Площадь ромба – формула, пример расчет, как начертить

Через диагонали

Диагональ ромба d1 Диагональ ромба d2 Результат

Признаки ромба

Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):

АВ = ВС = СD = AD

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:

ACBD

3. Одна из диагоналей (биссектриса) делит содержащие её углы пополам:

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны:

BN = DL = BM = DK

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Если в параллелограмм можно вписать круг.

Свойства ромба

На рисунке выше ( ABCD ) – ромб, ( AC = DB = CD = AD ) . Так как ромб – это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма, но так же есть свойства присущие только ромбу.

В любой ромб можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей. Радиус окружности равен половине высоты ромба:

Формула вычисления площади

1. По длине стороны и высоте:

Площадь ромба (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:

S = a*h

2. По длине стороны и углу

Площадь ромба равняется произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами:

S = a2*sin α

3. По длинам диагоналей

Площадь ромба равна одной второй произведения его диагоналей.

S = 1/2 * d1 * d2

Основные свойства ромба

1. Имеет все свойства параллелограмма
2. Диагонали перпендикулярны:

ACBD

3. Диагонали являются биссектрисами его углов:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:

AC2 + BD2 = 4AB2

5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.
6. В любой ромб можно вписать окружность.
7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь ромба, если длина его стороны равна 10 см, а высота, проведенная к ней – 8 см.

Решение:
Используем первую формулу, рассмотренную выше: S = 10 см * 8 см = 80 см2.

Задание 2
Найдите площадь ромба, сторона которого равняется 6 см, а острый угол – 30°.

Решение:
Применим вторую формулу, в которой используются известные по условиям задания величины: S = (6 см)2 * sin 30° = 36 см2 * 1/2 = 18 см2.

Задание 3
Найдите площадь ромба, если его диагоналей равны 4 и 8 см, соответственно.

Решение:
Воспользуемся третьей формулой, в которой используются длины диагоналей: S = 1/2 * 4 см * 8 см = 16 см2.

Через основание и высоту

Высоты ромба h Сторона ромба а

Площади фигур

Расчет площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, ромба, круга (площадь фигур). Площади фигур

Площадь ромба по углу и противолежащей диагонали

… подготовка …
d – диагональ
α° – угол между сторонами

Площадь ромба по углу и диагонали проведенной из этого угла

 

d – диагональ
α° – угол между сторонами

Способ расчета площади ромба

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба: ,
где a – стороны, h – высота

Формула площади ромба через две стороны и угол между ними

S=a2sin(α)S=a^2cdotsin(alpha)

aa

— сторона ромба;

alpha

— любой угол ромба.

Пример

Найти площадь ромба, если каждая из его сторон равна 10 см, а угол между двумя смежными сторонами равен 30 градусам.

Решение

a=10a=10


α=30alpha=30^{circ}

По формуле получаем:

S=a2sin(α)=100sin(30)=50S=a^2cdotsin(alpha)=100cdotsin(30^{circ})=50

(см. кв.)

Ответ: 50 см. кв.

Формула площади ромба через угол и радиус вписанной окружности

{S= dfrac{4r^2}{sin(alpha)}}

Формула площади ромба через сторону и угол

{S= a^2 cdot sin(alpha)}

Таблица с формулами площади ромба

В зависимости от известных исходных данных, площадь ромба можно вычислить по различным формулам.

исходные данные
(активная ссылка для перехода к калькулятору)
эскиз формула
1 сторона и высота
2 диагонали
3 диагональ и угол между сторонами
4 диагональ и угол между сторонами
5 сторона и угол между сторонами
6 радиус вписанной окружности и угол между сторонами
7 сторона и радиус вписанной окружности

Периметр ромба

Определение.

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.
Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a

Формула площади ромба по стороне и высоте

Пусть нам дан ромб со стороной

aa

и высотой

hh

, проведенной к этой стороне. Так как ромб это параллелограмм, то его площадь мы находим так же, как и площадь параллелограмма.

S=ahS=acdot h

— сторона;

— высота, опущенная на сторону

aa

.

Решим простой пример.

Пример

Сторона ромба равна 5 (см.). Высота, опущенная к этой стороне, имеет длину 2 (см.). Найти площадь ромба

SS

.

Решение

a=5a=5


h=2h=2

Пользуемся нашей формулой и вычисляем:

S=ah=52=10S=acdot h=5cdot 2=10

(см. кв.)

Ответ: 10 см. кв.

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:
r = h
2
2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:
r = S
2a
3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:
r = S · sinα
2
4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:
r = a · sinα
2
r = a · sinβ
2
5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:
r = d1 · sin(α/2)
2
r = d2 · sin(β/2)
2
6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:
r = d1 · d2
2√d12 + d22
7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:
r = d1 · d2
4a

Источники


  • https://allcalc.ru/node/22
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/rhombus/
  • https://calcsbox.com/post/formula-plosadi-romba.html
  • https://MicroExcel.ru/ploshhad-romba/
  • https://www.calc.ru/Ploshchadi-Figur-Ploshchad-Romba.html
  • https://doza.pro/art/math/geometry/area-rhombus
  • https://www.calc.ru/ploshchad-romba.html
  • https://studwork.org/spravochnik/matematika/ploshchad/ploshchad-romba
  • https://mnogoformul.ru/formuly-ploshhadi-romba

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 1 из 5 )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: