- Найти площадь поверхности:
- Сфера, вписанная в цилиндр
- Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту
- Через диаметр
- Основные утверждения
- Вместе с этой задачей также решают:
- Площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания и высоту
- Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
- Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере
- Решение
- Примеры задач
- Вписанный в шар цилиндр
Найти площадь поверхности:
Площадь поверхности шара формула:
Sш = 4 π R 2, где R – радиус шара, π – число пи
Площадь поверхности цилиндра формула:
Sц = 2 π R 2 + 2 π R . 2 R = 6 π R 2, где R – радиус цилиндра, π – число пи
Сфера, вписанная в цилиндр
Определение 2.Сферой, вписанной в цилиндр, называют такую сферу, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра, а каждая образующая цилиндра является касательной к сфере (рис. 3).


Рис.3
Определение 3. Если сфера вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около сферы.
Из рисунка 3 видно, что справедливы следующие два утверждения.
Утверждение 1. Около любой сферы можно описать цилиндр.
Утверждение 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру его основания.
Замечание. В том случае, когда в цилиндр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы равняется радиусу основания цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

{S = 2pi r h}
Формула для нахождения боковой поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:
{S = 2pi r h}, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.
Через диаметр
Как известно, диаметр шара равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь фигуры поверхности можно, используя такой вид формулы:
S = 4 π (d/2)2
Основные утверждения
- Поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга.
- Поверхность шарового сегмента равна площади круга, имеющего радиусом отрезок, проведённый от вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием.
- Цилиндр, описанный вокруг шара, имеет объём, равный трём вторым объёма шара, и площадь поверхности, равную трём вторым площади поверхности шара.
Вместе с этой задачей также решают:
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A,B, C,B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 6, AD = 6$ и $AA_1 = 8$.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A,B,C_1,B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 3 , AD = 5$ и $AA_1 = 4$.
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1800 см3 воды и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень жидкости поднялся с отметки 24 см до отметки 26 см.
Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 16. Точка E – середина ребра SB. Найдите объём пирамиды EABC.
Площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

{S = 2pi r (h+r)}
Формула для нахождения полной поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:
{S = 2pi r (h+r)}, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.
Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
Задача. Найти отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.
Решение. Если R – радиус шара, то объем шара вычисляется по формуле
У описанного около сферы цилиндра радиус основания равен R , а высота равна 2R . Поэтому объем цилиндра равен


Следовательно,
Ответ.
Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере
Определение 1. Прямую называют касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если эта прямая имеет со сферой единственную общую точку. Общую точку касательной прямой и сферы называют точкой касания (рис. 1).



Рис.1
Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта прямая проходит через точку касания и перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания.
Множество всех прямых, касающихся сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис.2).



Рис.2
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем только одну.
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем плоскость перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в эту точку.
Общую точку сферы и ее касательной плоскости называют точкой касания.
Решение
Из рисунка, указанного в условии, видно, что, с одной стороны, диаметр шара является диаметром окружности основания цилиндра, а с другой стороны, является высотой цилиндра. Пусть радиус шара равен R, тогда его диаметр равен 2R, значит, высота цилиндра H равна 2R. Находим площадь полной поверхности цилиндра: S полн. пов. цил. = 2S осн. цил. + S бок. пов. цил. = 2pi R^2 + 2pi RH.
2pi R^2 + 2pi RH = 2pi R^2 + 2pi Rcdot 2R = 6pi R^2. По условию 24 = 6pi R^2. Отсюда pi R^2 = 4. Так как S пов. шара = 4pi R^2, то искомая площадь равна 4cdot 4 = 16.
Примеры задач
Задание 1
Вычислите площадь поверхности шара, если его радиус составляет 7 см.
Решение:
Воспользуемся первой формулой (через радиус):
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (7 см)2 = 615,44 см2.
Задание 2
Площадь поверхности шара равна 200,96 см2. Найдите его диаметр.
Решение:
Выведем величину диаметра из соответствующей формулы расчета площади:
Вписанный в шар цилиндр
Рассмотрим комбинацию тел: шар и вписанный в шар цилиндр.
Цилиндр вписан в шар, если окружности его оснований лежат на поверхности шара. В этом случае говорят также, что шар описан вокруг цилиндра. Центр шара лежит на середине оси цилиндра.
Как и при решении задач на шар, вписанный в цилиндр, чаще всего рассматривают сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Это сечение представляет собой вписанный в окружность прямоугольник, стороны которого равны высоте конуса и диаметру его основания. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.
Рассмотрим пример такого осевого сечения. Здесь точка O — центр описанного около цилиндра шара, BD — диаметр шара, OD=R — радиус шара, AB=H — образующая и высота цилиндра, AD — диаметр цилиндра, FD=r — радиус цилиндра.
(как вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну дугу AD).
Треугольник AOD — равнобедренный (AO=OD=R), в нем OF=H/2 — высота, медиана и биссектриса.
Треугольник OFD — прямоугольный. По теореме Пифагора получаем соотношение, связывающее радиус шара с радиусом и высотой вписанного в шар цилиндра:
Это же соотношение можно получить из прямоугольного треугольника ABD: по теореме Пифагора
- https://www.calc.ru/ploshchad-poverkhnosti-shara-vpisannogo-v-tsilindr.html
- https://www.resolventa.ru/spr/stereometry/sphere_cilindr.htm
- https://mnogoformul.ru/ploshhad-poverkhnosti-cilindra
- https://MicroExcel.ru/ploshad-shara/
- https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E_%D1%88%D0%B0%D1%80%D0%B5_%D0%B8_%D1%86%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%B5
- https://examer.ru/ege_po_matematike/2020/zadanie_8/task/0sano
- https://academyege.ru/task/1073.html
- http://www.uznateshe.ru/vpisannyiy-v-shar-tsilindr/