Сумма углов треугольника

Виды по величине углов

Различают следующие виды многоугольника с тремя вершинами:

  • остроугольный, у которого все углы острые;
  • прямоугольный, имеющий один прямой угол, при этом стороны, его образующие, называют катетами, а сторона, которая размещена противоположно прямому углу, именуется гипотенузой;
  • тупоугольный, когда один угол тупой
  • равнобедренный, у которого две стороны равные, и называются они боковыми, а третья – основанием треугольника;
  • равносторонний, имеющий все три равные стороны.

Доказательство

Пусть ABC’ — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида). Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

Следствия

Из теоремы следует, что у любого треугольника два угла острые. Действительно, применяя доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих углов не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

Задача 2.

В треугольнике ABC угол A равен , угол C равен , угол C равен На продолжении стороны AB отложен отрезок Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Теорема — чему равны сложенные между собой углы произвольного треугольника?

Теорема гласит — если взять любой треугольник вне зависимости от его вида, сумма всех углов неизменно составит 180 градусов. Доказывается это следующим образом:

  • для примера берут треугольник АВС, через расположенную на вершине точку В проводят прямую линию и обозначают ее, как «а», прямая «а» при этом строго параллельна стороне АС;
  • между прямой «а» и сторонами АВ и ВС обозначают углы, маркируя их цифрами 1 и 2;
  • угол 1 признают равным углу А, а угол 2 — равным углу С, поскольку эти углы считаются накрест лежащими;
  • таким образом, сумма между углами 1, 2 и 3 (который обозначается на месте угла В) признается равной развернутому углу с вершиной В — и составляет 180 градусов.

Если сумма углов, обозначенных цифрами, составляет 180 градусов, то и сумма углов А, В и С признается равной 180 градусам. Это правило верно для любого треугольника.

Свойства

Выделяют основные свойства, которые характерны для каждого вида треугольника:

  • напротив большей стороны всегда располагается больший угол, и наоборот;
  • напротив равных по величине сторон находятся равные углы, и наоборот;
  • у любого треугольника есть два острых угла;
  • внешний угол больше по сравнению с любым внутренним углом, не смежным с ним;
  • сумма каких-либо двух углов всегда меньше 180 градусов;
  • внешний угол равняется сумме остальных двух углов, которые не межуют с ним.

В неевклидовых геометриях

Сферический треугольник
  • На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника. У сферического треугольника могут быть два или даже три прямых или тупых угла.
Пример. Одна вершина треугольника на сфере — северный полюс. Этот угол может иметь значение до 180°. Две другие вершины лежат на экваторе, соответствующие углы равны 90°.
  • В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180° и может быть сколь угодно малой. Разность также пропорциональна площади треугольника.

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема утверждает, что если сложить все углы данной геометрической фигуры, которая расположена на евклидовой плоскости, то их сумма будет составлять 180 градусов. Попробуем доказать данную теорему.

Пускай у нас есть произвольный треугольник с вершинами КМН.

Через вершину М проведем прямую параллельно прямой КН (еще эту прямую называют прямой Евклида). На ней отметим точку А таким образом, чтоб точки К и А были расположены с разных сторон прямой МН. Мы получаем равные углы АМН и КНМ, которые, как и внутренние, лежат накрест и образовываются секущей МН совместно с прямыми КН и МА, которые являются параллельными. Из этого следует, что сумма углов треугольника, расположенных при вершинах М и Н, равняется размеру угла КМА. Все три угла составляют сумму, которая равна сумме углов КМА и МКН. Поскольку данные углы являются внутренними односторонними относительно параллельных прямых КН и МА при секущей КМ, их сумма составляет 180 градусов. Теорема доказана.

Что следует из геометрической теоремы

Принято выделять несколько следствий из приведенной теоремы.

  • Если в задаче рассматривается треугольник с прямым углом, то один из его углов будет по умолчанию равен 90 градусам, а сумма острых углов также составит 90 градусов.
  • Если речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, то его острые углы, в сумме составляющие 90 градусов, по отдельности будут равны 45 градусам.
  • Равносторонний треугольник состоит из трех равных углов, соответственно, каждый из них будет равен 60 градусам, а в сумме они составят 180 градусов.
  • Внешний угол любого треугольника будет равняться сумме между двумя внутренними углами, не прилегающими к нему.

Можно вывести следующее правило — в любом из треугольников есть как минимум два острых угла. В некоторых случаях треугольник состоит из трех острых углов, а если их только два, то третий угол будет тупым либо прямым.

Также нужно знать, что предусмотрены специальные названия для сторон прямоугольных треугольников. «Длинная» сторона, которая расположена напротив прямого угла, называется гипотенузой, а оставшиеся «короткие» стороны носят название катетов. В последующих темах геометрии эти названия упоминаются очень часто.

Треугольник. Свойство внешнего угла треугольника.

Результат сложения двух внутренних углов треугольника будет равняться внешнему углу, не смежному с ними. Треугольник. Свойство внешнего угла треугольника.

Калькуляторы по геометрии

Помощь в решении задач по геометрии, учебник онлайн (все калькуляторы по геометрии). Калькуляторы по геометрии

Свойство внешних углов

Чему равна сумма углов треугольника, которые являются внешними? Ответ на этот вопрос можно получить, применив один из двух способов. Первый заключается в том, что необходимо найти сумму углов, которые взяты по одному при каждой вершине, то есть трех углов. Второй подразумевает, что нужно найти сумму всех шести углов при вершинах. Для начала разберемся с первым вариантом. Итак, треугольник содержит шесть внешних углов – при каждой вершине по два.

Каждая пара имеет равные между собой углы, поскольку они являются вертикальными:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Кроме этого, известно, что внешний угол у треугольника равняется сумме двух внутренних, которые не межуются с ним. Следовательно,

∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.

Из этого получается, что сумма внешних углов, которые взяты по одному возле каждой вершины, будет равна:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).

С учетом того, что сумма углов равняется 180 градусам, можно утверждать, что ∟А + ∟В + ∟С = 180°. А это значит, что ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180° = 360°. Если же применяется второй вариант, то сумма шести углов будет, соответственно, большей в два раза. То есть сумма внешних углов треугольника будет составлять:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Задача 10.

В треугольнике  угол  равен  120 Найдите сторону ав.

Решение: + показать

Прямоугольный треугольник

Чему равняется сумма углов прямоугольного треугольника, являющихся острыми? Ответ на этот вопрос, опять же, вытекает из теоремы, которая утверждает, что углы в треугольнике в сумме составляют 180 градусов. А звучит наше утверждение (свойство) так: в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 градусов. Докажем его правдивость.

Пускай нам дан треугольник КМН, у которого ∟Н = 90°. Необходимо доказать, что ∟К + ∟М = 90°.

Итак, согласно теореме о сумме углов ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. В нашем условии сказано, что ∟Н = 90°. Вот и получается, ∟К + ∟М + 90° = 180°. То есть ∟К + ∟М = 180° – 90° = 90°. Именно это нам и следовало доказать.

В дополнение к вышеописанным свойствам прямоугольного треугольника, можно добавить и такие:

  • углы, которые лежат против катетов, являются острыми;
  • гипотенуза треугольна больше любого из катетов;
  • сумма катетов больше гипотенузы;
  • катет треугольника, который лежит напротив угла 30 градусов, в два раза меньше гипотенузы, то есть равняется ее половине.

Как еще одно свойство данной геометрической фигуры можно выделить теорему Пифагора. Она утверждает, что в треугольнике с углом 90 градусов (прямоугольном) сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы.

Источники


  • https://FB.ru/article/150393/summa-uglov-treugolnika-teorema-o-summe-uglov-treugolnika
  • https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/132967
  • https://egemaximum.ru/ravnobedrennyj-treugolnik-vychislenie-uglov-i-dlin/
  • http://infoogle.ru/summa_uglov_treugolnika_chemu_ona_ravna.html
  • https://wikipedia.tel/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B5_%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%BE%D0%B2_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0
  • https://www.calc.ru/Summa-Vnutrennikh-Uglov-Treugolnika.html

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: