Примеры интегрирования по частям логарифма и обратных тригонометрических функций

Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций

1. Интегралы вида sinnxdx, cosnxdx, n>0
a) Если n нечётное, то одну степень sinx (либо cosx) следует внести под знак дифференциала, а от оставшейся чётной степени следует перейти к противоположной функции.
б) Если n чётное, то пользуемся формулами понижения степени
2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x.
2. Интегралы вида tgnxdx, ctgnxdx, где n – целое.
Необходимо использовать формулы

3. Интегралы вида sinnx·cosmx dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x, если n – нечётное либо t=cos x, если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени
2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x.
4. Интегралы вида
3. Интегралы вида sinnx·cosmx dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x, если n – нечётное либо t=cos x, если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени
2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x.
4. Интегралы вида

Если числа m и n одинаковой чётности, то используем подстановку t=tg x. Часто бывает удобным применить приём тригонометрической единицы.
5. sin(nx)·cos(mx)dx, cos(mx)·cos(nx)dx, sin(mx)·sin(nx)dx

Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму:

  • sin α·cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
  • cos α·cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
  • sin α·sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))
С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять интегралы по частям. Решение сохраняется в формате Word. Также рекомендуется ознакомиться с возможностью нахождения интегралов онлайн.

Примеры
1. Вычислить интеграл cos4x·sin3xdx.
Делаем замену cos(x)=t. Тогда cos4x·sin3xdx =
2. Вычислить интеграл .
Делая замену sin x=t, получаем

3. Найти интеграл .
Делаем замену tg(x)=t. Подставляя, получаем



Заметим, что замена ctg(x)=t здесь удобнее, так как тогда , , и поэтому

Основные тригонометрические формулы

Ниже приведены некоторые тригонометрические формулы, которые могут понадобится при интегрировании тригонометрических функций.

sin2 a + cos2 a = 1

sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b
cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2 a – sin2 a = 2 cos2 a – 1 = 1 – 2 sin2 a

Примеры интегрирования тангенса и котангенса

Пример 1. Найти интеграл от тангенса tan(4*x).
Вычисления: Применяем приведенную выше методику для интегрирования тангенса

Здесь в скобках мы сначала вычисляем дифференциал от косинуса, а дальше выделяем значение, которое нам нужно достать. Далее интегрирования сводим к логарифму.
Таким образом можем записать обобщенную формулу для интегралаtan(k*x)
Int(tan(k*x),x)=-1/k*(log(cos(x)).

По этой формуле интеграл от тангенса двойного угла равен логарифму косинуса двойного угла умноженному на -0,5.
Для тангенса половины угла tan (phi / 2) интеграл равен -2 умножить на логарифм косинуса половины угла
По индукции получим формулу интеграла для тангенса одной третьей угла tan(phi/3)

Пример 2. Проинтегрировать котангенс двойного угла
Вычисления: По аналогии с формулами для тангенса мы могли бы выписать готовую формулу, но лучше выполнить промежуточные переходы чтобы Вы лучше поняли и заучили методику внесения под дифференциал

Таким образом, если имеем котангенс тройного угла то перед интегралом получим множителем 1/3
Интегралы от котангенса половины и трети угла будут иметь множителями перед логарифмом соответственно двойку и тройку
При нахождении первоначальной от тангенса и котангенса следует справа добавить постоянную
Зная данную методику, Вы знаете как найти интеграл от тангенса, аргумент которого содержит множителем произвольное число.
Вычисления определенных интегралов от тангенса и котангенса в данной статье рассматривать не будем. Если Вы вычисляли такие интегралы от простых функций то, зная синусы и косинусы углов найти определенный интеграл от тангенса или котангенса сможете без проблем.

Вычисление площадей отдельных трапеций

Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце “E” будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций. Полусумма оснований – это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца “D”. Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31мин — 17ч30мин = 0ч1мин = 1мин).

Получаем формулу в ячейке “E3”: =1/2*(D3+D2)*1. Понятно, что “×1” в этой формуле можно не писать. И аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца “Е” посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.

Вычисление площадей прямоугольных трапеций за каждый промежуток времени

Если бы данные шли не через 1 минуту, то нам нужно было бы написать формулу так:
=1/2*(D3+D2)*(МИНУТЫ(A3) – МИНУТЫ(A2)).
Правда при этом, если есть переход на следующий час, то получится отрицательное значение. Чтобы этого не произошло, впишем в формулу часы:
=1/2*(D3+D2)*(ЧАС(A3)*60+МИНУТЫ(A3)) – (ЧАС(A2)*60+МИНУТЫ(A2)).
Если переходим на следующие сутки, то нужно будет уже добавлять даты, и т.д.

Теория.

Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.

Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.

Площадь под кривой y = f (x) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y=f (x). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x1 до xn – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.

Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.

Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.

Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.

Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.

Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.

1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!

2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!

Стандартные подстановки при интегрировании тригонометрических функций

Здесь мы рассмотрим стандартные подстановки, с помощью которых, в большинстве случаев, выполняется интегрирование тригонометрических функций.

Применение знаний, формирование умений и навыков

Практическое задание «Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.»

Состав задания:

  1. Ознакомиться с теоретической частью задания;
  2. Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
  3. Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
    – постановку задачи;
    – алгоритм расчета;
    – таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
    – результат расчета и его анализ.

Индивидуальное расчетное задание:

  1. Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x)= 1/(1+x4)1/2 на отрезке [0; 4]
    по формуле трапеций, разбивая отрезок [0; 4] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка.
  2. Представьте графически поставленную задачу.

Постановка задачи:

Дано: f(x)= 1/(1+x4)1/2 на отрезке [0; 4]

Найти: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций, приняв предельное значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,02.

Таблица Исходная информация

Отрезок [a;b]

Функция f(x)

a

b

Аналитическая запись

Представление в Excel

0

4

1/(1+x4)1/2

=СТЕПЕНЬ((1+СТЕПЕНЬ(B16;4));-1/2)

Анализ заданной функции и результаты вычислений в Ms Excel

Расчет площади

xi

f(xi)

Коэффициенты формулы трапеций

Вычисление Ci*f(xi)

N=2

N=4

N=8

N=2

N=4

N=8

0

1,000

0,5

0,5

0,5

0,500

0,500

0,500

0,5

0,970

0

0

1

0,000

0,000

0,970

1

0,707

0

1

1

0,000

0,707

0,707

1,5

0,406

0

1

0,000

0,000

0,406

2

0,243

1

1

1

0,243

0,243

0,243

2,5

0,158

0

0

1

0,000

0,000

0,158

3

0,110

0

1

1

0,000

0,110

0,110

3,5

0,081

0

0

1

0,000

0,000

0,081

4

0,062

0,5

0,5

0,5

0,031

0,031

0,031

Сумма

0,774

1,591

3,207

Значения интеграла

Количество узлов

N=2

N=4

N=8

S

1,55кв.мм

1,59кв.мм

1,60кв.мм

Погрешность

0,028

0,008

Ответ: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций равна 1,60кв.мм, значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,008.

Задания для индивидуальной работы студентов по вариантам:

Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x) на отрезке [a; b] (см. таблицу ) по формуле трапеций, разбивая отрезок [a; b] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка.

Представьте графически поставленную задачу.

N

отрезок [a; b]

Функция f(x)

1

1/(1+x²)1/2

2

5x4+2x²-х

3

ех/(х+5) + x³/(х+4)

4

(4+x³)1/2

5

1/(5x4+2x²+2)

6

[10; 18]

4/(1+x4)1/2)1/2

7

6/(1+x²)1/2

8

5x4+2x²-х

9

5/(1+x4)1/2)1/2

10

12/(5x²+x+6)

11

е1/(х+5) + 1/(х+4)

12

(х+x5)1/2

13

1/(1+x4)1/2

14

2+(х/(1+x4)1/2)

На сегодняшнем занятии мы отработали навыки вычисления определенных интегралов методом трапеции в среде электронных таблиц MS Excel. Выработали умения применять теоретические знания в практических расчетах.

