Площадь параллелепипеда

Найти площадь параллелепипеда, зная ребра

Ребро параллелепипеда a

Ребро параллелепипеда b

Ребро параллелепипеда c

Формула нахождения полной площади параллелепипеда

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.

Общие понятия

Изучим основные понятия. В дальнейших наших рассуждениях площадь будем обозначать латинской буквой S, угол между сторонами a и b будем обозначать как (ab).

Параллелепипедом в математике именуется четырехугольная призма, у которой все грани являются параллелограммами.

1. Грань — одна из поверхностей пространственного тела.
2. Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
3. Поверхности параллелепипеда это сумма поверхностей всех его граней.
4. Прямоугольный параллелепипед — пространственное тело у которого гранями являются прямоугольники.
5. Прямоугольник — четырёхугольник у которого все углы прямые.
6. Куб — пространственное тело у которого гранями являются квадраты.
7. Квадрат — прямоугольник у которого все стороны равны между собой.
8. Равными называются фигуры, совмещающиеся при наложении.

Площадь поверхности куба

Здесь все крайне просто — грани этой фигуры равны между собой, так что S = a*a*6.

На примере это выглядит следующим образом:

Сторона равна 88 сантиметров. Площадь полной поверхности?

При данных условиях имеем:

S = a*a*6 = 88*88*6 = 46 464 сантиметра квадратного.

Пример задачи

Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.

Решение:
Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см².

Нахождение площадей фигур

Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.

1. Площадь квадрата равна произведению его стороны самой на себя. Формула площади квадрата имеет вид S = a*a = a^2.
2. Прямоугольника – вычисляется с помощью умножения большей его стороны (длины) на меньшую его сторону (ширину). Формула площади прямоугольника имеет вид S = a*b.
3. Параллелограмма – найти сложнее и имеется несколько различных способов. Наиболее часто в математике применяются формулы для нахождения с помощью стороны и опущенной на неё высоты или двух сторон и синуса угла между ними. Записываются они следующим образом: S = a*h, S = a*b*sin (ab).

Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур.

1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь.

• S = a*a, отсюда в искомом случае S = 1600*1600 = 2 560 000 метров квадратных.

2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S.

• S = a*b, следовательно в нашем варианте получится S = 90*200 = 18 000 метров квадратных.

3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения.

Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:

• S = a*h = 300*250 = 75 000 метров квадратных.

Второй вариант — стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:

• S = a*b*sin (ab) = 550*200*sin 30 = 110 000*0.5 = 55 000 квадратных метров.

Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.

Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.

Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.

Найти площадь поверхности параллелепипеда

Пример решения задачи

Приведенные формулы могут использоваться в ходе поиска диагоналей параллелепипеда.

Для нахождение B1D достаточно применить теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Формула вычисления площади

Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:

S = 2 (ab + bc + ac)

Формула получена следующим образом:

1. Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
   • два основания: со сторонами a и b
   • четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
2. Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).