- Понятие производной
- Примеры решения задач по теме «Производная косинуса»
- Прямые и производные функции: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg).
- Правила нахождения производных
- Общие формулы дифференцирования функций
- Производная от константы
- Производная степенной функции
- Производная показательной функции
- Таблица производных
- Таблица производных сложных функций
- Производная и тригонометрические функции
- Синтаксис описания формул
- Таблица производных часто встречающихся функций
- Примеры
- Прикладное использование производной
- Вычисление производной
- Формулы дифференцирования. Правила дифференцирования.
Понятие производной
Итак, рассмотрим некую произвольную кривую, которая описывается абстрактной функцией y = f(x).
Представим что график — это карта туристического маршрута. Приращение ∆x (дельта икс) на рисунке — это определенный промежуток пути, а ∆y – это изменение высоты тропы над уровнем моря.
Тогда получается, что отношение ∆x/∆y будет характеризовать сложно маршрута на каждом отрезке пути. Узнав это значение можно с уверенностью сказать крутой ли подъем/спуск, понадобится ли альпинистское снаряжение и нужна ли туристам определенная физическая подготовка. Но показатель этот будет справедлив только для одного маленького промежутка ∆x.
Если организатор похода возьмет значения для начальной и конечной точек тропы, то есть ∆x – будет равен длине маршрута, то не сможет получить объективные данные о степени сложности путешествия. Следовательно, необходимо построить еще один график, который будет характеризовать скорость и «качество» изменений пути, другими словами определять отношение ∆x/∆y для каждого «метра» маршрута.
Этот график и будет являться наглядной производной для конкретной тропы и объективно опишет ее изменения на каждом интересующем интервале. Убедиться в этом очень просто, значение ∆x/∆y – есть не что иное, как дифференциал, взятый для конкретного значения x и y. Применим же дифференцирование не определенным координатам, а к функции в целом:
Примеры решения задач по теме «Производная косинуса»
Задание | Найти производную функции ![]() |
Решение | Искомая производная
Выносим константу Производная от косинуса равна минус синусу такого же аргумента, и так как аргумент есть более сложное выражение, чем просто Производная разности равна разности производных: С первой производной по правилу дифференцирования выносим тройку за знак производной, а производная от 7 равна нулю как производная константы: Производная независимой переменной |
Ответ | ![]() |
Задание | Найти производную функции ![]() |
Решение | Искомая производная Производная натурального логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию: Производная косинуса равна минус синусу: По тригонометрическим формулам отношение синуса к косинусу равно тангенсу: |
Ответ | ![]() |
Прямые и производные функции: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg).
Действие | Формула |
Производная синуса | sin’ x = cos x |
Производная косинуса | cos’ x = -sin x |
Производная тангенса | tg’ x = 1 / cos2 (x) |
Производная котангенса | ctg’ x = 1 / sin2 (x) |
Правила нахождения производных
Пример 1. Найти производную функции y=cos4x
.
Решение.
Внешней функцией здесь служит степенная функция: cos(x) возводится в четвертую степень. Дифференцируя эту степенную функцию по промежуточному аргументу cos(x), получим (cos4x)′cos x = 4cos4-1x = 4cos3x
но промежуточный аргумент cos(x) – функция независимой переменной хcos(x) по независимой переменной х . Таким образом, получим y′x = (cos4x)′cos x·(cosx)′x = 4·cos3x·(-sin x) = -4·cos3x·sin x
При дифференцировании функций нет необходимости в таких подробных записях. Результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы.
Пример 2. Найти производную функции .

.
В некоторых случаях, если, например, нужно найти производную функции y = (u(x))v(x)
, или функции, заданной в виде произведения большого числа сомножителей, используется так называемый способ логарифмического дифференцирования.
Пример 3. Найти производную функции .
Решение.
Применим метод логарифмического дифференцирования. Рассмотрим функцию

Учитывая, что , будем иметь

Но , откуда
, откуда
.
Пример 4. Найти производную функции y=xex
Решение. .
Общие формулы дифференцирования функций
( | u | ) | ′ | = | u ′ · v – u · v ′ |
v | v2 |
Производная от константы
c ′ = 0, где c = const
Производная степенной функции
(xn )′ = n · xn – 1
Производная показательной функции
(ax )′ = ax · ln a
Таблица производных
Производная степенной функции:
Производная показательной функции:
Производная экспонециальной функции:
Производная логарифмической функции:
Производные тригонометрических функций:,
,
,
Производные обратных тригонометрических функций:,
,
,
Производные гиперболических функций:
Таблица производных сложных функций
В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.