Распространенные примеры интегрирования косинуса

Пример 1. Найти интеграл от cos(5*x).
Решение: По формуле интегрируем косинус

Пример 2. Вычислить интеграл от cos(7*x).
Решение: Выполняем интегрирование

Пример 3. Проинтегрировать выражение cos (11*x).
Решение: Вычисляем неопределенный интеграл

Пример 4. Найти интеграл функции y= cos (x/5).
Решение: Записываем неопределенный интеграл

Пример 5. Найти интеграл функции y= cos (x/6).
Решение: Проинтегрируем по приведенной выше формуле
Как только Вы освоите методику интегрирования на простых примерах, смело можете переходить к определенным интегралам и первообразным. Для отискания определенного интеграла проводим интегрирование, а дальше подставляем пределы интегрирования и находим изменение первообразной функции.

Пример 6. Проинтегрировать косинус двойного угла y = cos (2 * x) от 0 до 45 градусов.
Решение: Находим указанный интеграл от косинуса

Пример 7. Найти интеграл от косинуса y = cos (x) от 0 до 60 градусов.
Решение: Вычисляем интеграл и подставляем пределы интегрирования

Пример 8. Найти первоначальную от cos (x), которая при 30 градусах равна 1.
Решение: Находим первоначальную
С наложенного условия на первоначальную вычисляем постоянную
sin(Pi/6)+C=1; C=1-
sin(Pi/6)=1-0,5=0,5.

Подставляем полученную постоянную в уравнение
На этом задача решена. На таких простых примерах Вы четко должны знать, чему равный интеграл от косинуса.
Далее полученные знания можно применять для вычисления площадей криволинейных трапеций. Это достаточно абстрактное понятие, но с помощью интегрирования находить площадь фигур достаточно просто и быстро. Следует только помнить, что площадь всегда принимает положительное значение, в то время как определенный интеграл может принимать отрицательное значение.
Например вычислим площадь и интеграл от косинуса, если переменная принадлежит интервалу от 0 до 2*Pi.
По физическому содержанию площадь равна заштрихованным поверхностям.
Находим определенный интеграл в указанных пределах
Он равен нулю. Что касается площади, то сначала следует найти точки пересечения с осью абсцисс на этом интервале
Таким образом площадь необходимо искать на трех промежутках
Ось абсцисс можем записать функцией y = 0. Таким образом на первом промежутке площадь равна интегралу от косинуса,
на втором 0-cos (x) = – cos (x) от минус косинуса и на третьем от косинуса. Все при вычислении площади зависит от того, какая функция принимает большее значение по оси ординат (Oy). Вычисляем площадь интегрированием в указаных пределах
Таким образом искомая площадь равна 4. Если иметь график функции перед глазами, то данное значение можно получить как 4 площади косинус функции, которые периодически повторяются
На этом знакомство с интегрированием косинуса завершается. Приведенная методика интегрирования позволяет вычислить 80% основных задач на интегрирование косинуса. Остальные 20% Вы научитесь после изучения способов нахождения интегралов от функций вида
Мы научим Вас, какие свертки и замены переменных следует использовать, в каких случаях целесообразно интегрировать по частям.
Интегралы от других тригонометрических и обратных к ним функций Вы найдете в категории “Интегрирование функций“.

Интегрирование обратных тригонометрических функций

Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции
arcsin φ, arctg φ, и т.д., где φ – некоторая алгебраическая функция от x, нередко интегрируются по частям, полагая u = arcsin φ, u = arctg φ, и т.д.

Общий подход

Вначале, если это необходимо, подынтегральное выражение нужно преобразовать, чтобы тригонометрические функции зависели от одного аргумента, который совпадал бы с переменной интегрирования.

Например, если подынтегральное выражение зависит от sin(x+a) и cos(x+b), то следует выполнить преобразование:
cos (x+b) = cos (x+a – (a–b) ) = cos (x+a) cos (b–a) + sin ( x+a ) sin (b–a).
После чего сделать замену z = x+a. В результате, тригонометрические функции будут зависеть только от переменной интегрирования z.

Когда тригонометрические функции зависят от одного аргумента, совпадающим с переменной интегрирования (допустим это z), то есть подынтегральное выражение состоит только из функций типа sin z, cos z, tg z, ctg z, то нужно сделать подстановку
.
Такая подстановка приводит к интегрированию рациональных или иррациональных функций (если есть корни) и позволяет вычислить интеграл, если он интегрируется в элементарных функциях.

Однако, часто можно найти другие методы, которые позволяют вычислить интеграл более коротким способом, основываясь на специфике подынтегрального выражения. Ниже дано изложение основных таких методов.

Методика вычисленияопределённого интеграла

Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом – методом трапеций. Напомню, площадь фигуры под графиком любой кривой можно разделить на прямоугольные трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым значением определённого интеграла.

Площадь трапеции определяется как полусумма оснований, умноженная на высоту: Sтрап = (A + B) / 2 × h Основания в нашем случае – это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота – это разница времени между двумя измерениями.

Метод трапеций для вычисления значения определённого интеграла

Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx)

Пример №1. Вычислить интегралы:

Решение.
а) Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx), где R — рациональная функция от sin x и cos x, преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t.
Тогда имеем

Универсальная тригонометрическая подстановка дает возможность перейти от интеграла вида R(sinx, cosx) dx к интегралу от дробно-рациональной функции, но часто такая замена ведет к громоздким выражениям. При определенных условиях эффективными оказываются более простые подстановки:

  • Если выполняется равенство R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx, то применяется подстановка cos x = t.
  • Если выполняется равенство R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx, то подстановка sin x = t.
  • Если выполняется равенство R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx, то подстановка tgx = tили ctg x = t.

В данном случае для нахождения интеграла
применим универсальную тригонометрическую подстановку tg(x/2) = t.
Тогда

Так как дробь неправильная, то, выделяя целую часть, получим

Возвращась к исходной переменной будем иметь

b) Во втором примере рассмотрим важный частный случай, когда общее выражение R(sinx, cosx) dx имеет вид sinmx·cosnxdx. В этом частном случае, если m нечетно, следует применить подстановку cos x = t. Если нечетно n, следует применить подстановку sin x = t. Если оба показателя тип — четные неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю), то выполняют замену по известным тригонометрическим формулам:
В данном случае

Ответ:

Согласованиеединиц измерения

В нашем примере измерения мощности дозы радиации даётся в мкЗв/час, а шкала времени – с точностью до минут. Мы не можем брать интеграл по времени, измеряемому в минутах, для величины, измеряемой в часах. Поэтому необходимо перевести мкЗв/час в мкЗв/мин.

Для перевода просто разделим мощность дозы в мкЗв/час построчно на количество минут в часе, т.е. на 60. Добавим ещё один столбец в нашу таблицу. На иллюстрации это столбец “D”. В столбце “D” в строке 2 вписываем =С2/60 А потом с помощью маркера заполнения распространяем эту формулу на все остальные ячейки в столбце “D”, (т.е. тянем мышью чёрный прямоугольник в правом нижнем углу ячейки). Таким образом, в столбце “D” у нас появятся значения мощности дозы радиации, измеряемые в микрозивертах в минуту для каждой минуты перелёта

Согласуем единицы измерения по шкале времени и шкале мощности дозы

Источники


  • https://math.semestr.ru/math/integration-trigonometric.php
  • https://1cov-edu.ru/mat_analiz/integrali/neopredelennie/trigonometricheskie/
  • https://yukhym.com/ru/integrirovanie-funktsii/integral-tangensa-i-kotangensa.html
  • https://soltau.ru/index.php/themes/kompyutery-i-programmy/item/369-kak-v-excel-vychislit-opredeljonnyj-integral
  • http://al-vo.ru/spravochnik-excel/vychislenie-integralov-v-excel.html
  • https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/674768/
  • https://yukhym.com/ru/integrirovanie-funktsii/integral-kosinusa.html

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: