Округление числа до требуемой точности (заданного количества значащих цифр)

Общий порядок округления и терминология

  • Округление числа, записанного в позиционной системе счисления с M знаками дробной части, может производиться «до K-го знака после запятой», где K ≤ M. При таком округлении в записи числа отбрасываются справа (M-K) значащих цифр, а K-я цифра после запятой может измениться. Применяется также терминология с указанием единицы наименьшей десятичной доли, сохраняющейся у округлённого числа, то есть «округление до десятых», «…до сотых», «…до тысячных» и т. д. (соответствует округлению до одного, двух, трёх и так далее знаков после запятой). Частный случай, когда K=0, называется «округлением до целого».
  • Когда при округлении отбрасываются значащие цифры целой части числа, говорят об «округлении до десятков» (сотен, тысяч и так далее), отбрасывая, соответственно, один, два, три и более знака. При таком округлении отбрасываемые цифры целой части числа заменяются на нули.
  • Для чисел, представленных в нормализованном виде, говорят об «округлении до K (значащих) цифр». При этом мантисса числа сохраняет K значащих цифр, остальные цифры справа отбрасываются.

Варианты округления 0,5 к ближайшему целому

Отдельного описания требуют правила округления для специального случая, когда (N+1)-й знак = 5, а последующие знаки равны нулю. Если во всех остальных случаях округление до ближайшего целого обеспечивает меньшую погрешность округления, то данный частный случай характерен тем, что для однократного округления формально безразлично, производить его «вверх» или «вниз» — в обоих случаях вносится погрешность ровно в 1/2 младшего разряда. Существуют следующие варианты правила округления до ближайшего целого для данного случая:

  • Математическое округление — округление всегда в бо́льшую по модулю сторону (предыдущий разряд всегда увеличивается на единицу).
  • Округление до ближайшего чётного (в английском языке известно под названием англ. banker’s rounding — «округление банкира») — округление для этого случая происходит к ближайшему чётному числу, то есть 2,5 → 2; 3,5 → 4.
  • Случайное округление — округление происходит в меньшую или большую сторону в случайном порядке, но с равной вероятностью (может использоваться в статистике).
  • Чередующееся округление — округление происходит в меньшую или большую сторону поочерёдно.

Во всех вариантах в случае, когда (N+1)-й знак не равен 5 или последующие знаки не равны нулю, округление происходит по обычным правилам: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Математическое округление просто формально соответствует общему правилу округления (см. выше). Его недостатком является то, что при округлении большого числа значений, которые далее будут обрабатываться совместно, может происходить накопление ошибки округления. Типичный пример: округление до целых рублей денежных сумм, выражаемых в рублях и копейках. В реестре из 10 000 строк (если считать копеечную часть каждой суммы случайным числом с равномерным распределением, что обычно вполне допустимо) окажется в среднем около 100 строк с суммами, содержащими в части копеек значение 50. При округлении всех таких строк по правилам математического округления «вверх» сумма «итого» по округлённому реестру окажется на 50 рублей больше точной.

Три остальных варианта как раз и придуманы для того, чтобы уменьшить общую погрешность суммы при округлении большого количества значений. Округление «до ближайшего чётного» исходит из предположения, что при большом числе округляемых значений, имеющих 0,5 в округляемом остатке, в среднем половина из них окажется слева, а половина — справа от ближайшего чётного, таким образом, ошибки округления взаимно погасятся. Строго говоря, предположение это верно лишь тогда, когда набор округляемых чисел обладает свойствами случайного ряда, что обычно верно в бухгалтерских приложениях, где речь идёт о ценах, суммах на счетах и так далее. Если же предположение будет нарушено, то и округление «до чётного» может приводить к систематическим ошибкам. Для таких случаев лучше работают два следующих метода.

Два последних варианта округления гарантируют, что примерно половина специальных значений будет округлена в одну сторону, половина — в другую. Но реализация таких методов на практике требует дополнительных усилий по организации вычислительного процесса.

  • Округление в случайную сторону требует для каждой округляемой строки генерировать случайное число. При использовании псевдослучайных чисел, создаваемых линейным рекуррентным методом, для генерации каждого числа требуется операция умножения, сложения и деления по модулю, что для больших объёмов данных может существенно замедлить расчёты.
  • Чередующееся округление требует хранить флаг, показывающий, в какую сторону последний раз округлялось специальное значение, и при каждой операции переключать значение этого флага.

Эмпирические правила арифметики с округлениями[править | править код]

В тех случаях, когда нет необходимости в точном учёте вычислительных погрешностей, а требуется лишь приблизительно оценить количество точных цифр в результате расчёта по формуле, можно пользоваться набором простых правил округлённых вычислений:

  1. Все исходные значения округляются до реальной точности измерений и записываются с соответствующим числом значащих цифр, так, чтобы в десятичной записи все цифры были надёжными (допускается, чтобы последняя цифра была сомнительной). При необходимости значения записываются со значащими правыми нулями, чтобы в записи указывалось реальное число надёжных знаков (например, если длина в 1 м реально измерена с точностью до сантиметров, записывается «1,00 м», чтобы было видно, что в записи надёжны два знака после запятой), или точность явно указывается (например, 2500±5 м — здесь надёжными являются только десятки, до них и следует округлять).
  2. Промежуточные значения округляются с одной «запасной» цифрой.
  3. При сложении и вычитании результат округляется до последнего десятичного знака наименее точного из параметров (например, при вычислении значения 1,00 м + 1,5 м + 0,075 м результат округляется до десятых метра, то есть до 2,6 м). При этом рекомендуется выполнять вычисления в таком порядке, чтобы избегать вычитания близких по величине чисел и производить действия над числами по возможности в порядке возрастания их модулей.
  4. При умножении и делении результат округляется до наименьшего числа значащих цифр, которое имеют множители или делимое и делитель. Например, если тело при равномерном движении прошло дистанцию 2,5⋅103 метров за 635 секунд, то при вычислении скорости результат должен быть округлён до 3,9 м/с, поскольку одно из чисел (расстояние) известно лишь с точностью до двух значащих цифр.
    Важное замечание: если один операндов при умножении или делитель при делении является по смыслу целым числом (то есть не результатом измерений непрерывной физической величины с точностью до целых единиц, а, например, количеством или просто целой константой), то количество значащих цифр в нём на точность результата операции не влияет, и оставляемое число цифр определяется только вторым операндом. Например, кинетическая энергия тела массой 0,325 кг, движущегося со скоростью 5,2 м/с, равна Дж — округляется до двух знаков (по количеству значащих цифр в значении скорости), а не до одного (делитель 2 в формуле), так как значение 2 по смыслу — целая константа формулы, она является абсолютно точной и не влияет на точность вычислений (формально такой операнд можно считать «измеренным с бесконечным числом значащих цифр»).
  5. При возведении в степень в результате вычисления следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени.
  6. При извлечении корня любой степени из приближённого числа в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число.
  7. При вычислении значения функции требуется оценить значение модуля производной этой функции в окрестности точки вычисления. Если, то результат функции точен до того же десятичного разряда, что и аргумент. В противном случае результат содержит меньше точных десятичных разрядов на величину, округлённую до целого в большую сторону.

Несмотря на нестрогость, приведённые правила достаточно хорошо работают на практике, в частности, из-за достаточно высокой вероятности взаимопогашения ошибок, которая при точном учёте погрешностей обычно не учитывается.

Округление дробных чисел

  1. 1
    Определите разряд (положение последней цифры), до которого округляется число. Это может быть дано вашим учителем, если вы решаете математическую задачу, или вы можете понять это, основываясь на контексте и типах используемых чисел. Например, в случае денежной суммы вам, скорее всего, нужно округлить ее с точностью до сотой или цента; в случае округления массы вы, вероятно, просто округлите ее до килограмма.

    • Чем менее точное число необходимо, тем более высокий разряд должен быть выбран.
    • Более точные числа округляются до меньших разрядов.
  2. 2
    Определите разряд, до которого округляется число. Например, вы работаете с числом 10,7659 и решили округлить его до тысячных, разрядом которых является цифра 5, третья цифра справа от десятичной точки. Вы также можете считать это округлением числа до пяти значащих цифр. Итак, сейчас сосредоточьте внимание на цифре 5.
  3. 3
    Посмотрите на цифру справа от округляемой цифры. В нашем случае справа от 5 вы найдете 9. Это число определит, будет ли 5 округляться вверх или вниз.
  4. 4
    Округлите рассматриваемую цифру на одну цифру вверх, если цифра справа равна 5, 6 , 7, 8 или 9. Это называется округлением вверх, потому что округляемая цифра становится больше. Исходная цифра 5 становится 6. Все цифры слева от 5 остаются таким же, а числа справа исчезают (превращаются в нули). Поэтому, при округлении числа 10,7659 до цифры 5, эта цифра будет округлена до 6, а исходное число станет равным 10,766 .

    • Хотя 5 находится в середине ряда цифр от 1 до 9 , считается общепризнанным округлять цифру, предшествующую 5, вверх.
  5. 5
    Округлите рассматриваемую цифру на одну цифру вниз, если цифра справа равна 0, 1, 2, 3 или 4. Если справа от округляемой цифры стоят 0, 1, 2, 3 или 4, округляемая цифра не изменяется. Хотя этот процесс называется округлением вниз, округляемая цифра остается той же и на самом деле никогда не меняется на меньшее значение. Например, если вы работаете с числом 10,7653, Вы должны округлить его до 10,765, так как справа от цифры 5 стоит 3.

    • Оставив округляемую цифру без изменения и заменив все цифры справа от нее на 0, мы, тем не менее, получаем меньшее округленное число. Таким образом, само число уменьшается.

Округление целых чисел

  1. 1
    Округлите число до десятков. Десятки – это вторая с конца цифра, предшествующая единицам. Для округления до десятков смотрим на цифру, стоящую справа от них (если возьмем число 12, то смотрим на 2). Если эта цифра 0-4, то округляемая цифра не меняется; если эта цифра 5-9, то округляемая цифра становится на единицу больше. Вот некоторые примеры:

    • 12 –> 10
    • 114 –> 110
    • 57 –> 60
    • 1334 –> 1330
    • 1488 –> 1490
    • 97 –> 100
  2. 2
    Округлите число до сотен. Выполните те же действия для округления числа до сотен. Сотни – это третья с конца цифра, предшествующая десяткам. (В числе 1234 “2” – это цифра в разряде сотен). Затем с помощью цифры справа (разряд десятков) от цифры в разряде сотен решаем, нужно ли округлить число вверх или вниз. Вот несколько примеров :

    • 7 891 — > 7 900
    • 15 753 –> 15 800
    • 99 961 –> 100 000
    • 3 350 –> 3 400
    • 450 –> 500
  3. 3
    Округлите число до тысяч. Те же правила применимы и здесь. Просто надо найти тысячи, четвертую цифру с конца, и проверить цифру в разряде сотен, которая будет справа от этого числа. Если цифра 0-4, округляем вниз, а если 5-9, округляем вверх. Вот еще несколько примеров для рассмотрения:

    • 8 800 –> 9 000
    • 1 015 –> 1 000
    • 12 450 –> 12 000
    • 333 878 –> 334 000
    • 400 400 –> 400 000

Приближённые значения

Иногда в вычисления нет необходимости использовать точные числовые значения. Для ускорения или упрощения расчётов очень часто достаточно получения приближенного результата. Для этого производят округления чисел, которые участвуют в расчетах а также и конечный результат вычислений. Приближённые значения используют тогда, когда точное значение чего-либо найти невозможно, или же это значение не важно для исследуемого предмета.

Например можно сказать, что дорога до дома занимает полчаса. Это прибличительное значение, поскольку точно сказать сколько времени займет путь до дома или слишком сложно или в большинстве случаев не так важно. Главное обозначить порядок чисел и этого бывает вполне достаточно.

В математике приближенные значения указываются с помощью специального знака.

Чтобы указать приблизительное значение чего-либо, используют округление чисел.

Правило округления числа до целого

Чтобы округлить число до целого (или округлить число до единиц), надо отбросить запятую и все числа, стоящие после запятой.

Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то число не изменится.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, предыдущую цифру нужно увеличить на единицу.

Примеры округления числа до целого:
Чтобы округлить число до целого, отбрасываем запятую и все стоящие после нее числа. Так как первая отброшенная цифра 2, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «восемьдесят шесть целых двадцать четыре сотых приближенно равно восьмидесяти шести целым».
Округляя число до целого, отбрасываем запятую и все следующие за ней цифры. Так как первая из отброшенных цифр равна 8, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Двести семьдесят четыре целых восемьсот тридцать девять тысячных приближенно равно двести семидесяти пяти целым».
При округлении числа до целого запятую и все стоящие за ней цифры отбрасываем. Поскольку первая из отброшенных цифр — 5, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Нуль целых пятьдесят две сотых приближенно равно одной целой».
Запятую и все стоящие после нее цифры отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 3, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Нуль целых триста девяносто семь тысячных приближенно равно нуль целых».
Первая из отброшенных цифр — 7, значит, стоящую перед ней цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать девять целых семьсот четыре тысячных приближенно равно сорока целым». И еще пара примеров на округление числа до целых:

Как округлить до десятых

Правило округления числа до десятых.

Чтобы округлить десятичную дробь до десятых, надо оставить после запятой только одну цифру, а все остальные следующие за ней цифры отбросить.

Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.

Примеры округления до десятых числа:
Чтобы округлить число до десятых, оставляем после запятой первую цифру, а остальное отбрасываем. Так как первая отброшенная цифра 5, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Двадцать три целых семьдесят пять сотых приближенно равно двадцать три целых восемь десятых».
Чтобы округлить до десятых данное число, оставляем после запятой лишь первую цифру, остальное — отбрасываем. Первая отброшенная цифра 1, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Триста сорок восемь целых тридцать одна сотая приближенно равно триста сорок одна целая три десятых».
Округляя до десятых, оставляем после запятой одну цифру, а остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 6, значит, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Сорок девять целых, девятьсот шестьдесят две тысячных приближенно равно пятьдесят целых, нуль десятых».
Округляем до десятых, поэтому после запятой оставляем только первую из цифр, остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 4, значит предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Семь целых двадцать восемь тысячных приближенно равно семь целых нуль десятых».
Чтобы округлить до десятых данное число, после запятой оставляет одну цифру, а все следующие за ней — отбрасываем. Так как первая отброшенная цифра — 7, следовательно, к предыдущей прибавляем единицу. Читают: «Пятьдесят шесть целых восемь тысяч семьсот шесть десятитысячных приближенно равно пятьдесят шесть целых, девять десятых».

Как округлить число до сотых

Правило округления числа до сотых

Чтобы округлить число до сотых, надо оставить после запятой две цифры, а остальные отбросить.

Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.

Пример округления числа до сотых:
Чтобы округлить число до сотых, оставляем после запятой две цифры, а следующую за ними цифру отбрасываем. Поскольку эта цифра — 9, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать две целых семьсот восемьдесят шесть тысячных приближенно равно тридцать две целых семьдесят девять сотых».Округляя данное число до сотых, оставляем после запятой две цифры, а третью — отбрасываем. Так как отброшенная цифра — 1, предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Шесть целых девятьсот шестьдесят одна тысячная приближенно равно шесть целых девяносто шесть сотых».
При округлении до сотых оставляем после запятой две цифры, остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 3, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Семнадцать целых четыре тысячи тридцать девять десятитысячных приближенно равно семнадцать целых сорок восемь сотых».
Чтобы округлить данное число до сотых, после запятой оставим лишь две цифры, а остальные — отбросим. Первая из отброшенных цифр равна 5, поэтому предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Нуль целых тысяча двести пятьдесят четыре тысячных приближенно равно нуль целых тринадцать сотых».
При округлении числа до сотых оставляем после запятой две цифры, остальные — отбрасываем. Поскольку первая из отброшенных цифр — 7, предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читаем: «Пятьсот сорок девять целых, три тысячи семьдесят три десятитысячных приближенно равно пятьсот сорок девять целых, тридцать одна сотая».

Как округлить число до тысячных

Правило округления числа до тысячных

Чтобы округлить десятичную дробь до тысячных, надо оставить после запятой только три цифры, а остальные следующие за ней цифры отбросить.

Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.

Пример кругления числа до тысячных:
Чтобы округлить число до тысячных, после запятой нужно оставить лишь три цифры, а четвертую — отбросить. Поскольку отброшенная цифра — 4, предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Три целых, семь тысяч восемьсот пятьдесят четыре десятитысячных приближенно равно три целых, семьсот восемьдесят пять тысячных».
Чтобы округлить это число до тысячных, после запятой оставляем три цифры, а четвертую — отбрасываем. Отброшенная цифра — 6, значит предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать семь целых две тысячи семьдесят шесть десятитысячных приближенно равно тридцать семь целых двести восемь тысячных».
Округляя число до тысячных, оставляем после запятой три цифры, а все остальные — отбрасываем. Так как первая из отброшенных цифр — 8, к предыдущей прибавляем единицу. Читают: «Шестьдесят девять целых девяносто девять тысяч девятьсот восемьдесят одна стотысячная приближенно равно семьдесят целых нуль тысячных».
Округляем число до тысячных, поэтому после запятой оставляем первые три цифры, а следующие за ними — отбрасываем. Так как первая из отброшенных цифр — 2, то предыдущую цифру не меняем. Читают: «Восемьсот шестьдесят три целых двенадцать тысяч четыреста двадцать три стотысячных приближенно равно восемьсот шестьдесят три целых сто двадцать четыре тысячных».
Чтобы округлить данное число до тысячных, первые три цифры, стоящие после запятой, оставляем, а все остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр равна 5, а это означает, что предыдущую цифру следует увеличить на единицу. Читают: «Нуль целых триста пятьдесят девять стотысячных приближенно равно нуль целых четыре тысячных».

Как округлить до трех значащих цифр в Excel

В Excel все решает пользователь. Программа округлит дробные или даже целые числа в зависимости какое число значащих цифр удовлетворит потребность пользователя. Несомненно, на первый взгляд такое округление может вызывать сомнение в рациональности решения. Однако в презентациях есть место быть как точным показателям, так и относительным. И в других ситуациях это также применимо. Например, в стратегическом планировании более важные относительные показатели, так как сколько не планируй никогда не угадаешь точные результирующие числа. В тактическом планировании более важны точные значения чтобы избежать серьезных просчетов. В стратегическом планировании где показатели достигают миллионов, каждое значение ниже определенного числа значащих цифр – не существенно.

Ниже на рисунке показано, как составить формулу, которая округляет миллионные числовые значения до заданного числа значащих цифр:

Функция ОКРУГЛ используется для округления исходного числового значения до определенного количества разрядов после запятой. Функция содержит 2 аргумента:

  1. Число – ссылка на исходное значение, которое необходимо округлить.
  2. Число-разрядов – количество разрядов, которое необходимо оставить после округления исходного числа.

Если во втором аргументе функции ОКРУГЛ указать отрицательное число, тогда Excel округлит исходное числовое значение в соответствии цифр по левой стороне запятой. Например, следующая формула возвращает в результате вычисления число 9500:

А если указать во втором аргументе значение -3, тогда функция ОКРУГЛ возвращает результат 9000:

Такая формула прекрасно работает, но не всегда. Например, что будет если исходные числовые значения будут разных величин числовых радов? Одни будут более миллиона, другие едва превышают сотни тысяч. Если возникнет необходимость округлить все такие исходные значения до одной и той же значащей цифры используя при этом одну и туже формулу (как обычно принято в Excel). Применять для отдельных групп исходных значений функцию ОКГРУГЛ с разными значениями в аргументах – это не правильное, а точнее не наилучшее решение. Хотя теоретически все может сработать.

Для красивого решения данной задачи следует использовать постоянное неизменяемое число значащих цифр в формуле, которая вычислит соответствующие значения.

Как будет округлено число в зависимости от того, что мы укажем в “числе разрядов”?

  • Если число_разрядов больше 0, то число округляется до указанного количества дробных разрядов.
  • Если число_разрядов равно 0, то число округляется до ближайшего целого.
  • Если число_разрядов меньше 0, то число округляется слева от запятой.

Примеры:

Примеры округлений.

Также существуют функции направленного округления:

  • Чтобы округление всегда выполнялось в большую по модулю сторону, используйте функцию ОКРУГЛВВЕРХ.
  • Чтобы округление всегда выполнялось до ближайшего меньшего по модулю, используйте функцию ОКРУГЛВНИЗ.
  • Чтобы число округлялось с нужной кратностью (например, до ближайшего числа, кратного 0,5), используйте функцию ОКРУГЛТ.

Советы

  • Как только вы найдете разряд, до которого необходимо округлить число, подчеркните его. Это помогает свести к минимуму путаницу между округляемой цифрой и цифрой справа, которая является определяющей при округлении числа.
  • Допустимо не писать нули справа округляемой цифры при округлении дробного числа. В этом случае нули после дробной запятой не играют значения. Это не относится к нулям слева, стоящим до дробной запятой.

Предупреждения

  • Будьте внимательны с разрядом округления при работе с дробными числами. Названия разрядов справа и слева от дробной запятой похожи. Сравните: округлить до тысяч или до тысячных. Следите, когда окончание “ных” используется в слове для обозначения разряда округления. Оно помещает разряд справа от десятичной запятой.
Источники


  • https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
  • https://ru.wikihow.com/%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%BB%D1%8F%D1%82%D1%8C-%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0
  • https://calcsbox.com/post/okruglenie-cisel.html
  • https://exceltable.com/formuly/okruglit-do-3-znachashchih-cifr
  • https://zen.yandex.ru/media/id/5de7e89b34808223c3a5d41e/okruglenie-chisla-v-excel-5e6dc2e612bb2521083a6a09

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения