- Назначение и описание критерия Фишера
- Гипотезы критерия Фишера
- Графики функций
- F-распределение в MS EXCEL
- Оценка взаимосвязи прибыли и затрат по функции ФИШЕР
- Проверка статистической значимости регрессии по функции FРАСПОБР
- Таблицы по нахождению критерия Фишера и Стьюдента
- Критерии Стьюдента
- Порядок расчета критерия φ*
- Расчет в программе Excel
- Показатели качества уравнения регрессии
- Для чего используется точный критерий Фишера?
- В каких случаях можно использовать точный критерий Фишера?
- Критические точки распределения Фишера
Назначение и описание критерия Фишера
Критерий Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта.
Критерий оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий нас эффект.
Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла , который измеряется в радианах. Большей процентной доле будет соответствовать больший угол φ, а меньшей доле – меньший угол, но соотношения здесь не линейные: φ = 2*arcsin(), где P – процентная доля, выраженная в долях единицы.
При увеличении расхождения между углами φ1 и φ2 и увеличения численности выборок значение критерия возрастает. Чем больше величина φ*, тем более вероятно, что различия достоверны.
Гипотезы критерия Фишера
H0: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 не больше, чем в выборке 2.
H1: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 больше, чем в выборке 2.
Графики функций
F -распределение при небольших параметрах (
Среднее значение равно k 2 /(k 2 -2) при k 2 >2, дисперсия равна 2*k 2 2 *(k 1 +k 2 -2)/(k 1 *(k 2 -4)*(k 2 -2) 2 ) при k 2 >4.
В файле примера на листе График приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .
Примечание : Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .
F-распределение в MS EXCEL
В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для F-распределения имеется специальная функция F.РАСП() , английское название – F.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина Х, имеющая F – распределение , примет значение меньше или равное х, P(X
Примечание : Плотность вероятности можно также вычислить впрямую, с помощью формул (см. файл примера ).
До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция FРАСП() , которая позволяет вычислить функцию распределения (точнее – правостороннюю вероятность, т.е. P(X>x)). Функция FРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости. Аналогом FРАСП() является функция F.РАСП.ПХ() , появившаяся в MS EXCEL 2010.
Примеры расчетов приведены в файле примера на листе Функции .
В MS EXCEL имеется еще одна функция, использующая для расчетов F-распределение – это F.ТЕСТ(массив1;массив2) . Эта функция возвращает результат F-теста : двухстороннюю вероятность того, что разница между дисперсиями выборок “массив1” и “массив2” несущественна. Предполагается, что выборки делаются из нормального распределения.
Оценка взаимосвязи прибыли и затрат по функции ФИШЕР
Пример 1. Используя данные об активности коммерческих организаций, требуется сделать оценку связи прибыли Y (млн руб.) и затрат X (млн руб.), используемых для разработки продукции (приведены в таблице 1).
Таблица 1 – Исходные данные:
№ | X | Y |
1 | 210 000 000,00 ₽ | 95 000 000,00 ₽ |
2 | 1 068 000 000,00 ₽ | 76 000 000,00 ₽ |
3 | 1 005 000 000,00 ₽ | 78 000 000,00 ₽ |
4 | 610 000 000,00 ₽ | 89 000 000,00 ₽ |
5 | 768 000 000,00 ₽ | 77 000 000,00 ₽ |
6 | 799 000 000,00 ₽ | 85 000 000,00 ₽ |
Схема решения таких задач выглядит следующим образом:
- Рассчитывается линейный коэффициент корреляции rxy
- Проверяется значимость линейного коэффициента корреляции на основе t-критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется гипотеза о равенстве коэффициента корреляции нулю. При проверке этой гипотезы используется t-статистика. Если гипотеза подтверждается, t-статистика имеет распределение Стьюдента. Если расчетное значение tр > tкр, то гипотеза отвергается, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а следовательно, и о статистической существенности зависимости между Х и Y;
- Определяется интервальная оценка для статистически значимого линейного коэффициента корреляции.
- Определяется интервальная оценка для линейного коэффициента корреляции на основе обратного z-преобразования Фишера;
- Рассчитывается стандартная ошибка линейного коэффициента корреляции.
Результаты решения данной задачи с применяемыми функциями в пакете Excel приведены на рисунке 1.
Рисунок 1 – Пример расчетов.
№ п/п | Наименование показателя | Формула расчета |
1 | Коэффициент корреляции | =КОРРЕЛ(B2:B7;C2:C7) |
2 | Расчетное значение t-критерия tp | =ABS(C8)/КОРЕНЬ(1-СТЕПЕНЬ(C8;2))*КОРЕНЬ(6-2) |
3 | Табличное значение t-критерия trh | =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;4) |
4 | Табличное значение стандартного нормального распределения zy | =НОРМСТОБР((0,95+1)/2) |
5 | Значение преобразования Фишера z’ | =ФИШЕР(C8) |
6 | Левая интервальная оценка для z | =C12-C11*КОРЕНЬ(1/(6-3)) |
7 | Правая интервальная оценка для z | =C12+C11*КОРЕНЬ(1/(6-3)) |
8 | Левая интервальная оценка для rxy | =ФИШЕРОБР(C13) |
9 | Правая интервальная оценка для rxy | =ФИШЕРОБР(C14) |
10 | Стандартное отклонение для rxy | =КОРЕНЬ((1-C8^2)/4) |
Таким образом, с вероятностью 0,95 линейный коэффициент корреляции заключен в интервале от (–0,386) до (–0,990) со стандартной ошибкой 0,205.
Проверка статистической значимости регрессии по функции FРАСПОБР
Пример 2. Произвести проверку статистической значимости уравнения множественной регрессии с помощью F-критерия Фишера, сделать выводы.
Для проверки значимости уравнения в целом выдвинем гипотезу Н0 о статистической незначимости коэффициента детерминации и противоположную ей гипотезу Н1 о статистической значимости коэффициента детерминации:
Н0: R2 = 0;
Н1: R2 ≠ 0.
Проверим гипотезы с помощью F-критерия Фишера. Показатели приведены в таблице 2.
Таблица 2 – Исходные данные
Показатель | SS | MS | Fрасч |
Регрессия | 454,814 | 227,407 | 7,075 |
Остаток | 1607,014 | 32,14 | |
Итого | 2061,828 | – |
Для этого используем в пакете Excel функцию:
=FРАСПОБР (α;p;n-p-1)
где:
- α – вероятность, связанная с данным распределением;
- p и n – числитель и знаменатель степеней свободы, соответственно.
Зная, что α = 0,05, p = 2 и n = 53, получаем следующее значение для Fкрит (см. рисунок 2).
Рисунок 2 – Пример расчетов.
Таким образом можно сказать, что Fрасч > Fкрит. В итоге принимается гипотеза Н1 о статистической значимости коэффициента детерминации.
Таблицы по нахождению критерия Фишера и Стьюдента
Таблицы значений F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента Вы можете посмотреть здесь.
Табличное значение критерия Фишера вычисляют следующим образом:
- Определяют k1, которое равно количеству факторов (Х). Например, в однофакторной модели (модели парной регрессии) k1=1, в двухфакторной k=2.
- Определяют k2, которое определяется по формуле n — m — 1, где n — число наблюдений, m — количество факторов. Например, в однофакторной модели k2 = n — 2.
- На пересечении столбца k1 и строки k2 находят значение критерия Фишера
Для нахождения табличного значения критерия Стьюдента определяют число степеней свободы, которое определяется по формуле n — m — 1 и находят его значение при определенном уровне значимости (0,10, 0,05, 0,01).
Критерии Стьюдента
Для оценки статистической значимости модели по параметрам рассчитывают t-критерии Стьюдента.
Оценка значимости модели с помощью критерия Стьюдента проводится путем сравнения их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки коэффициентов линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и табличное значения t-статистики и принимается или отвергается гипотеза о значимости модели по параметрам.
Зависимость между критерием Фишера и значением t-статистики Стьюдента определяется так

Как и в случае с оценкой значимости уравнения модели в целом, модель считается ненадежной если tтабл > tфакт
Порядок расчета критерия φ*
1. Формулируем статистические гипотезы:
Но: доля студентов, получивших оценки 4 и 5 до эксперимента такая же, как и после эксперимента;
Н1: доля студентов, получивших оценки 4 и 5 после эксперимента больше, чем до эксперимента.
2. Определяем значения углов φ1 и φ2, соответствующие долям p1 = 0,666; p2 = 0,888
φ1= 2arcsin (√p1)= 2 arcsin √0,6662 arcsin (0,816)= 2·0.954=1.908
φ2= 2arcsin (√p2)= 2 arcsin √0,888=2 arcsin (0,942)= 2·1.228=2.457
3. Вычисляем эмпирическое значение φ по формуле.
4. Сравниваем эмпирическое значение критерия с критическим (представлено в таблице 2)
Таблица 2. Критические значения критерия при различных значениях уровнях значимости α (Попов Г.И. с соавт., 2007).
α | критические значения критерия φ* |
0,001 | 2,91 |
0,01 | 2,31 |
0,05 | 1,64 |
0,1 | 1,29 |
Расчет в программе Excel
В программу введен контрольный пример. В верхней части программы показано, как должны быть представлены исходные данные в случае связанных выборок (слева) и в случае независимых выборок (справа).
Чтобы выполнить расчет, нужно заполнить клетки, выделенные желтым цветом в нижней части таблицы. После этого будет получено эмпирическое значение критерия (фи*эмп). Затем подученное значение эмпирического значения фи нужно сравнить с критическим значением (фи* крит) на заданном уровне значимости. Эти значения приведены в табл.1. Если фи*эмп больше чем фи*крит, различия между группами статистически достоверны.
Показатели качества уравнения регрессии
Показатель | Значение |
Коэффициент детерминации | 0.49 |
Средний коэффициент эластичности | 0.51 |
Средняя ошибка аппроксимации | 10.89 |
Пример. По совокупности 25 предприятий торговли изучается зависимость между признаками: X — цена на товар А, тыс. руб.; Y — прибыль торгового предприятия, млн. руб. При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты: ∑(yi-yx)2 = 46000; ∑(yi-yср)2 = 138000. Какой показатель корреляции можно определить по этим данным? Рассчитайте величину этого показателя, на основе этого результата и с помощью F-критерия Фишера сделайте вывод о качестве модели регрессии.
Решение. По этим данным можно определить эмпирическое корреляционное отношение: , где ∑(yср-yx)2 = ∑(yi-yср)2 – ∑(yi-yx)2 = 138000 – 46000 = 92 000.
η2 = 92 000/138000 = 0.67, η = 0.816 (0.7 < η < 0.9 – связь между X и Y высокая).
F-критерий Фишера: n = 25, m = 1.
R2 = 1 – 46000/138000 = 0.67, F = 0.67/(1-0.67)x(25 – 1 – 1) = 46. FтаблПоскольку фактическое значение F > Fтабл, то найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна.
Для чего используется точный критерий Фишера?
Точный критерий Фишера в основном применяется для сравнения малых выборок. Этому есть две весомые причины. Во-первых, вычисления критерия довольно громоздки и могут занимать много времени или требовать мощных вычислительных ресурсов. Во-вторых, критерий довольно точен (что нашло отражение даже в его названии), что позволяет его использовать в исследованиях с небольшим числом наблюдений.
Особое место отводится точному критерию Фишера в медицине. Это важный метод обработки медицинских данных, нашедший свое применение во многих научных исследованиях. Благодаря ему можно исследовать взаимосвязь определенных фактора и исхода, сравнивать частоту патологических состояний между разными группами пациентов и т.д.
В каких случаях можно использовать точный критерий Фишера?
- Сравниваемые переменные должны быть измерены в номинальной шкале и иметь только два значения, например, артериальное давление в норме или повышено, исход благоприятный или неблагоприятный, послеоперационные осложнения есть или нет.
- Критерий подходит для сравнения очень малых выборок: точный критерий Фишера может применяться для анализа четырехпольных таблиц в случае значений ожидаемого явления менее 10, что является ограничением для применения критерия хи-квадрат Пирсона.
- Точный критерий Фишера бывает односторонним и двусторонним. При одностороннем варианте точно известно, куда отклонится один из показателей. Например, во время исследования сравнивают, сколько пациентов выздоровело по сравнению с группой контроля. Предполагают, что терапия не может ухудшить состояние пациентов, а только либо вылечить, либо нет.
Двусторонний тест является предпочтительным, так как оценивает различия частот по двум направлениям. То есть оценивается верятность как большей, так и меньшей частоты явления в экспериментальной группе по сравнению с контрольной группой.
Аналогом точного критерия Фишера является Критерий хи-квадрат Пирсона, при этом точный критерий Фишера обладает более высокой мощностью, особенно при сравнении малых выборок, в связи с чем в этом случае обладает преимуществом.
Критические точки распределения Фишера
(k1— число степеней свободы большей дисперсии,
k2—число степеней свободы меньшей дисперсии)
Уровень значимости a =0.01
k1k2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
1 | 4052 | 4999 | 5403 | 5625 | 5764 | 5889 | 5928 | 5981 | 6022 | 6056 | 6082 | 6106 |
2 | 98.49 | 99.01 | 90.17 | 99.25 | 99.33 | 99.30 | 99.34 | 99.36 | 99.36 | 99.40 | 99.41 | 99.42 |
3 | 34.12 | 30.81 | 29.46 | 28.71 | 28.24 | 27.91 | 27.67 | 27.49 | 27.34 | 27.23 | 27.13 | 27.05 |
4 | 21.20 | 18.00 | 16.69 | 15.98 | 15.52 | 15.21 | 14.98 | 14.80 | 14.66 | 14.54 | 14.45 | 14.37 |
5 | 16.26 | 13.27 | 12.06 | 11.39 | 10.97 | 10.67 | 10.45 | 10.27 | 10.15 | 10.05 | 9.96 | 9.89 |
6 | 13.74 | 10.92 | 9.78 | 9.15 | 8.75 | 8.47 | 8.26 | 8.10 | 7.98 | 7.87 | 7.79 | 7.72 |
7 | 12.25 | 9.55 | 8.45 | 7.85 | 7.46 | 7.19 | 7.00 | 6.84 | 6.71 | 6.62 | 6.54 | 6.47 |
8 | 11.26 | 8.65 | 7.59 | 7.01 | 6.63 | 6.37 | 6.19 | 6.03 | 5.91 | 5.82 | 5.74 | 5.67 |
9 | 10.56 | 8.02 | 6.99 | 6.42 | 6.06 | 5.80 | 5.62 | 5.47 | 5.35 | 5.26 | 5.18 | 5.11 |
10 | 10.04 | 7.56 | 6.55 | 5.99 | 5.64 | 5.39 | 5.21 | 5.06 | 4.95 | 4.85 | 4.78 | 4.71 |
11 | 9.86 | 7.20 | 6.22 | 5.67 | 5.32 | 5.07 | 4.88 | 4.74 | 4.63 | 4.54 | 4.46 | 4.40 |
12 | 9.33 | 6.93 | 5.95 | 5.41 | 5.06 | 4.82 | 4.65 | 4.50 | 4.39 | 4.30 | 4.22 | 4.16 |
13 | 9.07 | 6.70 | 5.74 | 5.20 | 4.86 | 4.62 | 4.44 | 4.30 | 4.19 | 4.10 | 4.02 | 3.96 |
14 | 8.86 | 6.51 | 5.56 | 5.03 | 4.69 | 4.46 | 4.28 | 4.14 | 4.03 | 3.94 | 3.86 | 3.80 |
15 | 8.68 | 6.36 | 5.42 | 4.89 | 4.56 | 4.32 | 4.14 | 4.00 | 3.89 | 3.80 | 3.73 | 3.67 |
16 | 8.53 | 6.23 | 5.29 | 4.77 | 4.44 | 4.20 | 4.03 | 3.89 | 3.78 | 3.69 | 3.61 | 3.55 |
17 | 8.40 | 6.11 | 5.18 | 4.67 | 4.34 | 4.10 | 3.93 | 3.79 | 3.68 | 3.59 | 3.52 | 3.45 |
Уровень значимости a=0.05
k1k2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
1 | 161 | 200 | 216 | 225 | 230 | 234 | 237 | 239 | 241 | 242 | 243 | 244 |
2 | 18.5 | 19.00 | 19.16 | 19.25 | 19:30 | 19.33 | 19.36 | 19.37 | 19.38 | 19.39 | 19.40 | 19.41 |
3 | 10.13 | 9.55 | 9.28 | 9.12 | 9.01 | 8.94 | 8.88 | 8.84 | 8.81 | 8.78 | 8.76 | 8.74 |
4 | 7.71 | 6.94 | 6.59 | 6.39 | 6.26 | 6.16 | 6.09 | 6.04 | 6.00 | 5.96 | 5.93 | 5.91 |
5 | 6.61 | 5.79 | 5.41 | 5.19 | 5.05 | 4.95 | 4.88 | 4.82 | 4.78 | 4.74 | 4.70 | 4.68 |
6 | 5.99 | 5.14 | 4.76 | 4.53 | 4.39 | 4.28 | 4.21 | 4.15 | 4.10 | 4.06 | 4.03 | 4.00 |
7 | 5.59 | 4.74 | 4.35 | 4.12 | 3.97 | 3.87 | 3.79 | 3.73 | 3.68 | 3.63 | 3.60 | 3.57 |
8 | 5.32 | 4.46 | 4.07 | 3.84 | 3.69 | 3.58 | 3.50 | 3.44 | 3.39 | 3.34 | 3.31 | 3.28 |
9 | 5.12 | 4.26 | 3.86 | 3.63 | 3.48 | 3.37 | 3.29 | 3.23 | 3.18 | 3.13 | 3.10 | 3.07 |
10 | 4.96 | 4.10 | 3.71 | 3.48 | 3.33 | 3.22 | 3.14 | 3.07 | 3.02 | 2.97 | 2.94 | 2.91 |
11 | 4.84 | 3.98 | 3.59 | 3.36 | 3.20 | 3.09 | 3.01 | 2.95 | 2.90 | 2.86 | 2.82 | 2.79 |
12 | 4.75 | 3.88 | 3.49 | 3.26 | 3.11 | 3.00 | 2.92 | 2.85 | 2.80 | 2.76 | 2.72 | 2.69 |
13 | 4.67 | 3.80 | 3.41 | 3.18 | 3.02 | 2.92 | 2.84 | 2.77 | 2.72 | 2.67 | 2.63 | 2.60 |
14 | 4.60 | 3.74 | 3.34 | 3.11 | 2.96 | 2.85 | 2.77 | 2.70 | 2.65 | 2.60 | 2.56 | 2.53 |
15 | 4.54 | 3.68 | 3.29 | 3.06 | 2.90 | 2.79 | 2.70 | 2.64 | 2.59 | 2.55 | 2.51 | 2.48 |
16 | 4.49 | 3.63 | 3.24 | 3.01 | 2.85 | 2.74 | 2.66 | 2.59 | 2.54 | 2.49 | 2.45 | 2.42 |
17 | 4.45 | 3.59 | 3.20 | 2.96 | 2.81 | 2.70 | 2.62 | 2.55 | 2.50 | 2.45 | 2.41 | 2.38 |
- https://www.psychol-ok.ru/statistics/fisher/
- https://excel2.ru/articles/raspredelenie-fishera-f-raspredelenie-raspredeleniya-matematicheskoy-statistiki-v-ms-excel
- https://exceltable.com/funkcii-excel/primery-funkcii-fisher
- https://univer-nn.ru/ekonometrika/kriterij-fishera-i-styudenta/
- https://allasamsonova.ru/programma-rascheta-uglovogo-preobrazovanija-fishera-fi/
- https://math.semestr.ru/corel/fisher.php
- https://medstatistic.ru/methods/methods5.html
- https://math.semestr.ru/corel/table-fisher.php