КОРЕНЬ (в математике) – это

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

.

Это верно для . Выражение 00 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Арифметический квадратный корень

Рассмотрим задачу. Нам известно, что длина квадрата равна 14 см. Какова площадь этого квадрата? Из курса геометрии мы знаем, что для ответа на вопрос надо просто умножить сторону саму на себя, то есть возвести ее в квадрат:

S = 14•14 = 196 см2

Теперь рассмотрим обратную задачу. Известно, что площадь квадрата равна 196 см2. Чему равна длина его стороны? Очевидно, что она составляет 14 см. Для нахождения ответа мы произвели действие, обратное возведению во вторую степень. В математике оно называется извлечением квадратного корня, а само число 14 – квадратным корнем из 196.

Так, 5 – это квадратный корень из числа 25, так как

52 = 25

Очень часто квадратный корень является не целым, а дробным числом. Так, корень из 2 примерно равен 1,414213562 (способы вычисления значения корня будут рассмотрены в этом же уроке, но позже).

Отметим, что порою можно указать для числа не один, а сразу два квадратных корня. Они будут отличаться своим знаком, но совпадать по абсолютной величине (модулю). Так число (–5) также является квадратным корнем из 25:

(– 5)2 = – 5•(– 5) = 25

Вообще у любого положительного числа есть 2 квадратных корня, у любого отрицательного числа их вообще нет, и только у нуля есть единственное значение корня – сам нуль. Докажем это.

Пусть есть произвольное число а, для которого надо вычислить квадратный корень. Обозначим этот корень как х. Тогда по определению можно составить уравнение:

х2 = а

Попробуем решить его с помощью графиков. Для этого построим отдельные графики для левой и правой части равенства. Оба графика, и у = а, и у = х2, мы уже строили в 7 классе. В итоге получаем три случая:

Видно, что при а> 0 графики пересекаются в 2 точках, то есть существует два квадратных корня, которые отличаются лишь своими знаками.

Для определенности математики ввели понятие арифметического квадратного корня.

Ещё раз уточним, что у числа может быть два квадратных корня. Например, у числа 25 это –5 и 5:

(– 5)2 = 25

52 = 25

Арифметическим же называют тот квадратный корень, у которого НЕТ знака минус.

Существует специальный символ для арифметического квадратного корня, который именуют знаком радикала, или просто знаком корня. Выглядит он так:

Если надо показать, что, например, арифметический квадратный корень (часто говорят просто корень) из 25 равен 5, то получается такая запись:

Под знаком радикала может стоять и выражение, содержащее переменные величины. Для его обозначения используют термин подкоренное выражение. Так, в записи

выражением х2 + 2х + 2 является подкоренным.

Мы уже поняли, что из отрицательного числа невозможно извлечь квадратный корень, ведь каждое действительное число при умножении на само себя становится неотрицательным. Поэтому если под знаком радикала находится отрицательное число, то говорят, что выражение не имеет смысла (так же как и дробное выражение, у которого в знаменателе стоит ноль). Так, бессмысленны выражения:

Если под корнем находиться переменная, то при одних ее значениях выражение с корнем имеет смысл, а при других нет. Так, выражение

при х = 9 имеет значение, равное двум:

Но если х = 4, то получаем бессмысленное выражение:

Изучая понятие иррационального числа, мы уже сталкивались с корнями. Исторически именно корень из 2 стал первым числом, для которого была доказана его иррациональность. Числа, чей квадратный корень является целым числом, называются полными квадратами. Примерами полных квадратов являются:

  • 4 (потому что 22 = 4);
  • 9 (32 = 9);
  • 16 (42 = 16).

Для всех натуральных чисел, не являющихся полными квадратами, можно доказать, что их квадратные корни – это иррациональные числа.

Стоит отметить, что открытие иррациональностей корней изменило представления древних греков о числах и сыграло огромную роль в развитии математики.

Теперь рассмотрим порядок действий в выражениях с корнями. Сначала всегда производятся операции в скобках, потом под знаком радикала, далее происходит возведение в степень, и лишь потом другие арифметические операции. Например, есть выражение

Покажем последовательность действий, выделяя их красным цветом:

Если в ходе вычислений получили корень не из полного квадрата, то его следует оставить как есть, и продолжать вычисления, например:

Одинаковые корни можно складывать и вычитать друг с другом:

Из определения квадратного корня следует очевидное тождество:

Приведем пример с конкретными числами:

Однако здесь важно учитывать, что под знаком радикала не может находиться отрицательное число. Так, некорректной будет запись

так как под радикалом слева стоит отрицательное число. Но допускается такая запись:

потому что под знаком радикала слева стоит положительная величина (– 3)•( – 3) = 9.

Напомним, что модулем числа называется его величина, взятая без учета знака. Для обозначения модуля используются квадратные скобки:

Можно записать следующее тождество, связывающее модуль числа с его корнем:

Например:

Вычисление квадратного корня

Ранее для выполнения арифметических операций мы использовали метод «столбика». А как производить вычисление квадратного корня? Существует несколько приемов, мы рассмотрим простейший из них.

Очевидно, что чем больше число, тем больше и его квадрат. Например, 5 > 4, поэтому и 52> 42. Значит, справедливо и обратное утверждение: чем больше число, тем больше и его квадратный корень.

Убедиться в этом можно и с помощью графика функции у = х2. Будем отмечать на нем числа и их квадратные корни:

Видно, что чем выше на оси Оу располагается число, тем правее на оси Ох находится его квадратный корень.

Зная это свойство, легко оценить значение корня из любого числа. Продемонстрируем это на примере вычисления значение корня из 2. Нам известно, что

1 < 2 < 4

Значит, можно записать следующие неравенства:

Нам удалось определить, что корень из двух находится между единицей и двойкой, то есть

Теперь определим первую цифру после запятой для корня из двух. Будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3 и т. д, до тех пор пока не получим выражение, большее 2:

1,12 = 1,21

1,22 = 1,44

1,32 = 1,69

1,42 = 1,96

1,52 = 2,25

Теперь мы можем записать неравенства:

Получается, что корень имеет значение, находящееся между 1,4 и 1,5, то есть

Попытаемся определить ещё одну цифру после запятой:

1,412 = 1,999396

1,422 = 2,002225

Отсюда следует, что:

Продолжая подобные вычисления, можно вычислить любое количество знаков после запятой:

Конечно, на практике все вычисления выполняются компьютером, а не вручную. Однако программисты стремятся написать программы так, чтобы они работали как можно быстрее, то есть получали результат, выполняя меньшее количество вычислений. Поэтому на практике чаще используется метод бисекции (деления надвое), который отличается большей эффективностью. Для начала нужно найти очевидную оценку корня, например:

Получили, что корень из 2 находится между 1 и 2. Теперь найдем среднее арифметическое этих двух значений:

(1 + 2)/2 = 1,5

Возведем среднее арифметическое в квадрат:

1,52 = 2,25

Теперь мы можем записать неравенство

То есть искомое нами значение находится между 1 и 1,5. Снова найдем среднее этих двух оценок и возведем его в квадрат:

(1 + 1,5)/2 = 1,25

1,252 = 1,5625

Зная это, можем записать:

На каждом следующем шаге вычислений мы будем всё точнее определять оценки корня, при этом вычислений мы делаем не очень много.

Периодически могут встречаться задания, в которых надо грубо оценить значение квадратного корня.

Пример. Сколько целых чисел на координатной прямой располагается между

Решение: Ближайшие к числу 60 полные квадраты – это 64 и 49, поэтому можно записать:

Также можно оценить и корень из 140:

Получаем, что между корнями располагается четыре числа: 8, 9, 10 и 11:

Ответ: 4

Функция квадратного корня

Каждому числу соответствует не более чем 1 арифметический квадратный корень. Поэтому формула

задает функцию. Исследуем ее.

Так как под знаком радикала может находиться лишь неотрицательное число, то областью определения корня является множество всех неотрицательных чисел. Такова же и область допустимых значений.

Построим график квадратного корня по точкам. Для этого вычислим ее значения в нескольких точках (указана точность до 0,1):

График функции квадратного корня будет выглядеть так:

Отметим, что полученная линия чем-то напоминает обычную параболу функции у = х2, которую «положили набок», то есть повернули против часовой стрелки на 90°, а после убрали одну из ветвей:

И это не случайность. Дело в том, что две эти функции являются обратными друг другу. Действительно, пусть с помощью графика параболы мы хотим найти значение величины а2. Стрелки показывают последовательность действий:

Мы должны найти а на оси Ох, построить от найденной точки вертикальную линию до пересечения с графиком, а потом провести горизонтальную линию. Но если нам надо вычислить корень из положительного числа b, то мы должны действовать в обратном порядке: найти b на вертикальной оси, провести горизонтальную линию до пересечения с параболой, и потом опустить перпендикуляр на горизонтальную ось:

Получается, для вычисления обеих функций можно использовать один график! Но, так как традиционно аргумент функции обозначают буквой х, а саму функцию как у, а также ось Ох располагают горизонтально, то для получения графика обратной функции надо буквально повернуть график основной функции так, чтобы оси Ох и Оу поменялись местами:

Действительно, в результате поворота получили уже знакомый график функции корня из х. Осталось лишь правильно переименовать оси и повернуть цифры в привычное положение.

Взаимное расположение этих графиков можно описать и иначе. Они симметричны относительно прямой линии, которую задает график у = х. Ведь если точка имеет координаты (а; b) принадлежит параболе у = х2, то, по определению корня, точка с обратными координатами (b; а) должна лежать на графике корня. Однако две такие точки будут симметричны относительно линии у = х:

Соответственно, симметричны относительно этой прямой и графики обратных функций:

Исключительно для большей наглядности (чтобы была очевидна симметрия, о которой идет речь), повернем эту картинку на 45°:

Свойства арифметического квадратного корня

Для упрощения некоторых выражений необходимо использовать особые правила работы с корнями. Сформулируем первое из них:

Математически это правило записывается так:

Например:

Тождество работает для любого количества множителей, а также в обратную сторону:

Однако следующее преобразование недопустимо:

Дело в том, что под знаком радикала не может быть отрицательное число! Слева под двумя радикалами стоят отрицательные числа, а справа под корнем находится уже положительная величина (– 2)•(– 32) = 64. В результате выражение слева не имеет смысл, а справа – имеет, поэтому знака равенства между ними быть не может.

Докажем это правило. Для этого возведем во вторую степень выражение

Получили, что по определению корня можно записать:

Следующее свойство касается дробей:

Символически это выглядит так:

Приведем примеры использования этого свойства:

Теперь докажем это правило. Можно записать, что

Значит, по определению верно равенство

Третье правило помогает извлекать корень из числа, возведенного в степень:

где а –действительное число (в том числе и отрицательное), а k – натуральное число.

Это тождество помогает выполнить следующие действия:

Стоит обратить внимание, что в последнем случае под корнем НЕ стоит отрицательное число, так как на самом деле (– 2)10 – это положительное число. Вообще при возведении любого числа в четную степень получается неотрицательное число.

Для доказательства этого факта используем то, что

Зная это, можно выполнить преобразования:

Определение корня n-й степени из действительного числа

Корнем n-й степени ((n=2, 3, 4, 5, 6… )) некоторого числа (a) называют такое неотрицательное число (b), которое при возведении в степень (n) дает (a):

$$ sqrt[n]{a}=b; $$ $$ b^{n}=underbrace{b*b*b*…*b}_{n ; раз}=a. $$

Число (n) при этом называют показателем корня.

Если (n=2), то перед вами корень 2-й степени или обычный квадратный корень.

Если (n=3), то корень 3-й степени и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень.

Пример 1 $$ sqrt[3]{27}=3 $$

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Пример 2 $$ sqrt[4]{16}=2 $$

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Пример 3 $$ sqrt[3]{0}=0 $$

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Пример 4 $$ sqrt[3]{19}= ? $$

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим (2,668…) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть (sqrt[3]{19}).

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева такие ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ sqrt[3]{8} le sqrt[3]{19} le sqrt[3]{27} $$ $$ 2 le sqrt[3]{19} le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Основные свойства и ограничения

У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Поэтому сейчас мы рассмотрим лишь самую важную «фишку», которая относится лишь к корням с чётным показателем. Запишем это свойство в виде формулы:

[sqrt[2n]{{{x}^{2n}}}=left| x right|]

Другими словами, если возвести число в чётную степень, а затем из этого извлечь корень той же степени, мы получим не исходное число, а его модуль. Это простая теорема, которая легко доказывается (достаточно отдельно рассмотреть неотрицательные $x$, а затем отдельно — отрицательные). О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике. Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений (т.е. уравнений, содержащих знак радикала), ученики дружно забывают эту формулу.

Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом:

[sqrt[4]{{{3}^{4}}}=?quad sqrt[4]{{{left( -3 right)}^{4}}}=?]

Это очень простые примеры. Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают. Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий:

  1. Сначала число возводится в четвёртую степень. Ну, это как бы несложно. Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти;
  2. И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени. Т.е. никакого «сокращения» корней и степеней не происходит — это последовательные действия.

Раберёмся с первым выражением: $sqrt[4]{{{3}^{4}}}$. Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем:

[{{3}^{4}}=3cdot 3cdot 3cdot 3=81]

Затем извлекаем корень четвёртой степени из числа 81:

[sqrt[4]{81}=3]

Теперь сделаем то же самое со вторым выражением. Сначала возводим число −3 в четвёртую степени, для чего потребуется умножить его само на себя 4 раза:

[{{left( -3 right)}^{4}}=left( -3 right)cdot left( -3 right)cdot left( -3 right)cdot left( -3 right)=81]

Получили положительное число, поскольку общее количество минусов в произведении — 4 штуки, и они все взаимно уничтожится (ведь минус на минус даёт плюс). Дальше вновь извлекаем корень:

[sqrt[4]{81}=3]

В принципе, эту строчку можно было не писать, поскольку и ежу понятно, что ответ получится один и тот же. Т.е. чётный корень из той же чётной степени «сжигает» минусы, и в этом смысле результат неотличим от обычного модуля:

[begin{align} & sqrt[4]{{{3}^{4}}}=left| 3 right|=3; \ & sqrt[4]{{{left( -3 right)}^{4}}}=left| -3 right|=3. \ end{align}]

Эти вычисления хорошо согласуются с определением корня чётной степени: результат всегда неотрицателен, да и под знаком радикала тоже всегда стоит неотрицательное число. В противном случае корень не определён.

Замечание по поводу порядка действий

Прежде чем мы двинемся дальше, хотел бы отметить, что выражения $sqrt{{{a}^{2}}}$ и ${{left( sqrt{a} right)}^{2}}$, столь похожие на первый взгляд, на самом деле имеют принципиально разный смысл. Судите сами:

  1. Запись $sqrt{{{a}^{2}}}$ означает, что мы сначала возводим число $a$ в квадрат, а затем извлекаем из полученного значения квадратный корень. Следовательно, мы можем быть уверены, что под знаком корня всегда сидит неотрицательное число, поскольку ${{a}^{2}}ge 0$ в любом случае;
  2. А вот запись ${{left( sqrt{a} right)}^{2}}$, напротив, означает, что мы сначала извлекаем корень из некого числа $a$ и лишь затем возводим результат в квадрат. Поэтому число $a$ ни в коем случае не может быть отрицательным — это обязательное требование, заложенное в определение.

Таким образом, ни в коем случае нельзя бездумно сокращать корни и степени, тем самым якобы «упрощая» исходное выражение. Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем.

Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей.

Вынесение минуса из-под знака корня

Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. А именно:

[sqrt[2n+1]{-a}=-sqrt[2n+1]{a}]

Короче говоря, можно выносить минус из-под знака корней нечётной степени. Это очень полезное свойство, которое позволяет «вышвырнуть» все минусы наружу:

[begin{align} & sqrt[3]{-8}=-sqrt[3]{8}=-2; \ & sqrt[3]{-27}cdot sqrt[5]{-32}=-sqrt[3]{27}cdot left( -sqrt[5]{32} right)= \ & =sqrt[3]{27}cdot sqrt[5]{32}= \ & =3cdot 2=6. end{align}]

Это простое свойство значительно упрощает многие вычисления. Теперь не нужно переживать: вдруг под корнем затесалось отрицательное выражение, а степень у корня оказалась чётной? Достаточно лишь «вышвырнуть» все минусы за пределы корней, после чего их можно будет умножать друг на друга, делить и вообще делать многие подозрительные вещи, которые в случае с «классическими» корнями гарантированно приведут нас к ошибке.

И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными. Встречайте!

Обратные арифметические операции

Многие действия, с которыми мы сталкиваемся в жизни, могут быть выполнены в две стороны. Сесть-встать, вкрутить и выкрутить болт, собрать и разобрать кубик Рубика (см. рис. 1) и т. д.

Рис. 1. Пример действия, которое может быть выполнено в две стороны

В целом можно сказать, что если есть алгоритм выполнения действий, то чаще всего можно подобрать и обратный ему алгоритм. Исключения тоже известны: разбитую чашку обратно не соберешь, слово не воробей и т. д.

На самом деле, в точности равно 0 только в математике. В жизни, пока встаем и садимся, мы немного устаем и т. д. Но все-таки при решении некоторых задач мы можем говорить о том, что произошло обратное действие.

Обратное действие обычно имеет гораздо бо́льшую сложность, чем прямое. Действительно, придумать алгоритм действий несложно, но это не значит, что легко разработать и выполнить обратный к нему.

Если вы вышли из дома в незнакомом городе, то уйти куда-то несложно. А вот вернуться обратно, особенно если вы без карты или навигатора, не так просто. Более того, даже если вы запомнили маршрут, просто выполнить действия в обратном порядке не всегда возможно. Например, передвигаясь на автомобиле, вы могли проезжать по улицам с односторонним движением.

Мы уже знаем, что выполнять обратные действия в математике сложнее, чем прямые.

Например, обратное действие к умножению – деление. Но алгоритм умножения в столбик позволяет выполнить умножение любых двух чисел с использованием только таблицы умножения и умения складывать числа. А вот при делении нужно подбирать числа. Вспомните:

Подбираем:

значит, оставляем 7 и т. д.

Обратные арифметические операции возникают, когда нам нужно решить задачу вида или или . Т. е. когда мы знаем результат и нам известно одно слагаемое или множитель. А если нам неизвестны оба слагаемых или множителя, то задача становится еще труднее, да еще и неоднозначной. Например, . Это могут быть числа: . Это могут быть числа: . Конечно, для современных компьютеров выполнение таких обратных действий не составляет большой трудности, хотя есть и такие обратные операции, которые требуют очень много времени даже для очень мощной вычислительной техники. Это используется при шифровании данных.

Факторизация числа

Факторизацией числа называется его разложение на простые множители. Мы выполняли факторизацию чисел для нахождения НОД и НОК. Например: . Т. е. это операция, обратная умножению, в которой есть ограничения на множители: они должны быть простыми.

Для небольших чисел выполнить ее несложно – мы использовали для этих целей подбор. Но для больших чисел, которые являются произведением двух простых чисел, факторизация может занять огромное количество времени.

Сравните: прямая операция умножения двух простых 100-значных чисел займет на компьютере средней мощности (частота процессора 2 ГГц) время порядка нескольких секунд. А вот время выполнения обратной операции, т. е. факторизации, оценивают в 75 лет работы этого же компьютера.

Рис. 2. Время выполнения обратной умножению операции может занять огромное количество времени

Именно из-за того, что даже для компьютеров такая обратная операция является существенно сложнее прямой, простые числа используют в некоторых алгоритмах шифрования данных. Если сообщение перехватит человек, не знающий ключа (одного из простых чисел, которые использовались при перемножении), то у него уйдет слишком много времени на дешифровку.

Упрощение выражений, содержащих квадратный корень

Использование этих свойств позволяет упрощать различные числовые и алгебраические выражения. Разберем типичные приемы, которые используются при упрощении выражений.

Задание 1. Упростить выражение:

Решение.

Степень подкоренного выражения четная, поэтому, во-первых, оно всегда будет неотрицательным и корень всегда будет определен (можем не беспокоиться об ОДЗ): при всех при всех , а, во-вторых, воспользовавшись свойством степени , можем записать:

Используем определение квадратного корня (не забываем про модуль, т. к. мы пока не знаем, какой знак будет у полученного выражения):

В роли тут выступает тут выступает . При любых значениях выражение под модулем неотрицательно, поэтому:

Ответ: .

Основная идея: выделить под корнем квадрат некоторого выражения и воспользоваться свойством корня (эквивалентным определением).

Задание 2. Упростить выражение:

Решение.

Мы не можем подобрать такое целое число, которое при возведении в квадрат равно . Но можем сделать следующее упрощение: представим число . Но можем сделать следующее упрощение: представим число так:

Тогда:

Воспользуемся тем, что корень из произведения – это произведение корней:

Поэтому:

Значение мы можем вычислить:

Тогда:

Или, в таких случаях знак умножения обычно опускают и записывают просто как:

Ответ: .

Основная идея: разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы один или несколько из них являлись квадратами некоторого выражения:

Такое упрощение называется вынесение множителя из-под знака корня.

Задание 3. Сравнить значения выражений:

Решение.

Самый простой вариант – посчитать на калькуляторе приближенные значения этих выражений и сравнить (см. рис. 5). Но давайте посмотрим, как обойтись без калькулятора.

Рис. 5. Иллюстрация к заданию 3

Если мы представим в виде корня из некоторого числа, то сравнить будет легко: где число под корнем больше, там больше и значение. Чтобы это сделать, сначала представим в виде корня из некоторого числа, то сравнить будет легко: где число под корнем больше, там больше и значение. Чтобы это сделать, сначала представим в виде корня:

Тогда:

Воспользуемся тем, что произведение корней – корень из произведения:

Получаем, что:

Тут уже очевидно, что:

Ответ: .

Основная идея: представить множитель перед корнем в виде квадратного корня из некоторого выражения:

Такое преобразование называется внесение множителя под знак корня.

Доказательство монотонности квадратного корня

Почему мы сделали вывод, что ? Ведь, например, несмотря на то что ? Ведь, например, несмотря на то что :

Монотонно возрастающие функции – функции, для которых:

Как доказать, что для :

Рассмотрим разность:

Умножим ее на положительное выражение :

Т. к. , то:

Если произведение положительное и один из множителей положителен, то и второй множитель тоже положителен, значит:

Источники


  • https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/korni-i-stepeni/
  • https://100urokov.ru/predmety/urok-3-kvadratnyj-koren
  • https://sigma-center.ru/root_of_degree_n
  • https://www.berdov.com/docs/radikal/koren-stepeni-n/
  • https://interneturok.ru/lesson/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/svoystva-kvadratnogo-kornya

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения