Площадь боковой поверхности пирамиды – формула, пример расчета

Фигура пирамида

Прежде чем приводить определение апофемы пирамиды, познакомимся с самой фигурой. Пирамида представляет собой многогранник, который образован одним n-угольным основанием и n треугольниками, составляющими боковую поверхность фигуры.

Всякая пирамида имеет вершину – точку соединения всех треугольников. Перпендикуляр, проведенный из этой вершины к основанию, называется высотой. Если высота пересекает в геометрическом центре основание, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая равностороннее основание, называется правильной. На рисунке показана пирамида с шестиугольным основанием, на которую смотрят со стороны грани и ребра.

Элементы правильной пирамиды

  • Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема. На рисунке обозначена как отрезок ON
  • Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
  • Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)
  • Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
  • Диагональное сечение пирамиды – это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
  • Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной, четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр.

    Шестиугольная пирамида

    В целом это одна из последних и самых сложных тем в стереометрии. Изучается где-то в 10-11 классах и рассматривается только вариант, когда в основании находится правильная фигура. Одно из труднейших заданий по ЕГЭ зачастую бывает связано с этим параграфом.

    И-так, в основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Что это значит? У фигуры в основании все стороны равны. Боковые же части состоят из равнобедренных треугольников. Вершины их соприкасаются в одной точке. Данная фигура представлена на фото ниже.

    Какая пирамида будет изучаться

    Правильная шестиугольная пирамида представляет собой фигуру в пространстве, которая ограничена одним равносторонним и равноугольным шестиугольником, и шестью одинаковыми треугольниками равнобедренными. Эти треугольники могут быть также равносторонними при определенных условиях. Эта пирамида ниже показана.

    Здесь изображена одна и та же фигура, только в одном случае она повернута боковой гранью к читателю, а в другом – боковым ребром.

    Правильная шестиугольная пирамида имеет 7 граней, которые были названы выше. Также ей принадлежат 7 вершин и 12 ребер. В отличие от призм, у всех пирамид имеется одна особая вершина, которая образована пересечением боковых треугольников. Для правильной пирамиды она играет важную роль, поскольку опущенный с нее на основание фигуры перпендикуляр является высотой. Далее высоту будем обозначать буквой h.

    Показанная пирамида называется правильной по двум причинам:

    • в ее основании находится шестиугольник с равными длинами сторон a и с одинаковыми углами по 120o
    • высота пирамиды h пересекает шестиугольник точно в его центре (точка пересечения лежит на одинаковом расстоянии от всех сторон и от всех вершин шестиугольника).

    Связь пирамиды с конусом

    Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.
    Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.
    Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.
    Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

    Формулы для правильной пирамиды

    Формулы для нахождения объема и площади боковой поверхности:

    Обозначения:
    V – объем пирамиды
    S – площадь основания
    h – высота пирамиды
    Sb – площадь боковой поверхности
    a – апофема (не путать с α)
    P – периметр основания
    n – число сторон основания
    b – длина бокового ребра
    α – плоский угол при вершине пирамиды

    Данная формула нахождения объема может применяться только для правильной пирамиды:

    , где

    V – объем правильной пирамиды
    h – высота правильной пирамиды
    n – число сторон правильного многоугольника, который является основанием для правильной пирамиды
    a – длина стороны правильного многоугольника

    Некоторые свойства пирамиды

    1) Если все боковые ребра равны, то

    около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

    боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

    Верно и обратное.

    Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

    Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

    2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

    Верно и обратное.

    Найти площадь поверхности через:

    Периметр основания (P): Площадь основания (Sосн): Апофема (L): Сторона основания (a): Число сторон основания (n): Высота пирамиды (h):

    Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

    Площадь поверхности правильной пирамиды формула:
    , где P – периметр основания, Sосн – площадь основания, L – апофема (перпендикуляр, из вершины на ребро основания)

    Виды пирамид

    Существуют 3 вида пирамид:

    1. Прямоугольная — та, у которой какое-либо ребро образует прямой угол с основанием.
    2. Правильная — у нее основание – правильная геометрическая фигура, а вершина самого многоугольника является проекцией центра основания.
    3. Тетраэдр — пирамида, составленная из треугольников. Причем каждый из них может быть принят за основание.

    Объем пирамиды

    Так же, как и площадь, объем шестиугольной правильной пирамиды является важным ее свойством. Этот объем рассчитывается по общей формуле для всех пирамид и конусов. Запишем ее:

    V = 1/3*So*h.

    Здесь символом So названа площадь шестиугольного основания, то есть So = S6.

    Подставляя в формулу для V записанное выше выражение для S6, приходим к конечному равенству для определения объема пирамиды шестиугольной правильной:

    V = √3/2*a2 *h.

    Тетраэдры. Правильные тетраэдры

    Определение 5. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.

    Утверждение. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.

    Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, например, AC и BS. Обозначим буквой D середину ребра AC. Поскольку отрезки BD и SD являются медианами в равнобедренных треугольниках ABC и ASC, то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).

    Рис.4

    По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS, что и требовалось доказать.

    Определение 6. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).

    Рис.5

    Задача. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром a .

    Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC. Пусть точка Oоснование перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABCправильная пирамида, то точка O является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника ABC. Следовательно,

    где буквой D обозначена середина ребра AC (рис. 6).

    Рис.6

    Так как

    ,

    то

    .

    По теореме Пифагора из треугольника BSO находим

    .

    Ответ.

    Площадь правильной треугольной пирамиды

    Основание: равносторонний треугольник.

    L (апофема) – перпендикулярная линия, опущенная из вершины пирамиды на ребро основания. Т.е. апофема пирамиды является высотой (h) ее боковой грани.

    Правильная усеченная пирамида

    Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований.

    Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

    Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.

    • Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды
    • Все грани правильной усеченной пирамиды являются равнобокими (равнобедренными) трапециями

    Как быть при нахождении площади основания пирамиды?

    Оно может быть совершенно любой фигурой: от произвольного треугольника до n-угольника. И это основание, кроме различия в количестве углов, может являться правильной фигурой или неправильной. В интересующих школьников заданиях по ЕГЭ встречаются только задания с правильными фигурами в основании. Поэтому речь будет идти только о них.

    Правильный треугольник

    То есть равносторонний. Тот, у которого все стороны равны и обозначены буквой «а». В этом случае площадь основания пирамиды вычисляется по формуле:

    S = (а2 * √3) / 4.

    Квадрат

    Формула для вычисления его площади самая простая, здесь «а» – снова сторона:

    S = а2.

    Произвольный правильный n-угольник

    У стороны многоугольника то же обозначение. Для количества углов используется латинская буква n.

    S = (n * а2) / (4 * tg (180º/n)).

    Площадь правильной четырехугольной пирамиды

    Основание: квадрат.

    Смотрите также:

    1. Площадь круга – формулы, примеры расчетов
    2. Формулы площади поверхности геометрических фигур
    3. Площадь правильного шестиугольника – формула и расчет онлайн
    4. Площадь ромба – формула, пример расчет, как начертить
    Рейтинг
    ( Пока оценок нет )
    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

    Площадь Формула
    основание Sбок. = 2aL‘ data-original-value=’Sбок. = 2aL‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”3″ data-y=”3″ data-x=”1″ data-cell-id=”B3″>Sбок. = 2aL
    Sполн. = a2 + 2aL‘ data-original-value=’Sполн. = a2 + 2aL‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”5″ data-y=”5″ data-x=”1″ data-cell-id=”B5″>Sполн. = a2 + 2aL