Сложная функция

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):
(вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо. Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика?

На интервалах функция возрастает, то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале функция возрастает, то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратим внимание на особые точки. В точке мы достигаем максимума, то есть существует такой участок пути, на котором значение мы достигаем максимума, то есть существует такой участок пути, на котором значение будет самым большим (высоким). В точке же достигается минимум, и существует такая её окрестность, в которой значение достигается минимум, и существует такая её окрестность, в которой значение самое маленькое (низкое).

Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции, а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежутках функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью. И первое, что бросается в глаза – на интервале функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью. И первое, что бросается в глаза – на интервале график взмывает вверх гораздо более круто, чем на интервале . Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

Скорость изменения функции

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение (читается «дельта икс»), которое назовём приращением аргумента, и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:
(читается «дельта икс»), которое назовём приращением аргумента, и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту , мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия). Величина называется приращением функции, и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси называется приращением функции, и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то .

Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и: . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание: числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение (малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным: метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:

Для любой точки подъемов можно подобрать значение можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительным, и неравенство будет гарантированно положительным, и неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.

– Аналогично, для любой точки склона существует значение существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.

– Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: . Во-первых, нулевое приращение высоты (. Во-первых, нулевое приращение высоты () – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина.

Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: , то есть сделать его бесконечно малым.

По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию, которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?

Что такое производная? Определение производной. Геометрический смысл производной и дифференциала

Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе).

По аналогии с непрерывностью, «раскрутка» производной начинается с её изучения в отдельно взятой точке:

Производная функции в точке

Рассмотрим функцию (синий график), которая определена и непрерывна на некотором интервале, произвольную точку (синий график), которая определена и непрерывна на некотором интервале, произвольную точку , принадлежащую данному интервалу, и соответствующее значение :
:

Зададим аргументу функции приращение (красный отрезок) в точке (красный отрезок) в точке . Обратите внимание, что – это тоже вполне определённая точка нашего интервала (на всякий случай отметил её малиновым цветом). И в этой точке существует своё значение функции – это тоже вполне определённая точка нашего интервала (на всякий случай отметил её малиновым цветом). И в этой точке существует своё значение функции .

Приращение аргумента повлекло за собой приращение функции:
повлекло за собой приращение функции:
(малиновый отрезок)

В данном случае , поскольку в качестве примера выбран промежуток, на котором функция возрастает.

Давайте сразу возьмём на заметку, что нарисовалось в результате проделанных действий. Ну, конечно же, в глаза бросается секущая (коричневая прямая) и прямоугольный треугольник (коричневая прямая) и прямоугольный треугольник .

Угол наклона секущей к оси я обозначил через я обозначил через и отметил его коричневой дугой в двух местах. Такое внимание к данному углу не случайно – он однозначно определяется приращениями . Рассмотрим прямоугольный треугольник . Рассмотрим прямоугольный треугольник и угол . Согласно школьному определению, тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: . Согласно школьному определению, тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента в этой точке при в этой точке при . Или коротко:

Если данный предел конечен, то функция является дифференцируемой в точке является дифференцируемой в точке . А то, что в львиной доле случаев предел существует и конечен, скептики убедятся в самом ближайшем будущем.

И, конечно же, не забываем о важнейшей особенности предела, как такового: ПРИНЦИПИАЛЬНЫЙ МОМЕНТ состоит в том, что приращение аргумента стремитсяк нулю, но нуля не достигает, иными словами, величина бесконечно малА, но не равна нулю!

Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Основные свойства производных.

Если в точке x есть конечные производные функций v = v(x) и u = u(x), тогда в этой точке есть и производные суммы, разности, произведения и частного таких функций, при этом:

1. ,

2. ,

3. ,

4. при ,

5. , .

1. Производная сложной функции.

Если у функции y = f(x) есть производная в точке x0, а у функции y = g(x) есть производная в точке y0 = f(x0), тогда у сложной функции h(x) = g(f(x)) тоже есть производная в точке x0, при этом:

2. Достаточное условие монотонности функции.

Если во всех точках интервала выполняется неравенство:

то функция y = f(x) возрастает на этом интервале.

Если при то y = f(x) убывает на .

3. Необходимое условие экстремума функции.

Если точка x0 оказывается точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке есть производная , тогда она равняется 0:

4. Признак максимума функции.

Если функция y = f(x) определена на интервале , непрерывна в точке , у нее есть производная на интервалах , и на интервале и , на интервале , то точка x0 оказывается точкой максимума функции:

5. Признак минимума функции.

Если функция определена на интервале , непрерывна в точке , у нее есть производная на интервалах , и , на интервале и на интервале , то точка x0 оказывается точкой минимума функции:

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.

Чтобы вычислить самое большое и маленькое значения функции, которая имеет на отрезке конечное количество критических точек (точек из области определения, обращающих производную функции в ноль либо не существует), необходимо определить значения функции в каждой критической точке и на концах отрезка и выбрать самое большое и маленькое из полученных чисел.

Общепринятые обозначения производной функции в точке .

Обратите внимание, что последнее зачастую обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Дифференцирование суммы, произведения, частного и обратной функции.

Теорема 1.

Если функции (f) и (g) дифференцируемы в точке (x), то в этой точке дифференцируемы функции (f+g), (fg), (frac{f}{g}) (при условии, что (g(x)neq 0)), и при этом
$$
(f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x),label{ref1}
$$
$$
(f(x)g(x))’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),label{ref2}
$$
$$
(frac{f(x)}{g(x)})’=frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}},quad g(x)neq 0.label{ref3}
$$

Доказательство.

(circ ) Обозначим (Delta f=f(x+Delta x)-f(x)) и (Delta g=g(x+Delta x)-g(x)).
Тогда (displaystyle frac{Delta f}{Delta x}rightarrow f'(x),;displaystyle frac{Delta g}{Delta x}rightarrow g'(x)) при (Delta xrightarrow 0), так как существуют (f'(x)) и (g'(x)). Кроме того, (f(x+Delta x)=f(x)+Delta f,;g(x+Delta x)=g(x)+Delta g,) где (Delta frightarrow 0,;Delta grightarrow 0), так как функции (f) и (g) непрерывны в точке (x).

  1. Если (y=f(x)+g(x)), то
    $$
    Delta y=f(x+Delta x)+g(x+Delta x)-f(x)-g(x)=Delta f+Delta g,nonumber
    $$
    откуда
    $$
    frac{Delta y}{Delta x}=frac{Delta f}{Delta x}+frac{Delta g}{Delta x}.nonumber
    $$
    Правая часть этой формулы имеет при (Delta x rightarrow 0) предел, равный (f'(x)+g'(x)). Поэтому существует предел левой части, который по определению равен ((f(x)+g(x))’). Формула eqref{ref1} доказана.
  2. Если (y=f(x)g(x)), то
    $$
    Delta y=f(x+Delta x)g(x+Delta x)-f(x)g(x)=\=(f(x)+Delta f)(g(x)+Delta g)-f(x)g(x)=f(x)Delta g+g(x)Delta f+Delta fDelta g,nonumber
    $$
    $$
    frac{Delta y}{Delta x}=f(x)frac{Delta g}{Delta x}+g(x)frac{Delta f}{Delta x}+frac{Delta f}{Delta x}Delta g.nonumber
    $$
    Отсюда следует формула eqref{ref2}, так как (displaystylefrac{Delta g}{Delta x}rightarrow g'(x),; frac{Delta f}{Delta x}rightarrow f'(x),;Delta grightarrow 0) при (Delta xrightarrow 0).
  3. Если (y= displaystylefrac{f(x)}{g(x)}), то
    $$
    Delta y=displaystyle frac{f(x+Delta x)}{g(x+Delta x)}-frac{f(x)}{g(x)}=frac{f(x)+Delta f}{g(x)+Delta g}-frac{f(x)}{g(x)},nonumber
    $$
    или
    $$
    Delta y=displaystylefrac{Delta fg(x)-Delta gf(x)}{g(x)g(x+Delta x)},nonumber
    $$
    откуда
    $$
    frac{Delta y}{Delta x}=left(frac{Delta f}{Delta x}g(x)-frac{Delta g}{Delta x}f(x)right)frac{1}{g(x+Delta x)g(x)}.nonumber
    $$
    Переходя к пределу в этом равенстве и учитывая, что (g(x+Delta x)rightarrow g(x)) при (Delta xrightarrow 0), где (g(x)neq 0), получаем формулу eqref{ref3}. (bullet)

Следствие 1.

Если функция (f) дифференцируема в точке (x) и (C) — постоянная, то
$$
(Cf(x))’=Cf'(x),nonumber
$$
то есть постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференцирования.

Следствие 2.

Если функции (f_{k} (k=overline{1,n})) дифференцируемы в точке (x) и (C_k;(k=overline{1,n})) — постоянные, то
$$
left(sum_{k=1}^{n}C_{k}f_{k}(x)right)’=sum_{k=1}^{n}C_{k}f_{k}(x)’,nonumber
$$
то есть производная линейной комбинации дифференцируемых функций равна такой же линейной комбинации производных данных функций.

Например, если (y=2e^{x}-3x^{2}+4cos{x}), то (y’=2e^x-6x-4sin x).

Пример 1.

Доказать, что

  1. $$
    (operatorname{tg}x)’= frac{1}{cos^{2}x},quad xneqfrac{pi}{2}+kpi,quad kinmathbb{Z},label{ref4}
    $$
  2. $$
    (operatorname{ctg}x)’=-frac{1}{sin^{2}x},quad xneq kpi,quad kinmathbb{Z}.label{ref5}
    $$

Решение.

  1. (triangle) Так как ((sin x)’=cos x,;(cos x)’=-sin x), то, применяя правило eqref{ref3} дифференцирования частного, получаем
    $$
    (operatorname{tg}x)’=left(frac{sin x}{cos x}right)’=frac{(sin x)’cos x-(cos x)’sin x}{cos^{2}x}=frac{cos^{2}x+sin^{2}x}{cos^{2}x},nonumber
    $$
    откуда следует формула eqref{ref4}.
  2. Аналогично,
    $$
    (operatorname{ctg}x)’=frac{(cos x)’sin x-(sin x)’cos x}{sin^{2}x}=-frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{sin^{2}x},nonumber
    $$
    откуда получаем формулу eqref{ref5}. (blacktriangle)

Замечание 1.

Из формул eqref{ref1}-eqref{ref3} и определения дифференциала следует, что
$$
d(f+g)=df+dg,quad d(fg)=gdf+fdg,nonumber
$$
$$
dleft(frac{f}{g}right)=frac{gdf-fdg}{g^{2}},quad gneq 0,nonumber
$$
в предположении, что в данной точке (x) функции (f) и (g) дифференцируемы.

(circ) Ограничимся доказательством формулы для дифференциала произведения. Так как (d(fg)=(fg)’dx), где ((fg)’ =f’g+fg’), то (d(fg)=gf’dx+fg’dx=gdf+fdg) (bullet).

Теорема 2.

Если функция (y=f(x)) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке (Delta=lceil x_{0}-delta,x_{0}+deltarceil, delta > 0), и если существует (f'(x_{0})neq 0), то функция (x =varphi(y)), обратная к функции (y=f(x)), дифференцируема в точке (y_0=f(x_{0})), причем
$$
varphi'(y_{0})=frac{1}{f'(x_0)}.label{ref6}
$$

Доказательство.

(circ) Пусть функция (f) строго возрастает на отрезке (Delta). Обозначим (alpha=f(x_{0}-delta),;beta=f(x_{0}+delta)). По теореме об обратной функции на отрезке ([alpha,beta]) определена функция (x=varphi(y)), обратная к (f), непрерывная и строго возрастающая, причем (y_{0}=f(x_{0})in(alpha,beta)), так как (alpha=f(x_{0}-delta) < f(x_{0}) < f(x_{0}+delta)=beta).

Пусть (Delta y) — приращение независимой переменной (y) такое, что (y_{0}+Delta yin(alpha,beta)). Обозначим (Delta x=varphi(y_{0}+Delta y)-varphi(y_{0})). Нужно доказать, что существует предел отношения (displaystylefrac{Delta x}{Delta y}) при (Delta yrightarrow 0), равный (displaystylefrac{1}{f'(x_{0})}).

Заметим, что если (Delta yneq 0), то (Delta xneq 0), так как в противном случае (varphi (y_0+Delta y)=varphi (y_0)) при (Delta y neq 0), то есть функция (varphi) принимает одинаковые значения в двух различных точках, что противоречит свойству строгого возрастания функции (varphi). Поэтому при (Delta yneq 0) справедливо равенство
$$
frac{Delta x}{Delta y}=frac{1}{Delta y/Delta x}.label{ref7}
$$

Пусть (Delta y rightarrow 0), тогда (Delta x rightarrow 0), так как функция (x) непрерывна в точке (y_{0}). Но если (Delta x rightarrow 0), то существует (displaystylelim_{Delta xrightarrow 0}frac{Delta y}{Delta x}=f'(x_{0})).

Итак, правая часть eqref{ref7} имеет предел, равный (displaystylefrac{1}{f'(x_{0})}). Поэтому и в левой части этого равенства существует предел, который согласно определению равен (varphi'(y_0)). Формула eqref{ref6} доказана. (bullet)

Замечание 2.

Заменив в формуле eqref{ref6} (x_0) на (y), a (y_0) на (x), запишем эту формулу в виде
$$
varphi'(x)=frac{1}{f'(varphi(x))}.label{ref8}
$$

Пример 2.

Доказать формулы

  1. $$
    (arcsin x)’=frac{1}{sqrt{1-x^{2}}},quad |x| < 1,label{ref9}
    $$
  2. $$
    (arccos x)’=-frac{1}{sqrt{1-x^{2}}},quad |x| < 1,label{ref10}
    $$
  3. $$
    (operatorname{arctg} x)’=frac{1}{1+x^{2}},quad xinmathbb{R},label{ref11}
    $$
  4. $$
    (operatorname{arcctg} x)’=-frac{1}{1+(x^2)}quad xinmathbb{R}.label{ref12}
    $$

Решение.

  1. (triangle) Если (y=varphi(x)=arcsin x), где (|x|;<;1), то обратная функция (x=f(y)=sin y), где (|y|;<;frac{pi}{2}). По формуле eqref{ref8} находим
    $$
    (arcsin x)’=frac{1}{(sin y)’}=frac{1}{cos y}.nonumber
    $$
    Так как (sin y=x) и ( yin(-frac{pi}{2},frac{pi}{2})), то (cos y=sqrt{1-x^{2}}). Следовательно, справедлива формула eqref{ref9}.
  2. Если (y= operatorname{arctg} x), где (xinmathbb{R}), то (x=operatorname{tg} x), где (|y|;<;frac{pi}{2}). Применяя формулы eqref{ref8} и eqref{ref4}, получаем
    $$
    (operatorname{arctg}x)’=frac{1}{(operatorname{tg} y)’}=cos^{2}y,nonumber
    $$
    где
    $$
    cos^{2}y=frac{1}{1+operatorname{tg}^{2} y}=frac{1}{1+x^{2}}.nonumber
    $$
    Формула eqref{ref11} доказана.
  3. Аналогично доказываются формулы eqref{ref10} и eqref{ref12}. Впрочем, эти формулы легко получить, используя равенства
    $$
    arcsin x+arccos x=frac{pi}{2}, operatorname{arctg} x+operatorname{arcctg}x=frac{pi}{2}nonumber
    $$
    и формулы eqref{ref9} и eqref{ref11}. (blacktriangle)

Замечание 3.

Теорема 2 допускает наглядную геометрическую и очевидную физическую интерпретацию. Если существует (f'(x_0)) , то в точке (M_{0}(x_0,f(x_{0}))) существует касательная (l_0) к графику функции (y=f(x)) , угловой коэффициент которой равен (operatorname{tg}alpha=f'(x_{0})), где (alpha) — угол, образуемый касательной с положительным направлением оси (Ox). Касательная не параллельна координатным осям, так как производная (f'(x_0))конечна и отлична от нуля. Пусть для определенности (f'(x_{0}) > 0,) тогда (0 < alpha < frac{pi}{2}) (рис 15.1).

Если рассматривать (y) как независимое переменное, а (x) как функцию, то кривая, заданная уравнением (y=f(x)), будет графиком функции (x=varphi(y)).

Пусть (beta) — угол, образованный касательной (l_0) с положительным направлением оси (Oy) (рис 15.1), тогда (operatorname{tg}beta=varphi'(y_{0})). Так как (alpha+beta=frac{pi}{2}), то (operatorname{tg}beta= operatorname{ctg}alpha=displaystylefrac{1}{operatorname{tg}alpha},) то есть (varphi'(y_{0})=displaystylefrac{1}{f'(x_{0})}.)

Дадим физическую интерпретацию формулы eqref{ref6}. Так как (varphi'(y_0)) есть скорость изменения переменного (x) по отношению к изменению переменного (y), a (f'(x_{0})) — скорость изменения (y) по отношению к (x), то формула eqref{ref6} выражает тот факт, что указанные скорости являются взаимно обратными.


Дифференцирование сложной функции.

Теорема 3.

Если функции (y=varphi(x)) u (z=f(y)) дифференцируемы соответственно в точках (x_{0}) и (y_{0}), где (y_0 =varphi(x_{0}),) то сложная функция (z=f(varphi(x))) дифференцируема в точке (x_0), причем
$$
z'(x_{0})=f'(y_{0})varphi'(x_{0})=f'(varphi(x_{0}))varphi'(x_{0}).label{ref13}
$$

Доказательство.

(circ) Сложная функция (z(x)) непрерывна в точке (x_{0}), так как из дифференцируемости функций (f) и (varphi) следует непрерывность этих функций соответственно в точках (y_0) и (x_{0}). Поэтому функция (z(x)) определена в ({U_{delta}(x_{0})}) при некотором (delta > 0.)

Из дифференцируемости функции (f) в точке (y_0) по теореме 1 следует, что существует (delta > 0) такое, что для всех (y in U_delta(y_0))
$$
f(y)=f(y_{0})+f_{1}(y)(y-y_{0}),label{ref14}
$$
где (f_{1}(y)) — непрерывная в точке (y_0) функция такая, что
$$
f_{1}(y_{0})=f'(y_{0}).label{ref15}
$$

Так как функция (varphi) непрерывна в точке (x_{0}), то
$$
existsdelta_{1}=delta_{1}(delta) > 0: forall xin U_{delta_{1}}(x_{0})rightarrowvarphi(x)in U_{delta}(y_{0}).nonumber
$$
Поэтому, подставляя в равенство eqref{ref14} (varphi(x)) вместо (y), получим равенство
$$
z=f(varphi(x))=f(y_{0})+f_{1}(varphi(x))(varphi(x)-varphi(x_{0})),label{ref16}
$$
справедливое для всех (x in U_{delta_{1}}(x_{0})). Но
$$
varphi(x)-varphi(x_{0})=varphi_{1}(x)(x-x_{0}),label{ref17}
$$
где (varphi_{1}) — непрерывная в точке (x_{0}) функция такая, что
$$
varphi_{1}(x_{0})=varphi'(x_{0}).label{ref18}
$$
Из eqref{ref16} и eqref{ref17} следует, что
$$
z(x)=z(x_{0})+f_{1}(varphi(x))varphi_{1}(x)(x-x_{0}),label{ref19}
$$
где (z_1=f_{1}(varphi(x))varphi_{1}(x)) — непрерывная в точке (x_0) и такая, что
$$
z_{1}(x_{0})=f_{1}(varphi(x_{0}))varphi_{1}(x_{0})=f_{1}(y_{0})varphi'(x_{0})=f'(varphi(x_{0}))varphi'(x_{0})label{ref20}
$$
в силу eqref{ref15} и eqref{ref18}.

По теореме 1 из eqref{ref19} и eqref{ref20} следует, что существует (z'(x_0)) и справедливо равенство eqref{ref13}. (bullet)

Следствие.

Дифференциал функции (y=f(x)) имеет один и тот же вид
$$
dy=f'(x)dxlabel{ref21}
$$
как в случае, когда (x) — независимое переменное, так и в случае, когда (x) — дифференцируемая функция какого-либо другого переменного.

(circ) Пусть (x=varphi(t)) — дифференцируемая функция переменного (t), тогда (y=f(varphi(t))=z(t)). По правилу дифференцирования сложной функции
$$
z'(t)=f'(varphi(t))varphi'(t),nonumber
$$
откуда по определению дифференциала
$$
dy=z'(t)dt=f'(varphi(t))varphi'(t)dt.nonumber
$$

Так как (varphi'(t)dt=dx), то (dy=f'(varphi(t))dvarphi(t)=f'(x)dx), то есть формула eqref{ref21} остается справедливой при замене (x) на (varphi(t)). Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала. (bullet)

Замечание 4.

Правило дифференцирования сложной функции (f(varphi(x))) обычно записывается в виде
$$
(f(varphi(x)))’=f'(varphi(x))varphi'(x).nonumber
$$
Опуская аргумент и используя обозначение производной, правило дифференцирования сложной функции (z=f(y)=f(varphi(x))) можно записать так:
$$
frac{dz}{dx}=frac{dz}{dy}frac{dy}{dx}nonumber
$$
или
$$
z_{x}’=z_{y}’y_{x}’.nonumber
$$
Правило вычисления производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например, если функции (x(t),;y(x),;z(y)) дифференцируемы соответственно в точках (t_{0},x_{0}=x(t_{0}),y_{0}=y(x_{0})), то в точке (t_0) сложная функция (z=z(y)=z(y(x))=z(y(x(t)))) дифференцируема и имеет место равенство
$$
frac{dz}{dt}=frac{dz}{dy}frac{dy}{dx}frac{dx}{dt}.nonumber
$$

Пример 3.

Доказать формулы

  1. $$
    (operatorname{sh}x)’=operatorname{ch}x,nonumber
    $$
  2. $$
    (operatorname{ch}x)’=operatorname{sh}x,nonumber
    $$
  3. $$
    (operatorname{th} x)’= frac{1}{operatorname{ch}^{2}x},label{ref22}
    $$
  4. $$
    (operatorname{cth} x)’=-frac{1}{operatorname{sh}^{2}x}.label{ref23}
    $$

Решение.

(triangle) Гиперболические функции задаются следующими формулами:
$$
operatorname{sh}x=frac{e^{x}-e^{-x}}{2},quadoperatorname{ch} x=frac{e^{x}+e^{-x}}{2},quadoperatorname{th}x=frac{operatorname{sh}x}{operatorname{ch}x},quadoperatorname{ctg}x=frac{operatorname{ch}x}{operatorname{sh}x}.nonumber
$$

  1. Применяя теорему 1 и теорему 3, получаем
    $$
    (operatorname{sh}x)’= frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}(-1))= operatorname{ch}xnonumber
    $$
    Аналогично доказывается, что ((operatorname{ch}x)’=operatorname{sh}x).
  2. Используя правило дифференцирования частного, получаем
    $$
    (operatorname{th}x)’=frac{(operatorname{sh}x)’ operatorname{ch}-operatorname{sh}x(operatorname{ch}x)’}{operatorname{ch}^{2}x}=frac{operatorname{ch}^{2}x-operatorname{sh}^{2}x}{operatorname{ch}^{2}x},nonumber
    $$
    откуда следует равенство eqref{ref22}, так как (operatorname{ch}^{2}x-operatorname{sh}^{2}x=1). Аналогично доказывается формула eqref{ref23}. (blacktriangle)

Пример 4.

Доказать, что если (a > 0, aneq 1), то
$$
(log_{a}|x|)’=frac{1}{xln a},quad xneq 0.label{ref24}
$$

Решение.

(triangle) Пусть (x > 0), тогда (|x|=x) и (log_{a}|x|=log_{a}x). В S14 (формула(9)) было доказано, что
$$
(log_{a}x)’=frac{1}{xln a},quad x>0,label{ref25}
$$
то есть формула eqref{ref24} верна при (x > 0).

Пусть (x < 0), тогда(-x > 0) и (log_{a}|x|=log_{a}(-x)).

Применяя формулу eqref{ref25} и правило дифференцирования сложной функции, получаем
$$
(log_{a}(-x))’=frac{1}{(-x)ln a}(-1)=frac{1}{xln a},nonumber
$$
то есть формула eqref{ref24} верна и при (x;<;0). Из формулы eqref{ref24} при (a=e) получаем
$$
(ln|x|)’=frac{1}{x},quad xneq 0.quad blacktrianglelabel{ref26}
$$

Дадим теперь сводку формул для производных элементарных функций

  1. $$
    (C)’=0,quad C=operatorname{const}.nonumber
    $$
  2. $$
    begin{array}{c}
    (x^{alpha})’=alpha x^{alpha-1}, alphainmathbb{R}, x>0;\
    (x^{n})’=nx^{n-1}, ninmathbb{N}, xinmathbb{R}.
    end{array}nonumber
    $$
  3. $$
    begin{array}{c}
    (x^{alpha})’=alpha x^{alpha-1} alphainmathbb{R}, x>0;\
    (x^{n})’=nx^{n-1}, ninmathbb{N}, xinmathbb{R}.
    end{array}nonumber
    $$
  4. $$
    begin{array}{c}
    (log_{a}x)’=frac{1}{xln a}, a>0, aneq 1, x>0;\
    (log_{a}|x|)’=frac{1}{xln a}, a>0, aneq 1, xneq 0;\
    (ln x)’=frac{1}{x}, x>0;quad(ln|x|)’=frac{1}{x}, xneq 0.
    end{array}nonumber
    $$
  5. $$
    (sin x)’=cos x, xinmathbb{R};nonumber
    $$
  6. $$
    (cos x)’=-sin x, xinmathbb{R};nonumber
    $$
  7. $$
    (operatorname{tg} x)’=frac{1}{cos^2x}, xneq frac{pi}{2}+pi n, ninmathbb{Z};nonumber
    $$
  8. $$
    (operatorname{ctg} x)’=-frac{1}{sin^2x}, xneq pi n, ninmathbb{Z};nonumber
    $$
  9. $$
    (operatorname{arcsin}x)’=frac{1}{sqrt{1-x^2}}, left|xright|<1;nonumber
    $$
  10. $$
    (operatorname{arccos}x)’=-frac{1}{sqrt{1-x^2}}, left|xright|<1nonumber
    $$
  11. $$
    (operatorname{arctg}x)’=frac{1}{1+x^2}, xinmathbb{R}nonumber
    $$
  12. $$
    (operatorname{sh}x)’=operatorname{ch}x, xinmathbb{R}nonumber
    $$
  13. $$
    (operatorname{ch}x)’=operatorname{sh}x, xinmathbb{R}nonumber
    $$
  14. $$
    (operatorname{th}x)’=frac{1}{operatorname{ch}^2x}, xinmathbb{R}nonumber
    $$
  15. $$
    (operatorname{cth}x)’=-frac{1}{operatorname{sh}^2x}, xneq 0nonumber
    $$

Пример 5.

Доказать, что если (varphi) — дифференцируемая в точке (x) функция и (varphi(x)neq 0), то
$$
(lnleft(left|varphi(x)right|right))’=frac{varphi'(x)}{varphi(x)}label{ref27}
$$

Решение.

(triangle)Применяя формулу для произведения логарифмической функции и теорему 3, получаем формулу eqref{ref27}. Выражение в правой части этой формулы называют логарифмической производной функции (varphi).(blacktriangle)

Пример 6.

Найти (f'(x)), если функция (f(x)) задана следующей формулой:

  • (f(x) = 2sin{2x});
  • (f(x) = e^{-x^2}ln(1+x^2));
  • (f(x)=displaystylefrac{sqrt{1-x^2}}{operatorname{arcsin}(cos x)}, 0leq x < 1);
  • (f(x)=displaystyleoperatorname{arctg}frac{x-1}{x+1}2^{operatorname{tg}^3(operatorname{sh} 4x)});

Решение.

  1. (f'(x) = (2sin 2x)’ = 4 cos 2x);
  2. (f'(x) = -2xe^{-x^2}operatorname{ln}(1+x^3)+e^{-x^2}displaystylefrac{3x^2}{1+x^3});
  3. (f'(x) = frac{-displaystylefrac{2x}{2sqrt{1-x^2}}operatorname{arcsin}(cos x) — sqrt{1-x^2}frac{1}{sqrt{1-cos^2x}}(-sin x)}{displaystyle(operatorname{arcsin}(cos x))^2}=\ =frac{displaystyle 1-x^2-xoperatorname{arcsin}(cos x)}{displaystylesqrt{1-x^2}(operatorname{arcsin}(cos x))^2})
  4. (f'(x)=frac1{1+left({displaystylefrac{x-1}{x+1}}right)^2}frac2{(x+1)^2}2^{operatorname{tg}^3(operatorname{sh};4x)}+\+operatorname{arctg};frac{x-1}{x+1}2^{operatorname{tg}^3(operatorname{sh};4x)}3ln;2operatorname{tg}^2(operatorname{sh};4x)frac{4;operatorname{ch};4x}{cos^2(operatorname{sh};4x)}=\=2^{operatorname{tg}^3(operatorname{sh};4x)}left(frac1{1+x^2}+frac{12ln;2operatorname{tg}^2(operatorname{sh};4x)operatorname{ch};4x}{cos^2(operatorname{sh};4x)}operatorname{arctg}frac{x-1}{x+1}right));

Пример 7.

Найти производную показательно-степенной функции (z = u(x)^{v(x)}), где (u), (v) — функции, дифференцируемые в точке (x), причем (u(x) > 0).

Решение.

(triangle) Так как (z=e^{v(x)ln u(x)}), то функция (z) дифференцируема как суперпозиция дифференцируемых функций. Дифференцируя тождество (ln z=v(x)ln u(x)) , получаем (displaystyle frac{z’}{z}=v’ln u+vfrac{u’}{u}), откуда (z’=zleft(v’ln u+ +displaystyle frac{vu’}{u}right)) или
$$
(u^{v})’=u^{v}ln ucdot v’+vu^{v-1}u’.qquadblacktrianglelabel{ref28}
$$

Согласно формуле eqref{ref28} производная функции (u^{v}) равна сумме двух слагаемых таких, что первое равно производной показательной функции (u^{v(x)}) (основание (u) рассматривается как постоянная), a второе равно производной степенной функции ((u(x))^{v}) (показатель (v) рассматривается как постоянная).

Пример 8.

Найти (f'(x)), (g'(x)), если:

  1. (f(x)=x^{x});
  2. (g=x^{x^x}).

Решение.

  1. (triangle) По формуле eqref{ref28} получаем (f'(x)=x^xln x+xx^{x-1}),то есть
    $$
    f'(x)=(x^{x})’=x^x(ln x+1).nonumber
    $$
  2. Так как (g(x)=x^{f(x)}), то, снова применяя формулу eqref{ref28}, находим
    $$
    g'(x)=g(x)ln x f'(x)+f(x)x^{f(x)-1}nonumber
    $$
    или
    $$
    x^{x^{x}}=x^{x^x+x-1}(xln x(ln x+1)+1). blacktrianglenonumber
    $$

Пример 9.

Пусть функция (f) дифференцируема на интервале ((-a, a)). Доказать, что если (f(x)) — четная функция, то ее производная (f'(x)) — нечетная функция; а если (f(x)) — нечетная Функция, то (f'(x)) — четная.

Решение.

(triangle) Пусть (f) — четная функция, тогда
$$
f(-x)equiv f(x),qquad xin(-a,a).nonumber
$$
Дифференцируя это тождество, получаем
$$
-f'(-x)equiv f'(x),qquad xin(-a,a).nonumber
$$
это означает, что (f'(x)) — нечетная функция. Аналогично рассматривается случай, когда (f(x)) — нечетная функция. (blacktriangle)

Общие формулы дифференцирования функций

В этих формулах u и v — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.
(c · u)′ = c · u
(u + v)′ = u ′ + v
(u · v)′ = u ′ · v + u · v
( u ) = u ′ · vu · v
v v2

Производная показательной функции

(ax )′ = ax · ln a

Производные логарифмов

(loga x)′ = 1
x · ln a
(ln x)′ = 1
x

Таблица производных часто встречающихся функций

В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

Функция Формула для производной Название формулы

y = c ,

где c – любое число

y’ = 0 Производная от постоянной функции

y = x c ,

где c – любое число

y’ = c xc – 1 Производная степенной функции
y = e x y’ = e x Производная от экспоненты (показательной функции с основанием e)

y = a x

где a – любое положительное число, не равное 1

y’ = a x ln a Производная от показательной функции с основанием a
y = ln x , x > 0 , x > 0 Производная от натурального логарифма

y = log a x , x > 0

где a – любое положительное число, не равное 1

, x > 0 Производная от логарифма по основанию a
y = sin x y’ = cos x Производная синуса
y = cos x y’ = – sin x Производная косинуса

y = tg x ,

, , Производная тангенса

y = ctg x ,

, , Производная котангенса

y = arcsin x ,

Производная арксинуса

y = arccos x ,

Производная арккосинуса
y = arctg x Производная арктангенса
y = arcctg x Производная арккотангенса
Производная от постоянной функции

Функция:

y = c ,

где c – любое число

Формула для производной:

y’ = 0

Производная степенной функции

Функция:

y = x c ,

где c – любое число

Формула для производной:

y’ = c xc – 1

Производная от экспоненты (показательной функции с основанием e)

Функция:

y = e x

Формула для производной:

y’ = e x

Производная от показательной функции с основанием a

Функция:

y = a x

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

y’ = a x ln a

Производная от натурального логарифма

Функция:

y = ln x , x > 0

Формула для производной:

, x > 0

Производная от логарифма по основанию a

Функция:

y = log a x , x > 0

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

, x > 0

Производная синуса

Функция:

y = sin x

Формула для производной:

y’ = cos x

Производная косинуса

Функция:

y = cos x

Формула для производной:

y’ = – sin x

Производная тангенса

Функция:

y = tg x ,

где

Формула для производной:

,

Производная котангенса

Функция:

y = ctg x ,

где

Формула для производной:

,
Производная арксинуса

Функция:

y = arcsin x ,

Формула для производной:

Производная арккосинуса

Функция:

y = arccos x ,

Формула для производной:

Производная арктангенса

Функция:

y = arctg x

Формула для производной:

Производная арккотангенса

Функция:

y = arcctg x

Формула для производной:

Производные элементарных функций

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные элементарных функций:

Название Функция Производная
Константа f(x) = C, CR 0 (да-да, ноль!)
Степень с рациональным показателем f(x) = x n n · x n − 1
Синус f(x) = sin x cos x
Косинус f(x) = cos x − sin x (минус синус)
Тангенс f(x) = tg x 1/cos2 x
Котангенс f(x) = ctg x − 1/sin2 x
Натуральный логарифм f(x) = ln x 1/x
Произвольный логарифм f(x) = log a x 1/(x · ln a)
Показательная функция f(x) = e x e x (ничего не изменилось)

Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

(C · f)’ = C · f ’.

В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

(2x 3)’ = 2 · (x 3)’ = 2 · 3x 2 = 6x 2.

Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

Производная суммы и разности

Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

  1. (f + g)’ = f ’ + g
  2. (fg)’ = f ’ − g

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность fg можно переписать как сумму f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функция f(x) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;

Аналогично рассуждаем для функции g(x). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).

Ответ:
f ’(x) = 2x + cos x;
g ’(x) = 4x · (x 2 + 1).

Источники


  • http://www.mathprofi.ru/opredelenie_proizvodnoi_smysl_proizvodnoi.html
  • https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/12686
  • https://www.calc.ru/Proizvodnaya-Funktsii.html
  • https://univerlib.com/mathematical_analysis/derivative/differential_rules/
  • https://1cov-edu.ru/mat_analiz/proizvodnaya/nayti/slozhnaya-funktsiya/
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/derivative_table/
  • https://www.resolventa.ru/spr/matan/derivative_rule.htm
  • https://www.berdov.com/docs/fluxion/rules/

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения