Котангенс острого угла (ctg): определение, формула, таблица, график, свойства

Определение

Котангенс острого угла α (ctg α или cotan α) – это отношение прилежащего катета (b) к противолежащему (a) в прямоугольном треугольнике.

ctg α = b / a

Например:
a = 3
b = 4
ctg α = b / a = 4 / 3 ≈ 1,334.

Геометрическое определение





|BD|длина дуги окружности с центром в точке A.
α – угол, выраженный в радианах.

Тангенс (tg α)
– это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB|.
Котангенс (ctg α)
– это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC|.

Обратная к котангенсу функция

Арккотангенс x – это обратная функция к котангенсу x.

Если котангенс угла у равняется х (ctg y = x), значит арккотангенс x равен у:

arcctg x = ctg-1 x = y

Таблица тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π.

Четность

Функции тангенс и котангенс – нечетные.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

  • Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
  • Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
  • Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
  • Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
  • Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
  • Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где Bnчисла Бернулли.
где En — числа Эйлера.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n – целое).

y = tg x y = ctg x
Область определения и непрерывность
Область значений –∞ < y < +∞ –∞ < y < +∞
Возрастание
Убывание
Экстремумы
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0

Понятие угла: радиан, градус

Давай посмотрим на рисунке. Вектор «повернулся» относительно точки на некую величину.

Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол .

Что же ещё необходимо знать о понятии угла?

Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную части окружности.

Таким образом, вся окружность состоит из «кусочков» круговых дуг, или угол, описываемый окружностью, равен .

То есть на рисунке выше изображён угол , равный , то есть этот угол опирается на круговую дугу размером длины окружности.

Углом в радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Ну что, разобрался?

Если нет, то давай разбираться по рисунку.

Итак, на рисунке изображён угол , равный радиану, то есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина равна длине или радиус равен длине дуги ).

Таблица котангенсов Брадиса для углов до 75 градусов

ctg 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′
ctg 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ 1′ 2′ 3′
0 90°
89° 0 17 35 52 70 87 105 122 140 157 175 3 6 9
88° 175 192 209 227 244 262 279 297 314 332 349 3 6 9
87° 349 367 384 402 419 437 454 472 489 507 524 3 6 9
86° 524 542 559 577 594 612 629 647 664 682 699 3 6 9
85° 699 717 734 752 769 787 805 822 840 857 0.0875 3 6 9
84° 0.0875 892 910 928 945 963 981 998 1016 1033 1051 3 6 9
83° 1051 1069 1086 1104 1122 1139 1157 1175 1192 1210 1228 3 6 9
82° 1228 1246 1263 1281 1299 1317 1334 1352 1370 1388 1405 3 6 9
81° 1405 1423 1441 1459 1477 1495 1512 1530 1548 1566 1584 3 6 9
80° 1584 1602 1620 1638 1655 1673 1691 1709 1727 1745 0.1763 3 6 9
79° 0.1763 1781 1799 1817 1835 1853 1871 1890 1908 1926 1944 3 6 9
78° 1944 1962 1980 1998 2016 2035 2053 2071 2089 2107 2126 3 6 9
77° 2126 2144 2162 2180 2199 2217 2235 2254 2272 2290 2309 3 6 9
76° 2309 2327 2345 2364 2382 2401 2419 2438 2456 2475 2493 3 6 9
75° 2493 2512 2530 2549 2568 2586 2605 2623 2642 2661 0.2679 3 6 9
74° 0.2679 2698 2717 2736 2754 2773 2792 2811 2830 2849 2867 3 6 9
73° 2867 2886 2905 2924 2943 2962 2981 3000 3019 3038 3057 3 6 9
72° 3057 3076 3096 3115 3134 3153 3172 3191 3211 3230 3249 3 6 10
71° 3249 3269 3288 3307 3327 3346 3365 3385 3404 3424 3443 3 6 10
70° 3443 3463 3482 3502 3522 3541 3561 3581 3600 3620 0.364 3 7 10
69° 0.364 3659 3679 3699 3719 3739 3759 3779 3799 3819 3839 3 7 10
68° 3839 3859 3879 3899 3919 3939 3959 3979 4000 4020 4040 3 7 10
67° 4040 4061 4081 4101 4122 4142 4163 4183 4204 4224 4245 3 7 10
66° 4245 4265 4286 4307 4327 4348 4369 4390 4411 4431 4452 3 7 10
65° 4452 4473 4494 4515 4536 4557 4578 4599 4621 4642 0.4663 4 7 11
64° 0.4663 4684 4706 4727 4748 4770 4791 4813 4834 4856 4877 4 7 11
63° 4877 4899 4921 4942 4964 4986 5008 5029 5051 5073 5095 4 7 11
62° 5095 5117 5139 5161 5184 5206 5228 5250 5272 5295 5317 4 7 11
61° 5317 5340 5362 5384 5407 5430 5452 5475 5498 5520 5543 4 8 11
60° 5543 5566 5589 5612 5635 5658 5681 5704 5727 5750 0.5774 4 8 12
59° 0.5774 5797 5820 5844 5867 5890 5914 5938 5961 5985 6009 4 8 12
58° 6009 6032 6056 6080 6104 6128 6152 6176 6200 6224 6249 4 8 12
57° 6249 6273 6297 6322 6346 6371 6395 6420 6445 6469 6494 4 8 12
56° 6494 6519 6544 6569 6594 6619 6644 6669 6694 6720 6745 4 8 13
55° 6745 6771 6796 6822 6847 6873 6899 6924 6950 6976 0.7002 4 9 13
54° 0.7002 7028 7054 7080 7107 7133 7159 7186 7212 7239 7265 4 8 13
53° 7265 7292 7319 7346 7373 7400 7427 7454 7481 7508 7536 5 9 14°
52° 7536 7563 7590 7618 7646 7673 7701 7729 7757 7785 7813 5 9 14
51° 7813 7841 7869 7898 7926 7954 7983 8012 8040 8069 8098 5 9 14
50° 8098 8127 8156 8185 8214 8243 8273 8302 8332 8361 0.8391 5 10 15
49° 0.8391 8421 8451 8481 8511 8541 8571 8601 8632 8662 0.8693 5 10 15
48° 8693 8724 8754 8785 8816 8847 8878 8910 8941 8972 9004 5 10 16
47° 9004 9036 9067 9099 9131 9163 9195 9228 9260 9293 9325 6 11 16
46° 9325 9358 9391 9424 9457 9490 9523 9556 9590 9623 0.9657 6 11 17
45° 9657 9691 9725 9759 9793 9827 9861 9896 9930 9965 1 6 11 17
44° 1 35 70 105 141 176 212 247 283 319 355 6 12 18
43° 355 392 428 464 501 538 575 612 649 686 724 6 12 18
42° 724 761 799 837 875 913 951 990 1028 1067 1106 6 13 19
41° 1106 1145 1184 1224 1263 1303 1343 1383 1423 1463 1504 7 13 20
40° 1504 1544 1585 1626 1667 1708 1750 1792 1833 1875 1.1918 7 14 21
39° 1.1918 1960 2002 2045 2088 2131 2174 2218 2261 2305 2349 7 14 22
38° 2349 2393 2437 2482 2527 2572 2617 2662 2708 2753 2799 8 15 23
37° 2799 2846 2892 2938 2985 3032 3079 3127 3175 3222 3270 8 16 24
36° 3270 3319 3367 3416 3465 3514 3564 3613 3663 3713 3764 8 16 25
35° 3764 3814 3865 3916 3968 4019 4071 4124 4176 4229 1.4281 9 17 26
34° 1.4281 4335 4388 4442 4496 4550 4605 4659 4715 4770 4826 9 18 27
33° 4826 4882 4938 4994 5051 5108 5166 5224 5282 5340 5399 10 19 29
32° 5399 5458 5517 5577 5637 5697 5757 5818 5880 5941 6003 10 20 30
31° 6003 6066 6128 6191 6255 6319 6383 6447 6512 6577 6643 11 21 32
30° 6643 6709 6775 6842 6909 6977 7045 7113 7182 7251 1.7321 11 23 34
29° 1.732 1.739 1.746 1.753 1.76 1.767 1.775 1.782 1.789 1.797 1.804 1 2 4
28° 1.804 1.811 1.819 1.827 1.834 1.842 1.849 1.857 1.865 1.873 1.881 1 3 4
27° 1.881 1.889 1.897 1.905 1.913 1.921 1.929 1.937 1.946 1.954 1.963 1 3 4
26° 1.963 1.971 1.98 1.988 1.997 2.006 2.014 2.023 2.032 2.041 2.05 1 3 4
25° 2.05 2.059 2.069 2.078 2.087 2.097 2.106 2.116 2.125 2.135 2.145 2 3 5
24° 2.145 2.154 2.164 2.174 2.184 2.194 2.204 2.215 2.225 2.236 2.246 2 3 5
23° 2.246 2.257 2.267 2.278 2.289 2.3 2.311 2.322 2.333 2.344 2.356 2 4 5
22° 2.356 2.367 2.379 2.391 2.402 2.414 2.426 2.438 2.45 2.463 2.475 2 4 6
21° 2.475 2.488 2.5 2.513 2.526 2.539 2.552 2.565 2.578 2.592 2.605 2 4 6
20° 2.605 2.619 2.633 2.646 2.66 2.675 2.689 2.703 2.718 2.733 2.747 2 5 7
19° 2.747 2.762 2.778 2.793 2.808 2.824 2.84 2.856 2.872 2.888 2.904 3 5 8
18° 2.904 2.921 2.937 2.954 2.971 2.989 3.006 3.024 3.042 3.06 3.078 3 6 9
17° 3.078 3.096 3.115 3.133 3.152 3.172 3.191 3.211 3.23 3.251 3.271 3 6 10
16° 3.271 3.291 3.312 3.333 3.354 3.376 3 7 10
3.398 3.42 3.442 3.465 3.487 4 7 11
15° 3.487 3.511 3.534 3.558 3.582 3.606 4 8 12
3.63 3.655 3.681 3.706 3.732 4 8 13
14° 3.732 3.758 3.785 3.812 3.839 3.867 4 9 13
3.895 3.923 3.952 3.981 4.011 5 10 14

Применение функции котангенса для решения задач по тригонометрии

Для понимания того, как пользоваться тригонометрическими функциями, нужно практически решить задачу с применением этих функций.

Пример: прямоугольный треугольник АВС, катет ВС = а = 8 см, катет АС = b = 13 см. Нужно найти все недостающие размеры в треугольнике.

Первая формула, которую мы применяем, это ctg α = b : а. Тогда ctg α = 13 : 8=1, 625. Затем по таблице Брадиса для функций тангенсов и котангенсов ищем наше значение котангенса. Котангенсы углов смотрим, начиная с правой стороны таблицы. Находим значение 1,6255, которое равно 30 ° 30′, но оно больше нашего на 0,0005. Можем принять его таким, а можем отнять от найденного значения поправку в 1′. Тогда угол α = 30 ° 29′. Угол β, согласно Эвклиду, будет равен: β = 90° – 30 ° 29′ = 59° 21′.

Затем ищем гипотенузу с. Гипотенузу лучше искать через функцию синуса, то есть через sin α, который равен а: с, тогда с = а : sin α.

Обращаемся к таблице Брадиса, но уже не к значению тангенсов и котангенсов, а там, где указаны значения синуса и косинуса угла.

Ближайшее значение 30° 36′, будет 0,5060, тогда не хватает 3′, Что по полям поправок равно 0,0008. Добавляем это число к найденному: 0, 5060 + 0,0008 = 0,5068. Подставляем это значение в формулу, с = 8 : 0,5068, с = 15,8 см. Задачу мы успешно решили.

Можно искать значение углов через значение числа π, которое равно 180°. Тогда наиболее популярные углы, такие, как котангенс 30 градусов, котангенс 0 градусов, котангенс 60 градусов, котангенс 90 градусов, котангенс 45 градусов, котангенс 15 градусов, котангенс 75 градусов можно рассматривать намного проще. Нужно знать, что котангенс 0 градусов не существует, а котангенс 90 градусов равен 0.

Можно найти котангенс угла 5 градусов, который равен 11,83 и находится в таблице Брадиса котангенсов для малых углов и добавлять или отнимать от наиболее часто встречающихся углов. Например, угол 45 градусов, его котангенс равен 1, тогда котангенс угла 50 градусов будет равен 1+11,83 = 12,83. Котангенс 35 градусов можно рассчитать путем добавления к котангенсу 30 градусов угол 5 градусов.

Для удобства есть рассчитанная таблица основных углов через значение π, которое уже рассчитано. Ниже показана таблица котангенсов и тангенсов основных углов.

Значение угла α (градусов) Значение угла α в радианах ctg (Котангенс)
Котангенс 0 0
Котангенс 15 π/12 3.7321
Котангенс 30 π/6 1.7321
Котангенс 45 π/4 1
Котангенс 50 5π/18 0.8391
Котангенс 60 π/3 0.5774
Котангенс 65 13π/36 0.4663
Котангенс 70 7π/18 0.364
Котангенс 75 5π/12 0.2679
Котангенс 90 π/2 0
Котангенс 105 5π/12 -0.2679
Котангенс 120 2π/3 -0.5774
Котангенс 135 3π/4 -1
Котангенс 140 7π/9 -1.1918
Котангенс 150 5π/6 -1.7321
Котангенс 180 π
Котангенс 270 3π/2 0
Котангенс 360

Если угол больше 90 градусов, нужно помнить, что функции имеют свойство повторяться, поэтому, если ищем тангенс 145 градусов, тогда 180 – 145 = 35 градусов, но уже со знаком «минус», это можно понять по чертежу окружности, где положительное или отрицательное значение абсциссы и ординаты.

Научиться быстро пользоваться таблицами Брадиса и рассчитывать значения треугольника совсем не сложно, главное, уловить суть процесса. Но можно, если это не экзамен по математике, рассчитать функцию котангенса и онлайн на сайте.

Котангенсы и тригонометрические функции, знакомство

В геометрии важную роль играют тригонометрические функции, которые объясняют, как относятся между собой углы и стороны треугольника с прямым углом. Наука не стоит на месте и развивается, так же как и тригонометрия. Есть новые решения дифференцированных уравнений, которые выражают тригонометрические функции и о которых Евклид не мог знать.

В основном, используются для вычислений значений тригонометрических функций, причем только первые из двух могут определяться только с помощью геометрии.

Синус (sin):

Косинус (cos):

Котангенс (ctg):

Тангенс (tg):

Секанс (sec):

Косеканс (cosec): .

Рассматривая прямоугольный треугольник, нужно учесть, что все справочные материалы дают одинаковое обозначение всех его параметров, таких как углы и стороны.

Три угла в нем обозначаются α, β, γ, причем угол 90° всегда обозначается γ. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенуза и обозначается всегда с. Альфа это первая буква греческого алфавита и угол, с которого начинаются все расчёты, также называется α. Сторона, или катет, лежащая напротив этого угла, называется противолежащей и называется а или ВС от названия вершин. Сторона, которая лежит рядом с углом или катет, называется прилежащей и обозначается b или АС.

По теории Евклида, который довел её раз и навсегда, сумма всех углов этого треугольника, который лежит в одной плоскости, равна 180°или числу π. И значения каждого угла будут находиться в промежутке между 0 и π /2.

Тогда тригонометрические функции можно выразить через размеры сторон этого треугольника. Так как угол α является первым и в греческом алфавите и в нашем треугольнике, начинаем знакомство с функциями через этот угол.

Синус α можно выразить через отношение катета, который противолежит углу α к гипотенузе нашего треугольника, то есть через формулу sin α = а: с.

Косинус α выражаем, соответственно, выражается через отношение катета, который лежит напротив этого угла, к гипотенузе нашего треугольника, то есть через формулу sin α = а: с. Также нужно помнить, что sin β = α: с, что позволяет принять то, что sin α равен cos β и следовательно sin β равен cos α, что помогает при решении задач.

Тангенс α равен частному от отношения противолежащего катета а к катету прилежащему b: tg α = а : b.

Соответственно, котангенс мы выражаем аналогичным способом ctg α = b : а.

Секанс угла α составляет отношение гипотенузы треугольника к катету, прилежащему к этому углу sec α = c : b, а косеканс по угла α той же теории как отношение гипотенузы треугольника к катету, который противостоит углу, cosec α = с : a.

Если задать систему координат с центром в точке О, а точка А, которая будет двигаться по окружности, образует радиус ОА. Это наглядно видно на чертеже.

Угол поворота можно считать произвольным и, согласно принятым обозначениям, называется θ. Через эту окружность можно выражать вышеназванные функции.

Например, тангенсом этого угла θсчитается отношение ординаты точки А на окружности к её абсциссе. Тогда если ctg α = b : а, а АС = sin θ, ОС = cos θ, то tgθ = sin θ : cos θ. Аналогично получаем ctg θ = cos θ : sin θ или 1 : tgθ.

Решение уравнения tg x = a

Обычная форма
записи решения:
Более удобная форма
записи решения
Ограничения
на число a
Ограничений нет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

Графическое обоснование решения уравнения tg x = a представлено на рисунке 3.

Рис. 3

Частные случаи решения уравнений tg x = a

Уравнение Решение
tg x = – 1
tg x = 0
tg x = 1

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

tg x = – 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

tg x = 0

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

tg x = 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

Решение уравнения ctg x = a

Обычная форма
записи решения
Более удобная форма
записи решения
Ограничения
на число a
Ограничений нет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

Графическое обоснование решения уравнения ctg x = a представлено на рисунке 4.

Рис. 4

Частные случаи решения уравнений ctg x = a

Уравнение Решение
ctg x = – 1
ctg x = 0
ctg x = 1

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

ctg x = – 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

ctg x = 0

Решение:

Решение:

Уравнение:

ctg x = 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

 

Свойства котангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства котангенса с формулами.

Смотрите также:

  1. Десятичный логарифм: основание, свойства, формулы, функция, график
  2. Логарифмы: таблица-шпаргалка свойств, формулы, примеры, график
  3. Натуральный логарифм: основание, свойства, формулы, функция, график
  4. Формулы двойного угла, доказательство, примеры
Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Свойство Формула
Четность/симметричность ctg (90°- α) = tg α‘ data-original-value=’ctg (90°- α) = tg α‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”3″ data-y=”3″ data-x=”1″ data-cell-id=”B3″>ctg (90°- α) = tg α
Тригонометрические тождества ctg α = 1 / tg α‘ data-original-value=’ctg α = 1 / tg α‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”5″ data-y=”5″ data-x=”1″ data-cell-id=”B5″>ctg α = 1 / tg α
Котангенс двойного угла ctg (α+β) = (ctg α ctg β – 1) / (ctg β + ctg α)‘ data-original-value=’ctg (α+β) = (ctg α ctg β – 1) / (ctg β + ctg α)‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”7″ data-y=”7″ data-x=”1″ data-cell-id=”B7″>ctg (α+β) = (ctg α ctg β – 1) / (ctg β + ctg α)
Котангенс разности углов ‘ data-original-value=’‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”9″ data-y=”9″ data-x=”1″ data-cell-id=”B9″>
Разность котангенсов ctg α ctg β = (ctg α + ctg β) / (tg α + tg β)‘ data-original-value=’ctg α ctg β = (ctg α + ctg β) / (tg α + tg β)‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”11″ data-y=”11″ data-x=”1″ data-cell-id=”B11″>ctg α ctg β = (ctg α + ctg β) / (tg α + tg β)
tg α ctg β = (tg α + ctg β) / (ctg α + tg β)‘ data-original-value=’tg α ctg β = (tg α + ctg β) / (ctg α + tg β)‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”13″ data-y=”13″ data-x=”1″ data-cell-id=”B13″>tg α ctg β = (tg α + ctg β) / (ctg α + tg β)
∫ ctg x dx = ln |sin x| + C‘ data-original-value=’∫ ctg x dx = ln |sin x| + C‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”16″ data-y=”16″ data-x=”1″ data-cell-id=”B16″>∫ ctg x dx = ln |sin x| + C
Формула Эйлера