Площадь параллелепипеда

Найти площадь параллелепипеда, зная ребра

Сообщить об ошибке

Формула нахождения полной площади параллелепипеда

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.

Общие понятия

Изучим основные понятия. В дальнейших наших рассуждениях площадь будем обозначать латинской буквой S, угол между сторонами a и b будем обозначать как (ab).

Параллелепипедом в математике именуется четырехугольная призма, у которой все грани являются параллелограммами.

  1. Грань — одна из поверхностей пространственного тела.
  2. Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
  3. Поверхности параллелепипеда это сумма поверхностей всех его граней.
  4. Прямоугольный параллелепипед — пространственное тело у которого гранями являются прямоугольники.
  5. Прямоугольник — четырёхугольник у которого все углы прямые.
  6. Куб — пространственное тело у которого гранями являются квадраты.
  7. Квадрат — прямоугольник у которого все стороны равны между собой.
  8. Равными называются фигуры, совмещающиеся при наложении.

Площадь поверхности куба

Здесь все крайне просто — грани этой фигуры равны между собой, так что S = a*a*6.

На примере это выглядит следующим образом:

Сторона равна 88 сантиметров. Площадь полной поверхности?

При данных условиях имеем:

S = a*a*6 = 88*88*6 = 46 464 сантиметра квадратного.

Пример задачи

Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.

Решение:
Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см2.

Нахождение площадей фигур

Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.

  1. Площадь квадрата равна произведению его стороны самой на себя. Формула площади квадрата имеет вид S = a*a = a^2.
  2. Прямоугольника – вычисляется с помощью умножения большей его стороны (длины) на меньшую его сторону (ширину). Формула площади прямоугольника имеет вид S = a*b.
  3. Параллелограмма – найти сложнее и имеется несколько различных способов. Наиболее часто в математике применяются формулы для нахождения с помощью стороны и опущенной на неё высоты или двух сторон и синуса угла между ними. Записываются они следующим образом: S = a*h, S = a*b*sin (ab).

Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур.

1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь.

  • S = a*a, отсюда в искомом случае S = 1600*1600 = 2 560 000 метров квадратных.

2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S.

  • S = a*b, следовательно в нашем варианте получится S = 90*200 = 18 000 метров квадратных.

3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения.

Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:

  • S = a*h = 300*250 = 75 000 метров квадратных.

Второй вариант — стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:

  • S = a*b*sin (ab) = 550*200*sin 30 = 110 000*0.5 = 55 000 квадратных метров.

Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.

Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.

Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.

Найти площадь поверхности параллелепипеда

Параллелепипед – это призма, основанием которой служит параллелограмм. В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны. Диагонали его пересекаются в одной точке, которая лежит на оси симметрий, и делятся ею пополам.

Виды параллелепипедов:

  • Прямой параллелепипед – параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны к основаниям.
  • Наклонный параллелепипед – параллелепипед, боковые рёбра которого не перпендикулярны к основаниям.
  • Прямоугольный – прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники.

Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей её боковых поверхностей и площади основания:

S = 2 cdot (a cdot b + b cdot c + a cdot c)

Примеры решений
  1. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его стороны равны 2, 3, 4 см
    Посмотреть решение

    Дано:

     a = 2 см

     b = 3 см

     c = 4 см

    Решение:

    По формуле площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:

     S = 2 cdot ( a cdot b + a cdot c + b cdot c)

    S = 2 cdot ( 2 cdot 3 + 2 cdot 4 + 3 cdot 4) = 52 см^2

    Ответ:

     S = 52 см^2

  2. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если площадь основания равна 18 см, сторона при основании равна 3 см, а боковая сторона — 5 см.
    Посмотреть решение

    Дано:

     S = 18 см^2

     a = 3 см

     c = 5 см

    Решение:

     S = a cdot b

    Находим сторону b:

     b = frac{s}{a} = 6 см

    Находим площадь:

     S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)

     S = 2 cdot (3 cdot 6 + 3 cdot 5 + 5 cdot 6)

    Ответ:

     S = 126 см^2

  3. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если площадь боковой стороны равна 30 см, а стороны при основании равны 1 см и 2 см.
    Посмотреть решение

    Дано:

     S = 18 см^2

    a = 1 см

     b = 2 см

    Решение:

    Находим сторону c:

    S = 2 cdot c cdot (a + b)  , отсюда:  c = frac{S}{ 2 cdot (a + b) } = 3 см 

    По формуле площади поверхности прямоугольного параллелепипеда находим площадь:

    Находим площадь:

     S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)

     S = 2 cdot (1 cdot 2 + 1 cdot 3 + 2 cdot 3) = 22 см^2

    Ответ:

     S = 22 см^2

  4. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его объём равен 20 см², а стороны при основании равны по 2 см.
    Посмотреть решение

    Дано:

     V = 20 см^2

    a = 2 см

     b = 2 см

    Решение:

    Найдем сторону c: V = a cdot b cdot c  , отсюда:  c = frac{V}{(a cdot b )} = 5 см $

    Находим площадь:

     S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)

     S = 2 cdot (2 cdot 2 + 2 cdot 5 + 2 cdot 5) = 48 см^2

    Ответ:

     S = 48 см^2

  5. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна 6 см, а стороны при основании равны 2 и 4 см.
    Посмотреть решение

    Дано:

     d = 6 см

     a = 2 см  b = 4 см

    Решение:

    Находим сторону c:

     d^2 = a^2 cdot b^2 cdot c^2  , отсюда:

     c = sqrt{ (d^2 – a^2 – b^2) } = sqrt{16} = 4 см

    По формуле для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда находим площадь:

     S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)

     S = 2 cdot (2 cdot 4 + 2 cdot 4 + 4 cdot 4) = 64 см^2

    Ответ S = 64 см^2

Пример решения задачи

Приведенные формулы могут использоваться в ходе поиска диагоналей параллелепипеда.

Для нахождение B1D достаточно применить теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Формула вычисления площади

Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:

S = 2 (ab + bc + ac)

Формула получена следующим образом:

  1. Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
    • два основания: со сторонами a и b
    • четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
  2. Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).

Заключение

Тщательно изучив все сказанное выше, можно отметить, что никакой особой сложности задача по определению площади параллелепипеда не вызывает. Нужно всего-навсего чётко представлять все данные в материале математические понятия, абсолютно точно выучить формулы, ну и, разумеется, уметь хорошо проводить арифметические действия.

Источники


  • https://geleot.ru/education/math/geometry/area/parallelepiped
  • https://karate-ege.ru/matematika/ploshhad-parallelepipeda.html
  • https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/polnaya-ploshhad-poverhnosti-pryamougolnogo-parallelepipeda
  • https://MicroExcel.ru/ploshhad-pryamougolnogo-parallelepipeda/
  • https://algebra24.ru/najti-ploshhad-poverhnosti-parallelepipeda

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: