Объемы фигур

Что такое шар?

Шар или сфера представляет собой объемное тело, которое образовано вращением окружности вдоль оси. Ось вращения окружности также является ее осью симметрии и совпадает с диаметром. Поскольку все параметры шара, как и окружности, неразрывно связаны с числом π, то и его объем не является исключением. Интегрируя по трем углам в сферической плоскости, получаем объем равный четырем третям числа π, умноженным на радиус в третьей степени.

Введите радиус шара:

Шар – геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара.

Формула объема шара: ,
где R – радиус шара

Шаги

  1. 1
    Запишите формулу для вычисления объема сферы. Формула: V = ⁴/₃πr³, где V — объем, r — радиус сферы.
  2. 2
    Найдите радиус. Если радиус дан, перейдите к следующему шагу. Если дан диаметр, разделите его на два, чтобы найти радиус.[3] Когда вы вычислите радиус, запишите его. Например, радиус равен 3 см.[4]

    • Если дана только площадь поверхности сферы, вычислите радиус так: площадь поверхности разделите на 4π, а затем из полученного значения извлеките квадратный корень. Таким образом: r = √(S/4π), где S — площадь поверхности сферы.[5]
  3. 3
    Возведите радиус в куб. Для этого умножьте радиус на себя три раза или возведите его в третью степень. Например, 33 = 3 * 3 * 3 = 27. Когда будете записывать окончательный ответ, не забудьте про единицу измерения (в нашем примере это кубические сантиметры). Теперь найденное значение подставьте в формулу для вычисления объема сферы (V = ⁴/₃πr³). Таким образом: V = ⁴/₃π * 27.

    • Если радиус равен 5 см, то кубический радиус равен 53 = 5 * 5 * 5 = 125.
  4. 4
    Кубический радиус умножьте на 4/3. Вы подставили в формулу значение r3 (в нашем примере 27); теперь умножьте это значение на 4/3: 4/3 * 27 = 36. Теперь формула запишется так: V = ⁴/₃ * π * 27 = 36π.
  5. 5
    Умножьте полученное значение на π. Это последний шаг процесса вычисления объема сферы. Можно оставить π и записать ответ так: V = 36π. Или вместо π подставьте численное значение этой константы (π ≈ 3,14)[6]: V = 3,14 * 36 = 113,04 ≈ 113. Не забудьте указать кубические единицы измерения. Таким образом, объем шара с радиусом 3 см приблизительно равен 113 см3.

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).

Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).

Рис.1

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.

Замечание. Радиусом сферы (радиусом шара) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы (радиусом шара).

Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Рис.2

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя.

Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Рис.3

Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента.

Рис.4

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Рис.5

Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Рис.6

Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента.

Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы.

Молярный объём

Vm — величина, равная отношению объёма V системы (тела) к её количеству вещества n:

Vm = V/n

Молярный объем для газов при нормальных условиях: Vm = 22,4 л/моль

  • Единица: м³/mol; м³/моль

Формула вычисления объема шара

1. Через радиус

Объем (V) шара равняется трем четвертым произведения его радиуса в кубе и числа π.

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

2. Через диаметр

Диаметр шара равняется двум его радиусам: d = 2R. А значит, формула вычисления объема может выглядеть следующим образом:

Формула расчёта объёма шара

Объем шара можно вычислить по формуле:

V
=
4
3
π R3

R – радиус шара

V – объем шара

π3.14

Как найти объем трехмерных объектов

Начнем с расчета для прямоугольных и квадратных фигур. Придерживайтесь инструкции и постарайтесь рассчитать самостоятельно, чтобы закрепить знания. Числа, указанные в описании, берутся в качестве примера. Вы можете производить другие расчеты.

  1. Измеряем длину предмета в сантиметрах – 9. Сантиметры приходят на помощь, когда невозможно получить целое число в метрах .
  2. Замеряем ширину в сантиметрах – 17.
  3. Умножаем между собой длину и ширину 9 * 17 = 152 см2 – получили площадь основания
  4. Производим замер высоты – 28 см.
  5. Умножаем площадь основания на высоту 152 см2 * 28 см = 4256.

Полученное число необходимо перевести в кубические метры. Для этого конечный результат делим на 1.000.000. Пример будет выглядеть следующим образом – 4256 м3/1000000 = 0,004256 м3

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

Фигура Рисунок Формула Описание
Сфера

S = 4πr2,

где
r – радиус сферы.