В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид f (x) = kx + b , где k и b – любые числа, .
Функция | Формула для производной |
y = (kx + b) c , где c – любое число. |
y’ = kc (kx + b) c – 1 , |
y = ( f (x)) c , где c – любое число. |
![]() |
y = ekx + b | y = kekx + b |
y = e f (x) | ![]() |
y = akx + b где a – любое положительное число, не равное 1 |
![]() |
y = a f (x) где a – любое положительное число, не равное 1 |
![]() |
y = ln (kx + b) , kx + b > 0 | ![]() kx + b > 0 |
y = ln ( f (x)) , f (x) > 0 | ![]() f (x) > 0 |
y = log a (kx + b) , kx + b > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 |
![]() |
y = log a ( f (x)) , f (x) > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 |
![]() |
y = sin (kx + b) | y’ = k cos (kx + b) |
y = sin ( f (x)) | ![]() |
y = cos (kx + b) | y’ = – k sin (kx + b) |
y = cos ( f (x)) | ![]() |
y = tg (kx + b), где |
![]() ![]() |
y = tg ( f (x)), где |
![]() ![]() |
y = ctg (kx + b), где |
![]() ![]() ![]() |
y = ctg ( f (x)), где |
![]() ![]() ![]() |
y = arcsin (kx + b), ![]() |
![]() |
y = arcsin ( f (x)), ![]() |
![]() |
y = arccos (kx + b), ![]() |
![]() |
y = arccos ( f (x)), ![]() |
![]() |
y = arctg (kx + b) | ![]() |
y = arctg ( f (x)) | ![]() |
y = arcctg (kx + b) | ![]() |
y = arcctg ( f (x)) | ![]() |
Функция: y = (kx + b) c , где c – любое число. Формула для производной: y’ = kc (kx + b) c – 1 , |
Функция: y = ( f (x)) c , где c – любое число. Формула для производной:
|
Функция: y = ekx + b Формула для производной: y = kekx + b |
Функция: y = e f (x) Формула для производной:
|
Функция: y = akx + b где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной:
|
Функция: y = a f (x) где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной:
|
Функция: y = ln (kx + b) , kx + b > 0 Формула для производной:
|
Функция: y = ln ( f (x)) , f (x) > 0 Формула для производной:
|
Функция: y = log a (kx + b) , kx + b > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной:
|
Функция: y = log a ( f (x)) , f (x) > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной:
|
Функция: y = sin (kx + b) Формула для производной: y’ = k cos (kx + b) |
Функция: y = sin ( f (x)) Формула для производной:
|
Функция: y = cos (kx + b) Формула для производной: y’ = – k sin (kx + b) |
Функция: y = cos ( f (x)) Формула для производной:
|
Функция: y = tg (kx + b), где Формула для производной:
|
Функция: y = tg ( f (x)), где Формула для производной:
|
Функция: y = ctg (kx + b), где Формула для производной:
|
Функция: y = ctg ( f (x)), где Формула для производной:
|
Функция: y = arcsin (kx + b), Формула для производной:
|
Функция: y = arcsin ( f (x)), Формула для производной:
|
Функция: y = arccos (kx + b), Формула для производной:
|
Функция: y = arccos ( f (x)), Формула для производной: ![]() |
Функция: y = arctg (kx + b) Формула для производной:
|
Функция: y = arctg ( f (x)) Формула для производной:
|
Функция: y = arcctg (kx + b) Формула для производной:
|
Функция: y = arcctg ( f (x)) Формула для производной:
|
Производная и тригонометрические функции
Тригонометрические функции неразрывно связаны с производной. Понять это можно из следующего чертежа. На рисунке координатной оси изображена функция Y = f (x) – синяя кривая.
K (x0; f (x0)) – произвольная точка, x0 + ∆x – приращение по оси OX, а f (x0 + ∆x) – приращение по оси OY в некой точке L.
Проведем прямую через точки K и L и построим прямоугольный треугольник KLN. Если мысленно перемещать отрезок LN по графику Y = f (x), то точки L и N будут стремиться к значениям K (x0; f (x0)). Назовем эту точку условным началом графика — лимитом, если же функция бесконечна, хотя бы на одном из промежутков – это стремление также будет бесконечным, а его предельное значение близким к 0.
Характер данного стремления можно описать касательной к выбранной точке y = kx + b или графиком производной первоначальной функции dy – зеленая прямая.
Но где же здесь тригонометрия?! Все очень просто рассмотрим прямоугольный треугольник KLN. Значение дифференциала для конкретной точки K есть тангенс угла α или ∠K:
Таким образом можно описать геометрический смымсл производной и ее взаимосвязь с тригонометрическими функциями.
Синтаксис описания формул
В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, – — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.
Таблица производных часто встречающихся функций
В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.
Функция | Формула для производной | Название формулы |
y = c , где c – любое число |
y’ = 0 | Производная от постоянной функции |
y = x c , где c – любое число |
y’ = c xc – 1 | Производная степенной функции |
y = e x | y’ = e x | Производная от экспоненты (показательной функции с основанием e) |
y = a x где a – любое положительное число, не равное 1 |
y’ = a x ln a | Производная от показательной функции с основанием a |
y = ln x , x > 0 | ![]() |
Производная от натурального логарифма |
y = log a x , x > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 |
![]() |
Производная от логарифма по основанию a |
y = sin x | y’ = cos x | Производная синуса |
y = cos x | y’ = – sin x | Производная косинуса |
y = tg x , |
![]() ![]() |
Производная тангенса |
y = ctg x , |
![]() ![]() |
Производная котангенса |
y = arcsin x , |
![]() |
Производная арксинуса |
y = arccos x , |
![]() |
Производная арккосинуса |
y = arctg x | ![]() |
Производная арктангенса |
y = arcctg x | ![]() |
Производная арккотангенса |
Производная от постоянной функции |
Функция: y = c , где c – любое число Формула для производной: y’ = 0 |
Производная степенной функции |
Функция: y = x c , где c – любое число Формула для производной: y’ = c xc – 1 |
Производная от экспоненты (показательной функции с основанием e) |
Функция: y = e x Формула для производной: y’ = e x |
Производная от показательной функции с основанием a |
Функция: y = a x где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной: y’ = a x ln a |
Производная от натурального логарифма |
Функция: y = ln x , x > 0 Формула для производной:
|
Производная от логарифма по основанию a |
Функция: y = log a x , x > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной:
|
Производная синуса |
Функция: y = sin x Формула для производной: y’ = cos x |
Производная косинуса |
Функция: y = cos x Формула для производной: y’ = – sin x |
Производная тангенса |
Функция: y = tg x , где ![]() ![]() Формула для производной:
![]() ![]() |
Производная котангенса |
Функция: y = ctg x , где
Формула для производной: ![]() ![]() |
Производная арксинуса |
Функция: y = arcsin x , Формула для производной:
|
Производная арккосинуса |
Функция: y = arccos x , Формула для производной:
|
Производная арктангенса |
Функция: y = arctg x Формула для производной:
|
Производная арккотангенса |
Функция: y = arcctg x Формула для производной:
|
Примеры
Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin 2 x и y = sin 3 x.
Прикладное использование производной
Вычисление производной первого и второго порядка используется во многих прикладных задачах. Рассмотрим наиболее распространенные из них.
- Нахождение экстремумов функции одной переменной осуществляют приравниванием к нулю производной:
f'(x)=0
. Этот этап является основным для построения графика функции методом дифференциального исчисления. - Значение производной в точке x0 позволяет находить уравнение касательной к графику функции.
- Отношение производных позволяет вычислять пределы по правилу Лопиталя.
- В математической статистике плотность распределения f(x) определяют как производную от функции распределения F(x).
- При отыскании частного решения линейного дифференциального уравнения требуется вычислять производную в точке.
- В методе Ньютона с помощью производной отделяют корни нелинейных уравнений.
Вычисление производной
Вычисление производной — дело нехитрое, достаточно знать несколько простых правил и формулы дифференцирования простых функций; сложнее в этом онлайн калькуляторе было сделать интерпретатор математических выражений и алгоритм упрощения полученного результата, но об этом как-нибудь в другой раз…
Формулы дифференцирования. Правила дифференцирования.
- https://karate-ege.ru/matematika/proizvodnye-trigonometricheskih-funktsij-tangensa-sinusa-kosinusa-i-drugih.html
- http://ru.solverbook.com/spravochnik/proizvodnye/proizvodnaya-kosinusa/
- https://MicroExcel.ru/proizvodnye-trigonometricheskikh-funktsiy/
- https://math.semestr.ru/math/diff.php
- https://ru.onlinemschool.com/math/formula/derivative_table/
- https://planetcalc.ru/675/
- https://www.resolventa.ru/spr/matan/derivative_rule.htm
- https://1cov-edu.ru/mat_analiz/proizvodnaya/funktsii/trigonometricheskie/sin-x/
- https://www.calc.ru/Formuly-Proizvodnykh.html