Таблица производных и правила дифференцирования. Производная косинуса: (cos x)′

Содержание

Понятие производной
Примеры решения задач по теме «Производная косинуса»
Прямые и производные функции: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg).
Правила нахождения производных
Общие формулы дифференцирования функций
Производная от константы
Производная степенной функции
Производная показательной функции
Таблица производных
Таблица производных сложных функций
Производная и тригонометрические функции
Синтаксис описания формул
Таблица производных часто встречающихся функций
Примеры
Прикладное использование производной
Вычисление производной
Формулы дифференцирования. Правила дифференцирования.

Понятие производной

Итак, рассмотрим некую произвольную кривую, которая описывается абстрактной функцией y = f(x).

Представим что график — это карта туристического маршрута. Приращение ∆x (дельта икс) на рисунке — это определенный промежуток пути, а ∆y – это изменение высоты тропы над уровнем моря.
Тогда получается, что отношение ∆x/∆y будет характеризовать сложно маршрута на каждом отрезке пути. Узнав это значение можно с уверенностью сказать крутой ли подъем/спуск, понадобится ли альпинистское снаряжение и нужна ли туристам определенная физическая подготовка. Но показатель этот будет справедлив только для одного маленького промежутка ∆x.

Если организатор похода возьмет значения для начальной и конечной точек тропы, то есть ∆x – будет равен длине маршрута, то не сможет получить объективные данные о степени сложности путешествия. Следовательно, необходимо построить еще один график, который будет характеризовать скорость и «качество» изменений пути, другими словами определять отношение ∆x/∆y для каждого «метра» маршрута.

Этот график и будет являться наглядной производной для конкретной тропы и объективно опишет ее изменения на каждом интересующем интервале. Убедиться в этом очень просто, значение ∆x/∆y – есть не что иное, как дифференциал, взятый для конкретного значения x и y. Применим же дифференцирование не определенным координатам, а к функции в целом:

Примеры решения задач по теме «Производная косинуса»

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $\text{[math]}$

Решение

Искомая производная

Выносим константу $\text{[math]}$ за знак производной:

Производная от косинуса равна минус синусу такого же аргумента, и так как аргумент есть более сложное выражение, чем просто $\text{[math]}$ , то умножаем еще все на производную от аргумента. То есть имеем:

Производная разности равна разности производных:

С первой производной по правилу дифференцирования выносим тройку за знак производной, а производная от 7 равна нулю как производная константы:

Производная независимой переменной $\text{[math]}$ равна единице, поэтому окончательно имеем, что

Ответ

$\text{[math]}$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции $\text{[math]}$

Решение

Искомая производная

Производная натурального логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию: $\text{[math]}$ . Так как подлогарифмическая функция представляет собой выражение более сложное, ем просто $\text{[math]}$ . Так как подлогарифмическая функция представляет собой выражение более сложное, ем просто $\text{[math]}$ , то домнажаем еще и на ее производную, то есть:

Производная косинуса равна минус синусу:

По тригонометрическим формулам отношение синуса к косинусу равно тангенсу:

Ответ

$\text{[math]}$

Прямые и производные функции: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg).


Действие	Формула
Производная синуса	sin’ x = cos x
Производная косинуса	cos’ x = -sin x
Производная тангенса	tg’ x = 1 / cos² (x)
Производная котангенса	ctg’ x = 1 / sin² (x)

Правила нахождения производных

Пример 1. Найти производную функции y=cos⁴x.
Решение.
Внешней функцией здесь служит степенная функция: cos(x) возводится в четвертую степень. Дифференцируя эту степенную функцию по промежуточному аргументу cos(x), получим
(cos⁴x)′_{cos x} = 4cos^4-1x = 4cos³x
но промежуточный аргумент cos(x) – функция независимой переменной хcos(x) по независимой переменной х . Таким образом, получим
y′_x = (cos⁴x)′_{cos x}·(cosx)′_x = 4·cos³x·(-sin x) = -4·cos³x·sin x
При дифференцировании функций нет необходимости в таких подробных записях. Результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы.

Пример 2. Найти производную функции
.

.
В некоторых случаях, если, например, нужно найти производную функции y = (u(x))^v(x), или функции, заданной в виде произведения большого числа сомножителей, используется так называемый способ логарифмического дифференцирования.

Пример 3. Найти производную функции
.
Решение.
Применим метод логарифмического дифференцирования. Рассмотрим функцию

Учитывая, что , будем иметь

, будем иметь

Но , откуда
, откуда
.

Пример 4. Найти производную функции y=x^{e^x}
Решение.
.

Общие формулы дифференцирования функций

В этих формулах u и v — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

(c · u)′ = c · u ′

(u + v)′ = u ′ + v ′

(u · v)′ = u ′ · v + u · v ′

(	u	)	′	=	u ′ · v – u · v ′
	v				v²

Производная от константы

c ′ = 0, где c = const

Производная степенной функции

(xⁿ )′ = n · x^{n – 1}

Производная показательной функции

(a^x )′ = a^x · ln a

Таблица производных

Производная степенной функции:
$\text{[math]}$
Производная показательной функции:
$\text{[math]}$
Производная экспонециальной функции:
$\text{[math]}$
Производная логарифмической функции:
$\text{[math]}$
Производные тригонометрических функций:
$\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$
Производные обратных тригонометрических функций:
$\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$
Производные гиперболических функций:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Таблица производных сложных функций

В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.

В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид f (x) = kx + b , где k и b – любые числа, .

Функция	Формула для производной
y = (kx + b)^c , где c – любое число.	y’ = kc (kx + b)^{c – 1} ,
y = ( f (x))^c , где c – любое число.
y = e^{kx + b}	y = ke^{kx + b}
y = e^{f (x)}
y = a^{kx + b} где a – любое положительное число, не равное 1
y = a^{f (x)} где a – любое положительное число, не равное 1
y = ln (kx + b) , kx + b > 0	, kx + b > 0
y = ln ( f (x)) , f (x) > 0	, f (x) > 0
y = log _a (kx + b) , kx + b > 0 где a – любое положительное число, не равное 1	, kx + b > 0
y = log _a ( f (x)) , f (x) > 0 где a – любое положительное число, не равное 1	, f (x) > 0
y = sin (kx + b)	y’ = k cos (kx + b)
y = sin ( f (x))
y = cos (kx + b)	y’ = – k sin (kx + b)
y = cos ( f (x))
y = tg (kx + b), где	, ,
y = tg ( f (x)), где	, ,
y = ctg (kx + b), где	, ,
y = ctg ( f (x)), где	, ,
y = arcsin (kx + b),
y = arcsin ( f (x)),
y = arccos (kx + b),
y = arccos ( f (x)),
y = arctg (kx + b)
y = arctg ( f (x))
y = arcctg (kx + b)
y = arcctg ( f (x))

Функция:

y = (kx + b)^c ,

где c – любое число.

Формула для производной:

y’ = kc (kx + b)^{c – 1} ,

Функция:

y = ( f (x))^c ,

где c – любое число.

Формула для производной:

Функция:

y = e^{kx + b}

Формула для производной:

y = ke^{kx + b}

Функция:

y = e^{f (x)}

Формула для производной:

Функция:

y = a^{kx + b}

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

Функция:

y = a^{f (x)}

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

Функция:

y = ln (kx + b) , kx + b > 0

Формула для производной:

, kx + b > 0

Функция:

y = ln ( f (x)) , f (x) > 0

Формула для производной:

, f (x) > 0

Функция:

y = log _a (kx + b) , kx + b > 0

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

, kx + b > 0

Функция:

y = log _a ( f (x)) , f (x) > 0

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

, f (x) > 0

Функция:

y = sin (kx + b)

Формула для производной:

y’ = k cos (kx + b)

Функция:

y = sin ( f (x))

Формула для производной:

Функция:

y = cos (kx + b)

Формула для производной:

y’ = – k sin (kx + b)

Функция:

y = cos ( f (x))

Формула для производной:

Функция:

y = tg (kx + b),

где

Формула для производной:

, ,

Функция:

y = tg ( f (x)),

где

Формула для производной:

, ,

Функция:

y = ctg (kx + b),

где

Формула для производной:

, ,

Функция:

y = ctg ( f (x)),

где

Формула для производной:

, ,

Функция:

y = arcsin (kx + b),

Формула для производной:

Функция:

y = arcsin ( f (x)),

Формула для производной:

Функция:

y = arccos (kx + b),

Формула для производной:

Функция:

y = arccos ( f (x)),

Формула для производной:

Функция:

y = arctg (kx + b)

Формула для производной:

Функция:

y = arctg ( f (x))

Формула для производной:

Функция:

y = arcctg (kx + b)

Формула для производной:

Функция:

y = arcctg ( f (x))

Формула для производной:

Производная и тригонометрические функции

Тригонометрические функции неразрывно связаны с производной. Понять это можно из следующего чертежа. На рисунке координатной оси изображена функция Y = f (x) – синяя кривая.

K (x0; f (x0)) – произвольная точка, x0 + ∆x – приращение по оси OX, а f (x0 + ∆x) – приращение по оси OY в некой точке L.

Проведем прямую через точки K и L и построим прямоугольный треугольник KLN. Если мысленно перемещать отрезок LN по графику Y = f (x), то точки L и N будут стремиться к значениям K (x0; f (x0)). Назовем эту точку условным началом графика — лимитом, если же функция бесконечна, хотя бы на одном из промежутков – это стремление также будет бесконечным, а его предельное значение близким к 0.

Характер данного стремления можно описать касательной к выбранной точке y = kx + b или графиком производной первоначальной функции dy – зеленая прямая.

Но где же здесь тригонометрия?! Все очень просто рассмотрим прямоугольный треугольник KLN. Значение дифференциала для конкретной точки K есть тангенс угла α или ∠K:

Таким образом можно описать геометрический смымсл производной и ее взаимосвязь с тригонометрическими функциями.

Синтаксис описания формул

В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, – — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.

Таблица производных часто встречающихся функций

В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

Функция	Формула для производной	Название формулы
y = c , где c – любое число	y’ = 0	Производная от постоянной функции
y = x^c , где c – любое число	y’ = c x^{c – 1}	Производная степенной функции
y = e^x	y’ = e^x	Производная от экспоненты (показательной функции с основанием e)
y = a^x где a – любое положительное число, не равное 1	y’ = a^x ln a	Производная от показательной функции с основанием a
y = ln x , x > 0	, x > 0	Производная от натурального логарифма
y = log _a x , x > 0 где a – любое положительное число, не равное 1	, x > 0	Производная от логарифма по основанию a
y = sin x	y’ = cos x	Производная синуса
y = cos x	y’ = – sin x	Производная косинуса
y = tg x ,	, ,	Производная тангенса
y = ctg x ,	, ,	Производная котангенса
y = arcsin x ,		Производная арксинуса
y = arccos x ,		Производная арккосинуса
y = arctg x		Производная арктангенса
y = arcctg x		Производная арккотангенса

Производная от постоянной функции

Функция:

y = c ,

где c – любое число

Формула для производной:

y’ = 0

Производная степенной функции

Функция:

y = x^c ,

где c – любое число

Формула для производной:

y’ = c x^{c – 1}

Производная от экспоненты (показательной функции с основанием e)

Функция:

y = e^x

Формула для производной:

y’ = e^x

Производная от показательной функции с основанием a

Функция:

y = a^x

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

y’ = a^x ln a

Производная от натурального логарифма

Функция:

y = ln x , x > 0

Формула для производной:

, x > 0

Производная от логарифма по основанию a

Функция:

y = log _a x , x > 0

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

, x > 0

Производная синуса

Функция:

y = sin x

Формула для производной:

y’ = cos x

Производная косинуса

Функция:

y = cos x

Формула для производной:

y’ = – sin x

Производная тангенса

Функция:

y = tg x ,

где

Формула для производной:

Производная котангенса

Функция:

y = ctg x ,

где

Формула для производной:

Производная арксинуса

Функция:

y = arcsin x ,

Формула для производной:

Производная арккосинуса

Функция:

y = arccos x ,

Формула для производной:

Производная арктангенса

Функция:

y = arctg x

Формула для производной:

Производная арккотангенса

Функция:

y = arcctg x

Формула для производной:

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin² x и y = sin³ x.

Прикладное использование производной

Вычисление производной первого и второго порядка используется во многих прикладных задачах. Рассмотрим наиболее распространенные из них.

Нахождение экстремумов функции одной переменной осуществляют приравниванием к нулю производной: f'(x)=0. Этот этап является основным для построения графика функции методом дифференциального исчисления.
Значение производной в точке x₀ позволяет находить уравнение касательной к графику функции.
Отношение производных позволяет вычислять пределы по правилу Лопиталя.
В математической статистике плотность распределения f(x) определяют как производную от функции распределения F(x).
При отыскании частного решения линейного дифференциального уравнения требуется вычислять производную в точке.
В методе Ньютона с помощью производной отделяют корни нелинейных уравнений.

Вычисление производной

Вычисление производной — дело нехитрое, достаточно знать несколько простых правил и формулы дифференцирования простых функций; сложнее в этом онлайн калькуляторе было сделать интерпретатор математических выражений и алгоритм упрощения полученного результата, но об этом как-нибудь в другой раз…

Формулы дифференцирования. Правила дифференцирования.

Дифференцирование – это определение производной. Формулы дифференцирования. Правила дифференцирования.

Источники

https://karate-ege.ru/matematika/proizvodnye-trigonometricheskih-funktsij-tangensa-sinusa-kosinusa-i-drugih.html
http://ru.solverbook.com/spravochnik/proizvodnye/proizvodnaya-kosinusa/
https://MicroExcel.ru/proizvodnye-trigonometricheskikh-funktsiy/
https://math.semestr.ru/math/diff.php
https://ru.onlinemschool.com/math/formula/derivative_table/
https://planetcalc.ru/675/
https://www.resolventa.ru/spr/matan/derivative_rule.htm
https://1cov-edu.ru/mat_analiz/proizvodnaya/funktsii/trigonometricheskie/sin-x/
https://www.calc.ru/Formuly-Proizvodnykh.html