Логарифмы

Содержание
  1. Определение логарифма
  2. Понятие логарифма и основного логарифмичесгого тождества
  3. Основное логарифмическое тождество
  4. Что такое логарифм и как его посчитать
  5. Два очевидных следствия определения логарифма
  6. Логарифм. Свойства логарифма (корень логарифма, смена основания).
  7. Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств
  8. Степень можно выносить за знак логарифма
  9. Логарифмы со специальным обозначением
  10. Виды логарифмов
  11. Сумма логарифмов. Разница логарифмов
  12. Вынесение показателя степени из логарифма
  13. Переход к новому основанию
  14. Десятичные и натуральные логарифмы
  15. Вычисление логарифма равносильно решению показательного уравнения
  16. Формулировки и доказательства свойств
  17. Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма
  18. 10 примеров логарифмов с решением
  19. Логарифм произведения и логарифм частного
  20. Формулы и свойства логарифмов

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что ac = b: log a b = c a c = b ( a > 0, a 1, b > 0 )

&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Понятие логарифма и основного логарифмичесгого тождества

Понятие логарифма и основного логарифмическое тождества состоят в тесной зависимости, т.к. определение логарифма в математической записи и является основным логарифмическим тождеством.

Основное логарифмическое тождество вытекает из определения логарифма:

Определение 1

Логарифмом называют показатель степени n, при возведении в которую числа а получают число b.

Замечание 1

Показательное уравнение a^n=b при a > 0, a ne 1 не имеет решений при неположительном b и имеет единственный корень при положительном b. Этот корень называется логарифмом числа b по основанию а и записывают:

Основное логарифмическое тождество

При условии, что a > 0, a ≠ 1, b > 0 можно записать основное логарифмическое тождество

alogab = b

Примеры:

3log3 7 = 7

3-log3 7 = 1 3log3 7 = 1 7

4log2 7 =22 log2 7 = (2log2 7)2 = 72 = 49

21 + log2 7 = 2 · 2log2 7 = 2 · 7 = 14

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем ви преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Приведем пример:

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Еще примеры:


Два очевидных следствия определения логарифма

log a a = 1 ( a > 0, a 1 )

(3)

log a 1 = 0 ( a > 0, a 1 )

(4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.

Логарифм. Свойства логарифма (корень логарифма, смена основания).

Корень логарифма из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня/ Логарифм. Свойства логарифма (корень логарифма, смена основания).

Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств

Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе, следует применять внимательно и аккуратно.

Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение

loga ( f (x)2 ) ,

то вместо формулы

следует применять формулу

поскольку в противном случае можно потерять корни.

По той же причине при преобразовании выражений

loga ( f (x) g (x)) и

следует использовать формулы:

и

Замечание. Желающим усовершенствовать свои знания и умения при решении уравнений и неравенств с логарифмами мы рекомендуем ознакомиться с нашими учебными пособиями «Решение логарифмических уравнений» и «Решение логарифмических неравенств».

Степень можно выносить за знак логарифма

log a b p = p log a b ( a > 0, a 1, b > 0 )

(7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x )

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Виды логарифмов

  • loga b – логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

  • lg bдесятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10).

  • ln bнатуральный логарифм (логарифм по основанию e, a = e).

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Переход к новому основанию

Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение:

Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например,

lg ( x y ) = lg x + lg y ( x > 0, y > 0 )

.

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e – иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам:

log a b = lg b lg a = ln b ln a ( a > 0, a 1, b > 0 )

Вычисление логарифма равносильно решению показательного уравнения

Показательное уравнение:

ax = b,

при условии a > 0, a ≠ 1; b > 0, где

x — показатель степени, a — основа степени, b — степень числа a.

Логарифмическое уравнение:

loga b = x,

при условии a > 0, a ≠ 1; b > 0, где

x — логарифм числа b с основой a, a — основа логарифма, b — число, которое стоит под знаком логарифма.

Примеры:

25 = 325 = log2 32

34 = 814 = log3 81

log1/5 125 = -3(1/5)-3 = 125

log2 116 = -42-4 = 116.

Пример 1

Найти логарифм: log 4 8

Обозначим log4 8 через x:

log4 8 = x

Перейдем к показательному уравнению:

4x = 8

Сведем показательное уравнение к основе 2 и решим его:

22x = 23

2x = 3

x = 3 2

Ответ:

log4 8 = 3 2

Пример 2

Найти x если : logx 125 = 3 2

За определением логарифма имеем:

x3/2 = 125

Возведем обе части в степень 2 3 , и воспользуемся свойствами степеней:

(x3/2)2/3 = 1252/3

x = (53)2/3 = 53·2/3 = 52 = 25

Ответ:

x = 25

Формулировки и доказательства свойств


Переходим к формулированию и доказательству записанных свойств логарифмов. Все свойства логарифмов доказываются на основе определения логарифма и вытекающего из него основного логарифмического тождества, а также свойств степени.

  1. Начнем со свойства логарифма единицы. Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, loga1=0 для любого a>0, a≠1. Доказательство не вызывает сложностей: так как a0=1 для любого a, удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1, то доказываемое равенство loga1=0 сразу следует из определения логарифма.

    Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log31=0, lg1=0 и .

  2. Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице, то есть, logaa=1 при a>0, a≠1. Действительно, так как a1=a для любого a, то по определению логарифма logaa=1.

    Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log55=1, log5,65,6 и lne=1.

  3. Логарифм степени числа, равного основанию логарифма, равен показателю степени. Этому свойству логарифма отвечает формула вида logaap=p, где a>0, a≠1 и p – любое действительное число. Это свойство напрямую следует из определения логарифма. Заметим, что оно позволяет сразу указать значение логарифма, если есть возможность представить число под знаком логарифма в виде степени основания, подробнее об этом мы поговорим в статье вычисление логарифмов.

    К примеру, log227=7, lg10-4=-4 и .

  4. Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: loga(x·y)=logax+logay, a>0, a≠1. Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени alogax+logay=alogax·alogay, а так как по основному логарифмическому тождеству alogax=x и alogay=y, то alogax·alogay=x·y. Таким образом, alogax+logay=x·y, откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.

    Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log5(2·3)=log52+log53 и .

    Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x1, x2, …, xn как loga(x1·x2·…·xn)=logax1+logax2+…+logaxn. Данное равенство без проблем доказывается методом математической индукции.

    Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4, e, и .

  5. Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0, a≠1, x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как , то по определению логарифма .

    Приведем пример использования этого свойства логарифма: .

  6. Переходим к свойству логарифма степени. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: logabp=p·loga|b|, где a>0, a≠1, b и p такие числа, что степень bp имеет смысл и bp>0.

    Сначала докажем это свойство для положительных b. Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как alogab, тогда bp=(alogab)p, а полученное выражение в силу свойство степени равно ap·logab. Так мы приходим к равенству bp=ap·logab, из которого по определению логарифма заключаем, что logabp=p·logab.

    Осталось доказать это свойство для отрицательных b. Здесь замечаем, что выражение logabp при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени bp должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае bp=|b|p. Тогда bp=|b|p=(aloga|b|)p=ap·loga|b|, откуда logabp=p·loga|b|.

    Например, и ln(-3)4=4·ln|-3|=4·ln3.

    Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня: логарифм корня n-ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0, a≠1, n – натуральное число, большее единицы, b>0.

    Доказательство базируется на равенстве (смотрите определение степени с дробным показателем), которое справедливо для любых положительных b, и свойстве логарифма степени: .

    Вот пример использования этого свойства: .

  7. Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида . Для этого достаточно доказать справедливость равенства logcb=logab·logca. Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как alogab, тогда logcb=logcalogab. Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: logcalogab=logab·logca. Так доказано равенство logcb=logab·logca, а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .

    Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и .

    Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов. Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.

    Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что logab и logbaвзаимно обратные числа. К примеру, .

    Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем . Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a: .

  8. Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

    Докажем, что для любых положительных чисел b1 и b2, b1<b2 при 0<a<1 справедливо неравенство logab1>logab2, а при a>1 – неравенство logab1<logab2. Докажем первую часть этого утверждения методом от противного, вторая часть доказывается абсолютно аналогично. Предположим, что при b1<b2 при 0<a<1 выполняется неравенство logab1≤logab2. Так как 0<a<1, то по свойству степеней с одинаковыми основаниями должно быть справедливо неравенство alogab1≥alogab2, откуда в силу основного логарифмического тождества следует, что b1≥b2. Так мы получили противоречие условию b1<b2.

  9. Наконец, осталось доказать последнее из перечисленных свойств логарифмов. Ограничимся доказательством его первой части, то есть, докажем, что если a1>1, a2>1 и a1<a2, то при 0<b<1 выполняется loga1b<loga2b, а при b>1 справедливо loga1b>loga2b. Остальные утверждения этого свойства логарифмов доказываются по аналогичному принципу.

    Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a1>1, a2>1 и a1<a2 и при 0<b<1 выполняется loga1b≥loga2b, а при b>1 справедливо loga1b≤loga2b. По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и соответственно, а из них следует, что logba1≤logba2 и logba1≥logba2 соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства blogba1≥blogba2 и blogba1≥blogba2, то есть, a1≥a2. Так мы пришли к противоречию условию a1<a2. На этом доказательство завершено.

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться .

Почему так?

Начнем с простого: допустим, что . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили , всегда получается . Более того, не существует ни для какого . Но при этом может равняться чему угодно (по той же причине – в любой степени равно ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае : в любой положительной степени – это , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что ).

При мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: . Например, (то есть ), а вот не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Решим уравнение .

Вспомним определение: логарифм – это степень, в которую надо возвести основание , чтобы получить аргумент . И по условию, эта степень равна : .

Получаем обычное квадратное уравнение: . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна , а произведение . Легко подобрать, это числа и .

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

– верно.

– это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Тогда, получив корни и , сразу отбросим корень , и напишем правильный ответ

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:

7. Найти значение выражения7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выражения8. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выражения9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:

4 + 3 = 7

10. Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:Обращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Логарифм произведения и логарифм частного

log a ( b c ) = log a b + log a c ( a > 0, a 1, b > 0, c > 0 )

(5)

log a b c = log a b log a c ( a > 0, a 1, b > 0, c > 0 )

(6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании “слева направо” происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного – расширение ОДЗ.

Действительно, выражение

log a ( f ( x ) g ( x ) )

определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму

log a f ( x ) + log a g ( x )

, мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Формулы и свойства логарифмов

Для любых a > 0, a ≠ 1 и b > 0, x > 0, y > 0 выполняются следующие свойства логарифмов.

  1. alogab = bосновное логарифмическое тождество

  2. loga 1 = 0 – логарифма единицы

  3. loga a = 1 – логарифм числа, равного основанию

  4. loga(x · y) = logax + logayлогарифм произведения двух положительных чисел

  5. loga x y = logax – logayлогарифма частного

  6. loga 1 x = -logax

  7. loga xn = n logaxлогарифм степени числа

  8. loga nx = 1 n logaxлогарифм корня числа

  9. logan x = 1 n loga x, при n ≠ 0

  10. logax = logac xc

  11. loga x = logb x logb a формула перехода к новому основанию

  12. loga x = 1 logx a

  13. (loga x)′ = 1 x ln a – производная логарифма

Источники


  • http://www.repetitor2000.ru/svoistva_logarifmov_01.html
  • https://spravochnick.ru/matematika/osnovnoe_logarifmicheskoe_tozhdestvo/
  • https://ru.onlinemschool.com/math/library/log/log_of_number/
  • https://yourrepetitor.ru/chto-takoe-logarifm-kak-poschitat-logarifm-svojstva-logarifmov-primery-resheniya-logarifmov/
  • https://www.calc.ru/Osnovnoye-Logarifmicheskoye-Tozhdestvo.html
  • https://www.resolventa.ru/spr/algebra/log2.htm
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/logarithm_formula/
  • http://www.cleverstudents.ru/logarithms/properties_of_logarithms.html
  • https://youclever.org/book/logarifmy-1

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: