sb) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:

Sb = πRL

Формула. Общая площадь поверхности (Sp) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L:

Sp = πRL + πR2

Определение. Косой (наклонный) конус – это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой.

Формула. Объём любого конуса:
V = 1 SH
3

где S – площадь основы, а H – высота конуса.

Определение. Усеченный конус – это часть конуса, которая находится между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельная основе.

Формула. Объём усеченного конуса:
V = 1 (S2H – S1h)
3

где S1 и S2 – площади меньшей и большей основы соответственно, а H и h – расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы соответственно.

Формула площади боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса можно получить, зная его радиус R и образующую L:

Sбок.пов = πRL

Объемы фигур

Расчет объема куба, пирамиды, конуса, цилиндра, шара (объема всех фигур). Объемы фигур

Основные свойства кругового конуса

1. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360 ° образуется прямой круговой конус.
3. При вращении равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180 ° образуется прямой круговой конус.
4. В месте пересечения конуса плоскостью, параллельной основанию конуса, образуется круг. (см. Срезанный конус)
5. Если при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не пересекается с основанием, то в месте пересечения образуется эллипс (рис. 3).
6. Если плоскость сечения проходит через основание, то в месте пересечения образуется парабола (рис. 4).
7. Если плоскость сечения проходит через вершину, то в месте пересечения образуется равнобедренный треугольник (см. Осевое сечение).
8. Центр тяжести любого конуса находится на одной четвертой высоты от центра основы.

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем конуса, если известна площадь его основания – 50,24 см2, а также, высота – 9 см.

Решение:
Применим первую формулу, подставив в нее заданные значения:

Задание 2
Высота конуса равна 7 см, а его радиус – 4 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Воспользовавшись второй, более расширенной, формулой получаем:

Введите радиус основания и высоту конуса

Радиус: Высота:

Конус – геометрическое тело, которое состоит из круга (основание конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершина конуса), и всех точек, соединяющих вершину конуса с точками основания.
Формула объема конуса: ,
где R – радиус основания, h – высота конуса

Формула площади основания конуса

Площадь основания конуса можно вычислить по его радиусу R:

Sосн = πR2

Пример расчета

Найдем объем конуса, высота которого 30см, а радиус основания 20см. Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:

{V=frac {1}{3} pi r^2 h = }

{ = frac {1}{3} cdot pi cdot 20^2 cdot 30 = }

{ = frac {1}{3} cdot pi cdot 12000 approx 12 566,37cm^3}

Формула площади конуса

Площадь поверхности конуса можно получить, сложив площадь боковой поверхности и площадь основания конуса:

S = Sбок.пов + Sосн = πRL + πR2

Источники


  • https://studwork.org/spravochnik/matematika/obemy-figur/obem-konusa
  • https://calcsbox.com/post/formula-obema-konusa.html
  • http://worksbase.ru/matematika/formuly/37-konus.html
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/volume/
  • https://allcalc.ru/node/36
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/cone/
  • https://www.calc.ru/1430.html
  • https://MicroExcel.ru/obyom-konusa/
  • https://www.calc.ru/obyem-konusa.html
  • https://mnogoformul.ru/obem-konusa-formula-i-raschet-onlayn

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: