Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба. Как рассчитать площадь ромба

Содержание

Через диагонали
Признаки ромба
Свойства ромба
Формула вычисления площади
Основные свойства ромба
Примеры задач
Через основание и высоту
Площади фигур
Площадь ромба по углу и противолежащей диагонали
Площадь ромба по углу и диагонали проведенной из этого угла
Способ расчета площади ромба
Формула площади ромба через две стороны и угол между ними
Формула площади ромба через угол и радиус вписанной окружности
Формула площади ромба через сторону и угол
Таблица с формулами площади ромба
Периметр ромба
Формула определения длины периметра ромба:
Формула площади ромба по стороне и высоте
Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

Через диагонали

Диагональ ромба d₁ Диагональ ромба d₂ Результат

Признаки ромба

Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):

АВ = ВС = СD = AD

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:

AC┴BD

3. Одна из диагоналей (биссектриса) делит содержащие её углы пополам:

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны:

BN = DL = BM = DK

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Если в параллелограмм можно вписать круг.

Свойства ромба

На рисунке выше ( ABCD ) – ромб, ( AC = DB = CD = AD ) . Так как ромб – это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма, но так же есть свойства присущие только ромбу.

В любой ромб можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей. Радиус окружности равен половине высоты ромба:

Формула вычисления площади

1. По длине стороны и высоте:

Площадь ромба (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:

S = a*h

2. По длине стороны и углу

Площадь ромба равняется произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами:

S = a²*sin α

3. По длинам диагоналей

Площадь ромба равна одной второй произведения его диагоналей.

S = 1/2 * d₁ * d₂

Основные свойства ромба

1. Имеет все свойства параллелограмма

2. Диагонали перпендикулярны:

AC┴BD

3. Диагонали являются биссектрисами его углов:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:

AC² + BD² = 4AB²

5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.

6. В любой ромб можно вписать окружность.

7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь ромба, если длина его стороны равна 10 см, а высота, проведенная к ней – 8 см.

Решение:
Используем первую формулу, рассмотренную выше: S = 10 см * 8 см = 80 см².

Задание 2
Найдите площадь ромба, сторона которого равняется 6 см, а острый угол – 30°.

Решение:
Применим вторую формулу, в которой используются известные по условиям задания величины: S = (6 см)² * sin 30° = 36 см² * 1/2 = 18 см².

Задание 3
Найдите площадь ромба, если его диагоналей равны 4 и 8 см, соответственно.

Решение:
Воспользуемся третьей формулой, в которой используются длины диагоналей: S = 1/2 * 4 см * 8 см = 16 см².

Через основание и высоту

Высоты ромба h Сторона ромба а

Площади фигур

Расчет площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, ромба, круга (площадь фигур). Площади фигур

Площадь ромба по углу и противолежащей диагонали

… подготовка …

d – диагональ

α° – угол между сторонами

Площадь ромба по углу и диагонали проведенной из этого угла

d – диагональ

α° – угол между сторонами

Способ расчета площади ромба

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба: ,
где a – стороны, h – высота

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба: ,
где d1, d2 – диагонали

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба: ,
где a – сторона, α – угол между сторонами

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба:
где r – радиус вписанной окружности, α – угол между сторонами

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба: ,
где r – радиус вписанной окружности, a – сторона

Формула площади ромба через две стороны и угол между ними

$S=a^2cdotsin(alpha)$

a

$a$ — сторона ромба;

alpha

— любой угол ромба.

Пример

Найти площадь ромба, если каждая из его сторон равна 10 см, а угол между двумя смежными сторонами равен 30 градусам.

Решение

a=10

$a = 10$

alpha=30^{circ}

$α = 3 0^{\circ}$

По формуле получаем:

S=a^2cdotsin(alpha)=100cdotsin(30^{circ})=50

$S = a^{2} \cdot sin (α) = 100 \cdot sin (3 0^{\circ}) = 50$ (см. кв.)

Ответ: 50 см. кв.

Формула площади ромба через угол и радиус вписанной окружности

{S= dfrac{4r^2}{sin(alpha)}}

Формула площади ромба через сторону и угол

{S= a^2 cdot sin(alpha)}

Таблица с формулами площади ромба

В зависимости от известных исходных данных, площадь ромба можно вычислить по различным формулам.

	исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору)	эскиз	формула
1	сторона и высота
2	диагонали
3	диагональ и угол между сторонами
4	диагональ и угол между сторонами
5	сторона и угол между сторонами
6	радиус вписанной окружности и угол между сторонами
7	сторона и радиус вписанной окружности