Площадь поверхности шара вписанного в цилиндр

Найти площадь поверхности:

Площадь поверхности шара формула:
Sш = 4 π R ², где R – радиус шара, π – число пи

Площадь поверхности цилиндра формула:
Sц = 2 π R ² + 2 π R ^. 2 R = 6 π R ², где R – радиус цилиндра, π – число пи

Сфера, вписанная в цилиндр

Определение 2.Сферой, вписанной в цилиндр, называют такую сферу, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра, а каждая образующая цилиндра является касательной к сфере (рис. 3).

Рис.3

Определение 3. Если сфера вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около сферы.

Из рисунка 3 видно, что справедливы следующие два утверждения.

Утверждение 1. Около любой сферы можно описать цилиндр.

Утверждение 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру его основания.

Замечание. В том случае, когда в цилиндр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы равняется радиусу основания цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

{S = 2pi r h}

Формула для нахождения боковой поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:

{S = 2pi r h}, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

Через диаметр

Как известно, диаметр шара равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь фигуры поверхности можно, используя такой вид формулы:

S = 4 π (d/2)²

Основные утверждения

• Поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга.

• Поверхность шарового сегмента равна площади круга, имеющего радиусом отрезок, проведённый от вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием.

• Цилиндр, описанный вокруг шара, имеет объём, равный трём вторым объёма шара, и площадь поверхности, равную трём вторым площади поверхности шара.

Вместе с этой задачей также решают:

Площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

{S = 2pi r (h+r)}

Формула для нахождения полной поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:

{S = 2pi r (h+r)}, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар

Задача. Найти отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.

Решение. Если R – радиус шара, то объем шара вычисляется по формуле

У описанного около сферы цилиндра радиус основания равен R , а высота равна 2R . Поэтому объем цилиндра равен

Следовательно,

Ответ.

Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере

Определение 1. Прямую называют касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если эта прямая имеет со сферой единственную общую точку. Общую точку касательной прямой и сферы называют точкой касания (рис. 1).

Рис.1

Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта прямая проходит через точку касания и перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания.

Множество всех прямых, касающихся сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис.2).

Рис.2

Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем только одну.

Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем плоскость перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в эту точку.

Общую точку сферы и ее касательной плоскости называют точкой касания.

Решение

Примеры задач

Задание 1
Вычислите площадь поверхности шара, если его радиус составляет 7 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой (через радиус):
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (7 см)² = 615,44 см².

Задание 2
Площадь поверхности шара равна 200,96 см². Найдите его диаметр.

Решение:
Выведем величину диаметра из соответствующей формулы расчета площади:

Вписанный в шар цилиндр