- Найти площадь параллелепипеда, зная ребра
- Формула нахождения полной площади параллелепипеда
- Общие понятия
- Площадь поверхности куба
- Пример задачи
- Нахождение площадей фигур
- Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
- Найти площадь поверхности параллелепипеда
- Пример решения задачи
- Формула вычисления площади
- Заключение
Найти площадь параллелепипеда, зная ребра

Формула нахождения полной площади параллелепипеда
Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.
Общие понятия
Изучим основные понятия. В дальнейших наших рассуждениях площадь будем обозначать латинской буквой S, угол между сторонами a и b будем обозначать как (ab).
Параллелепипедом в математике именуется четырехугольная призма, у которой все грани являются параллелограммами.
- Грань — одна из поверхностей пространственного тела.
- Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
- Поверхности параллелепипеда это сумма поверхностей всех его граней.
- Прямоугольный параллелепипед — пространственное тело у которого гранями являются прямоугольники.
- Прямоугольник — четырёхугольник у которого все углы прямые.
- Куб — пространственное тело у которого гранями являются квадраты.
- Квадрат — прямоугольник у которого все стороны равны между собой.
- Равными называются фигуры, совмещающиеся при наложении.
Площадь поверхности куба
Здесь все крайне просто — грани этой фигуры равны между собой, так что S = a*a*6.
На примере это выглядит следующим образом:
Сторона равна 88 сантиметров. Площадь полной поверхности?
При данных условиях имеем:
S = a*a*6 = 88*88*6 = 46 464 сантиметра квадратного.
Пример задачи
Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.
Решение:
Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см2.
Нахождение площадей фигур
Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.
- Площадь квадрата равна произведению его стороны самой на себя. Формула площади квадрата имеет вид S = a*a = a^2.
- Прямоугольника – вычисляется с помощью умножения большей его стороны (длины) на меньшую его сторону (ширину). Формула площади прямоугольника имеет вид S = a*b.
- Параллелограмма – найти сложнее и имеется несколько различных способов. Наиболее часто в математике применяются формулы для нахождения с помощью стороны и опущенной на неё высоты или двух сторон и синуса угла между ними. Записываются они следующим образом: S = a*h, S = a*b*sin (ab).
Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур.
1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь.
- S = a*a, отсюда в искомом случае S = 1600*1600 = 2 560 000 метров квадратных.
2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S.
- S = a*b, следовательно в нашем варианте получится S = 90*200 = 18 000 метров квадратных.
3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения.
Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:
- S = a*h = 300*250 = 75 000 метров квадратных.
Второй вариант — стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:
- S = a*b*sin (ab) = 550*200*sin 30 = 110 000*0.5 = 55 000 квадратных метров.
Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.
Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.
Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.
Найти площадь поверхности параллелепипеда
Параллелепипед – это призма, основанием которой служит параллелограмм. В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны. Диагонали его пересекаются в одной точке, которая лежит на оси симметрий, и делятся ею пополам.
Виды параллелепипедов:
- Прямой параллелепипед – параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны к основаниям.
- Наклонный параллелепипед – параллелепипед, боковые рёбра которого не перпендикулярны к основаниям.
- Прямоугольный – прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники.
Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей её боковых поверхностей и площади основания:
S = 2 cdot (a cdot b + b cdot c + a cdot c)
- Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его стороны равны 2, 3, 4 см
Посмотреть решениеДано:
a = 2 см
b = 3 см
c = 4 см
Решение:
По формуле площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:
S = 2 cdot ( a cdot b + a cdot c + b cdot c)
S = 2 cdot ( 2 cdot 3 + 2 cdot 4 + 3 cdot 4) = 52 см^2
Ответ:
S = 52 см^2
- Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если площадь основания равна 18 см, сторона при основании равна 3 см, а боковая сторона — 5 см.
Посмотреть решениеДано:
S = 18 см^2
a = 3 см
c = 5 см
Решение:
S = a cdot b
Находим сторону b:
b = frac{s}{a} = 6 см
Находим площадь:
S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)
S = 2 cdot (3 cdot 6 + 3 cdot 5 + 5 cdot 6)
Ответ:
S = 126 см^2
- Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если площадь боковой стороны равна 30 см, а стороны при основании равны 1 см и 2 см.
Посмотреть решениеДано:
S = 18 см^2
a = 1 см
b = 2 см
Решение:
Находим сторону c:
S = 2 cdot c cdot (a + b) , отсюда: c = frac{S}{ 2 cdot (a + b) } = 3 см
По формуле площади поверхности прямоугольного параллелепипеда находим площадь:
Находим площадь:
S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)
S = 2 cdot (1 cdot 2 + 1 cdot 3 + 2 cdot 3) = 22 см^2
Ответ:
S = 22 см^2
- Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его объём равен 20 см², а стороны при основании равны по 2 см.
Посмотреть решениеДано:
V = 20 см^2
a = 2 см
b = 2 см
Решение:
Найдем сторону c: V = a cdot b cdot c , отсюда: c = frac{V}{(a cdot b )} = 5 см $
Находим площадь:
S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)
S = 2 cdot (2 cdot 2 + 2 cdot 5 + 2 cdot 5) = 48 см^2
Ответ:
S = 48 см^2
- Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна 6 см, а стороны при основании равны 2 и 4 см.
Посмотреть решениеДано:
d = 6 см
a = 2 см b = 4 см
Решение:
Находим сторону c:
d^2 = a^2 cdot b^2 cdot c^2 , отсюда:
c = sqrt{ (d^2 – a^2 – b^2) } = sqrt{16} = 4 см
По формуле для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда находим площадь:
S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)
S = 2 cdot (2 cdot 4 + 2 cdot 4 + 4 cdot 4) = 64 см^2
Ответ S = 64 см^2
Пример решения задачи
Приведенные формулы могут использоваться в ходе поиска диагоналей параллелепипеда.
Для нахождение B1D достаточно применить теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Формула вычисления площади
Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:
S = 2 (ab + bc + ac)
Формула получена следующим образом:
- Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
- два основания: со сторонами a и b
- четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
- Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).
Заключение
Тщательно изучив все сказанное выше, можно отметить, что никакой особой сложности задача по определению площади параллелепипеда не вызывает. Нужно всего-навсего чётко представлять все данные в материале математические понятия, абсолютно точно выучить формулы, ну и, разумеется, уметь хорошо проводить арифметические действия.
- https://geleot.ru/education/math/geometry/area/parallelepiped
- https://karate-ege.ru/matematika/ploshhad-parallelepipeda.html
- https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/polnaya-ploshhad-poverhnosti-pryamougolnogo-parallelepipeda
- https://MicroExcel.ru/ploshhad-pryamougolnogo-parallelepipeda/
- https://algebra24.ru/najti-ploshhad-poverhnosti-parallelepipeda