Площадь сферы
Шар

где
r – радиус шара.

Объем шара
Сферический пояс

S = 2πrh,

где
r – радиус сферы,
hвысота сферического пояса.

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Площадь сферического пояса
Шаровой слой

где
r1 , r2 – радиусы оснований шарового слоя,
hвысота шарового слоя.

Объем шарового слоя
Сферический сегмент

S = 2πrh,

где
r – радиус сферы,
hвысота сферического сегмента.

Площадь сферического сегмента
Шаровой сегмент

где
r – радиус шара,
hвысота шарового сегмента.

Объем шарового сегмента
Шаровой сектор

где
r – радиус шара,
hвысота шарового сектора.

Объем шарового сектора
Сфера

Площадь сферы:

S = 4πr2,

где
r – радиус сферы.

Шар

Объем шара:

где
r – радиус шара.

Сферический пояс

Площадь сферического пояса:

S = 2πrh,

где
r – радиус сферы,
hвысота сферического пояса.

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Шаровой слой

Объем шарового слоя:

где
r1 , r2 – радиусы оснований шарового слоя,
hвысота шарового слоя.

Сферический сегмент

Площадь сферического сегмента:

S = 2πrh,

где
r – радиус сферы,
hвысота сферического сегмента.

Шаровой сегмент

Объем шарового сегмента:

где
r – радиус шара,
hвысота шарового сегмента.

Шаровой сектор

Объем шарового сектора:

где
r – радиус шара,
hвысота шарового сектора.

Прочие единицы измерения

  • 1 дюйм кубический = 1,63871·10−5 м³
  • 1 литр = 1·10−3 м³
  • Лямбда 1 λ = 1·10−9 м³
  • 1 унция = 2,841·10−5 м³ (анг.)
  • 1 унция = 2,957·10−5 м³ (амер.)
  • 1 фут кубический = 2,83168·10−2 м³
  • 1 ярд кубический = 0,76455 м³
  • 1 стер = 1 м³
  • 1 ае кубическая =3,348071936e+40 км³
  • 1 км кубический = 1 000 000 000 м³
  • 1 световой год кубический = 8,46590536e+38 км³
  • 1 пк кубический = 2,9379989989648103256576e+40 км³
  • 1 мпк кубический =1 000 000 000 пк³=2,9379989989648103256576e+49 км³

Пример нахождения объёма шара

Задача:

Найти объем шара радиусом 10 сантиметров.

Решение:

Для того чтобы вычислить объем шара формула используется следующая:

V
=
4
3
π R3

где V – искомый объем шара, π3,14, R – радиус.

Таким образом, при радиусе 10 сантиметров объем шара равен:

V
=
4
3
3,14 × 103 = 4186,7
кубических сантиметров.

В геометрии шар определяется как некое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, которые располагаются от центра на расстоянии, не более заданного, называемого радиусом шара. Поверхность шара именуется сферой, а сам он образуется путем вращения полукруга около его диаметра, остающегося неподвижным.

С этим геометрическим телом очень часто сталкиваются инженеры-конструкторы и архитекторы, которым часто приходится вычислять объем шара. Скажем, в конструкции передней подвески подавляющего большинства современных автомобилей используются так называемые шаровые опоры, в которых, как нетрудно догадаться из самого названия, одними из основных элементов являются именно шары. С их помощью происходит соединение ступиц управляемых колес и рычагов. От того, насколько правильно будет вычислен их объем, во многом зависит не только долговечность этих узлов и правильность их работы, но и безопасность движения.

В технике широчайшее распространение получили такие детали, как шариковые подшипники, с помощью которых происходит крепление осей в неподвижных частях различных узлов и агрегатов и обеспечивается их вращение. Следует заметить, что при их расчете конструкторам требуется найти объем шара (а точнее – шаров, помещаемых в обойму) с высокой степенью точности. Что касается изготовления металлических шариков для подшипников, то они производятся из металлической проволоки при помощи сложного технологического процесса, включающего в себя стадии формовки, закалки, грубой шлифовки, чистовой притирки и очистки. Кстати говоря, те шарики, которые входят в конструкцию всех шариковых ручек, изготавливаются по точно такой же технологии.

Достаточно часто шары используются и в архитектуре, причем там они чаще всего являются декоративными элементами зданий и других сооружений. В большинстве случаев они изготавливаются из гранита, что зачастую требует больших затрат ручного труда. Конечно, соблюдать столь высокую точность изготовления этих шаров, как тех, которые применяются в различных агрегатах и механизмах, не требуется.

Без шаров немыслима такая интересная и популярная игра, как бильярд. Для их производства используются различные материалы (кость, камень, металл, пластмассы) и используются различные технологические процессы. Одним из основных требований, предъявляемых к бильярдным шарам, является их высокая прочность и способность выдерживать высокие механические нагрузки (прежде всего, ударные). Кроме того, их поверхность должна представлять собой точную сферу для того, чтобы обеспечивалось плавное и ровное качение по поверхности бильярдных столов.

Наконец, без таких геометрических тел, как шары, не обходится ни одна новогодняя или рождественская елка. Изготавливаются эти украшения в большинстве случаев из стекла методом выдувания, и при их производстве наибольшее внимание уделяется не точности размеров, а эстетичности изделий. Технологический процесс при этом практически полностью автоматизирован и вручную елочные шары только упаковываются.

Как найти объем для фигур цилиндрической формы

Цилиндр – это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями. Одним из видов цилиндра является призма.

Чтобы произвести вычисления нужно найти диаметр тела (ширина) одного круглого основания и полученное число поделить на 2. Допустим, диаметр основания равен 30 см.

  1. Производим расчеты: 30 см / 2 = 15 см. Половина диаметра круга ‒ радиус.
  2. Возводим полученный радиус в квадрат или умножаем самого на себя: 15 * 15 = 225 см2.
  3. Полученное число 225 см2 – это квадрат радиуса. Эту цифру умножаем на число ПИ — 3,14. Например: 225 см2 * 3,14 = 706,5 см2.
  4. Проводим новый замер, чтобы узнать расстояние между круглыми основаниями, допустим, оно равно 12 см.
  5. Это число умножаем на площадь круглого основания: 706,5 см2 * 12 см = 8 478 см3
  6. Полученное значение и будет искомым объемом. Для перевода в кубические метры необходимо конечное число поделить на один миллион. Как мы делали в предыдущем примере.

Объем шарового сегмента

Шаровой сегмент – часть шара, отсекаемая какой нибудь плоскостью. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:

[ LARGE V = {1 over 3} cdot pi cdot h^2 cdot (3 cdot R – h) ]

где:
V – объем шарового сегмента
h – высота шарового сегмента
R – радиус шарового сегмента
π – число пи (3.1415)

Советы

  • Используйте кубические единицы измерения (например, 113 см³).
  • Убедитесь, что все значения представлены в одной единице измерения. В противном случае преобразуйте единицы измерения.
  • Обратите внимание, что символ «*» используется как знак умножения, чтобы избежать путаницы с переменной «x».
  • Если нужно найти объем некоторой части сферы, например, ее половины или четверти, сначала вычислите объем всей сферы, а затем полученное значение разделите на число, на которое поделена сфера. Например, чтобы найти объем полусферы, когда объем всей сферы равен 8, разделите 8 на 2 и получите 4.

Примеры задач

Задание 1
Вычислите объем шара, если его радиус равняется 3 см.

Решение:
Применив первую формулу (через радиус) получаем:

Задание 2
Найдите объем шара, если известно, что его диаметр равен 12 см.

Решение:
Используем вторую формулу, в которой задействован диаметр:

Объем шара через диаметр

{V= dfrac{1}{6}pi D^3}

Формула для нахождения объема шара через диаметр: {V= dfrac{1}{6}pi D^3}, где D — диаметр шара.

Источники


  • https://calcsbox.com/post/formula-obema-sara.html
  • https://www.calc.ru/obyem-shara.html
  • https://ru.wikihow.com/%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C-%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BC-%D1%81%D1%84%D0%B5%D1%80%D1%8B
  • https://www.resolventa.ru/uslugi/pricegiabib.htm
  • https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/16334
  • https://MicroExcel.ru/obyom-shara/
  • http://simple-math.ru/geometry/volume-sphere.php
  • https://blog.comfy.ua/kak-najjti-objom-geometricheskikh-figur_a0-349/
  • https://mnogoformul.ru/obem-shara-formula-i-raschet-onlayn

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: