Удивительные факты о кубах чисел, которые вы не слышали. Возвести в куб степень как возвести число в куб

Содержание

Как появилось понятие куб числа?
Степень с натуральным показателем
Теория
Возвести в куб онлайн
Дополнительная информация
Таблица кубов чисел от 1 до 100
Степень числа и ее особенные свойства
Геометрический смысл
Возведите в куб сумму a b
Кубы чисел от 10 до 99
Вывод формулы
Как возвести в куб многочлен
Таблица кубов
Некоторые свойства
Степень с целым показателем
Возведение двузначных чисел в куб
Возведите в куб разность a b

Как появилось понятие куб числа?

Древнегреческие математики оперировали так называемыми фигурными числами – числами, которые можно представить в виде фигуры. Выделялись, например:

треугольные
квадратные
пятиугольные числа и т.д.

Кубические числа выделялись в особый вид фигурных чисел, поскольку куб числа x равен объёму куба с длиной ребра, равной x.

Вообще, фигурные числа – интереснейшая тема. Ставьте лайки этому материалу, если хотите узнать о них больше!

Последовательность кубов натуральных чисел выглядит так

Полезно будет запомнить, хотя бы те, что меньше тысячи. Особенно мне нравится число 729. Посмотрите:

729 равно 9 в кубе;
729 равно 3 в шестой степени;
729 равно 27 в квадрате, что очень сильно нравилось пифагорейцам. Например, Платон считал, что количество ночей и дней в году равняется 729 (364, 5 на каждое время суток). Кроме того, он считал, что жизнь царя должна длиться 729 месяцев (около 67 лет).

Еще несколько интересных свойств кубов чисел:

1728 является количеством кубических дюймов в кубическом футе;

1728 – единственный композиториал, являющийся одновременно кубом числа. Композиториал – это факториал (о нем я достаточно интересно уже писал), деленный на праймориал – последовательность произведения простых чисел, меньше данного.

Есть четыре простых числа, меньших 9 : 2,3,5,7

216 является наименьшим кубом, который представим в виде суммы трёх других кубов: 3, 4 и 5;
Число 216 связано с тремя последовательными стихами Второй книги Моисея 14:19, 14:20 и 14:21. Каждый из этих стихов содержит в себе 72 буквы, что в сумме даёт 216 .
каждое натуральное число представимо как сумма не более девяти кубических чисел – гипотеза Поллока. доказанная в 20 веке.

Вот так, к слову выглядит формула вычисления суммы первых кубов чисел:

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, $\text{[math]}$ .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

$\text{[math]}$ .

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

$\text{[math]}$ .

Возвести число в натуральную степень $\text{[math]}$ — значит умножить его само на себя $\text{[math]}$ раз:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Теория

Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью:

6³ = 6 × 6 × 6 = 216

Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе».

Возвести в куб онлайн

Прежде чем приступать к возведению числа в куб, хочу сказать, что у нас есть калькулятор, который сделал совсем недавно! И он умеет не только возводить в куб(а это на минуточку – 3 степень числа) – но и в любую степнь

Как возвести число в куб онлайн!? Введите нужное число, которое требуется возвести в куб и нажмите возвести в куб. Справа от равно появится число, которое возвели в куб
Ну и далее пробежимся по нескольким поисковым запросам, которые так или иначе вы задаете в строке поиска!

Дополнительная информация

Квадратом числа называют произведение двух одинаковых множителей.

Мы уже пробовали находить квадраты первого десятка натуральных чисел.

Возводить двузначные числа, трехзначные и т.д. числа немного сложнее, главное хорошо знать и помнить таблицу умножения чисел.

Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.

1) Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы.

2) Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ).

3) Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25).

4) Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ.

Рассмотрим поясняющий пример.

Найдем квадрат 65.

65² = 65 ∙ 65

Первая цифра в числе 65– это цифра 6, следовательно, нам необходимо найти произведение 6 и суммы 6 + 1.

6 ∙ (6 + 1) = 6 ∙ 7 = 42

Запишем число 42 и припишем к нему число 25.

65² = 4225

Проверим: Так как квадрат числа- это произведение двух одинаковых множителей 65² = 65 ∙ 65, то

65² = 65 ∙ 65 = 4225

Получили все тот же ответ: 65² = 4225

Таблица кубов чисел от 1 до 100

1² = 1

2² = 8

3² = 27

4² = 64

5² = 125

6² = 216

7² = 343

8² = 512

9² = 729

10² = 1000

11² = 1331

12² = 1728

13² = 2197

14² = 2744

15² = 3375

16² = 4096

17² = 4913

18² = 5832

19² = 6859

20² = 8000

21² = 9261

22² = 10648

23² = 12167

24² = 13824

25² = 15625

26² = 17576

27² = 19683

28² = 21952

29² = 24389

30² = 27000

31² = 29791

32² = 32768

33² = 35937

34² = 39304

35² = 42875

36² = 46656

37² = 50653

38² = 54872

39² = 59319

40² = 64000

41² = 68921

42² = 74088

43² = 79507

44² = 85184

45² = 91125

46² = 97336

47² = 103823

48² = 110592

49² = 117649

50² = 125000

51² = 132651

52² = 140608

53² = 148877

54² = 157464

55² = 166375

56² = 175616

57² = 185193

58² = 195112

59² = 205379

60² = 216000

61² = 226981

62² = 238328

63² = 250047

64² = 262144

65² = 274625

66² = 287496

67² = 300763

68² = 314432

69² = 328509

70² = 343000

71² = 357911

72² = 373248

73² = 389017

74² = 405224

75² = 421875

76² = 438976

77² = 456533

78² = 474552

79² = 493039

80² = 512000

81² = 531441

82² = 551368

83² = 571787

84² = 592704

85² = 614125

86² = 636056

87² = 658503

88² = 681472

89² = 704969

90² = 729000

91² = 753571

92² = 778688

93² = 804357

94² = 830584

95² = 857375

96² = 884736

97² = 912673

98² = 941192

99² = 970299

100² = 1000000

Степень числа и ее особенные свойства

Степень обладает рядом свойств, которые подробно вы будете рассматривать и доказывать в старших классах.

Сейчас мы познакомимся с некоторыми особенными свойствами степеней.

1. Любое число в первой степени равно этому же числу.

Первая степень числа а равна числу а.

В буквенном виде данное свойство запишем так:

а¹ = а

Данная запись означает, что основание степени необходимо взять в качестве множителя один раз.

Например,

5¹ = 5, 127¹ = 127, 1004¹ = 1004, 123456¹ = 123456 и т.д.

Соответственно и единица в первой степени всегда равна единице: 1¹ = 1.

2. Любое натуральное число в нулевой степени равно единице.

а⁰ = 1

Например,

5⁰ = 1, 127⁰ = 1, 10⁰ = 1, 123456⁰ = 1 и т.д.

3. Ноль в любой степени равен нулю: 0ⁿ = 0.

На самом деле, по известному нам определению степени, 0 является основанием, n– показатель степени, указывающий сколько раз повторяется основание степени.

Таким образом получаем следующее равенство:

Например,

0¹²⁸ = 0

0¹⁵⁰⁰⁰ = 0

Слово «степень», порой, встречается в вашей повседневной жизни.

Степенные выражения используют в различных областях знаний, в науке и технике.

Часто приходится при расчетах и измерении встречаться с очень большими и очень маленькими числами.

С такими числами неудобно работать: выполнять различные действия и вычисления.

Иногда числа удобно представить в виде степени, записывая их, например, в стандартном виде.

Стандартный вид числа обобщенно можно записать так:

а ∙ 10ⁿ

В данной записи число (а), которое умножается на 10 в какой-либо степени, должно быть больше единицы или равно ей и быть меньше десяти.

Пример.

200000 = 2 ∙ 10⁵

8000000000000 = 8 ∙ 10¹²

500 = 5 ∙ 10²

Однозначное число, записанное в стандартном виде, будет равно самому себе, умноженному на десять в нулевой степени.

а = а ∙ 10⁰ = а ∙ 1 = а

Пример.

2 = 2 ∙ 10⁰ = 2 ∙ 1 = 2

5 = 5 ∙ 10⁰ = 5 ∙ 1 = 5

8 = 8 ∙ 10⁰ = 8 ∙ 1 = 8

Число десять представляют в стандартном виде, как произведение единицы и 10 в первой степени.

10 = 1 ∙ 10¹ = 1 ∙ 10 = 10

Изучая разряды и классы чисел, мы только лишь упоминали о больших и гигантских числах.

Известно, например, что один миллион записывается как единица и шесть нулей после нее.

В стандартном виде миллион запишем так:

1000000 = 1 ∙ 10⁶.

Миллиард записывается следующим образом: единица и девять нулей после нее.

В стандартном виде миллиард запишем так:

1000000000 = 1 ∙ 10⁹

Триллион представляет собой единицу и двенадцать нулей после нее.

В стандартном виде триллион запишем так:

1000000000000 = 1 ∙ 10¹².

Самое большое число, которое называется «гугол», в десятичной системе исчисления изображается в виде единицы со ста нулями, записывают 10¹⁰⁰ (десять в степени сто).

Часто при решение различных задач удобно записывать числа сокращенно, с помощью степеней.

Пример.

24000 = 24 ∙ 10³

350000 = 35 ∙ 10⁴

24500000 = 245 ∙ 10⁵

Однако, при этом эти числа не будут относится к числам, записанным в стандартном виде, так как 24 > 10, 35 > 10, 245 > 10.

Многозначные числа, представленные в виде степени используют, например, в физике и астрономии, географии и биологии, информатике, медицине, экономике и т.д.

Приведем несколько занимательных примеров из разных областей знаний.

Расстояние от планета Земля до Солнца примерно 1495 ∙ 10⁵ км.

Расстояние от Луны до Земли 384 ∙ 10³ км.

Площадь Мирового океана примерно равна 36126 ∙ 10⁴ км²

Общая площадь всех материков и островов на Земном шаре примерна равна 149 ∙ 10⁶ км²

Общая длина всех кровеносных сосудов в организме взрослого человека примерна равна 1 ∙ 10⁵ км.

Общее число волос на теле человека , не считая головы, насчитывается около 2 ∙ 10⁴.

Тело взрослого человека за день перекачивает около 10⁴ литров крови.

Скорее всего вам знакомы такие слова: гигабайт, мегабайт, байт, бит.

Это все единицы измерения количества информации.

На битах строится вся работа компьютера, электронной и цифровой техники.

Бит сама по себе маленькая величина, поэтому существуют кратные ей единицы.

2³ бит = 8 бит = 1 байт.

Один килобайт (1Кб) = 2¹⁰ байт = 1024 байт

Один мегабайт (1Мб) = 2¹⁰ Кб = 1024 Кб

Один гигабайт (1Гб) = 2¹⁰ Мб = 1024 Мб

Один терабайт (1Тб) = 2¹⁰ Гб = 1024 Гб

Геометрический смысл

Куб числа равен объёму куба с длиной ребра, равной этому числу.

Возведите в куб сумму a b

(a + b)³ = (a + b)*(a + b)*(a + b) = (a² + 2ba + b²) *(a + b) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab³ + b³

Кубы чисел от 10 до 99


ДЕСЯТКИ	ЕДИНИЦЫ
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1000	1331	1728	2197	2774	3375	4096	4913	5832	8659
2	8000	9261	10648	12167	13824	15625	17576	19683	21952	24389
3	27000	29791	32768	35937	39304	42875	46656	50653	54872	59319
4	64000	68921	74088	79507	85184	91125	97336	103823	110592	117649
5	125000	132651	140608	148877	157464	166375	175616	185193	195112	205379
6	216000	226981	238328	250047	262144	274625	287496	300763	314432	328509
7	343000	357911	373248	389017	405224	421875	438976	456533	474552	493039
8	512000	531441	551368	571787	592704	614125	636056	658503	681472	704969
9	729000	753571	778688	804357	830584	857375	884736	912673	941192	970299

Как пользоваться таблицей:

В первом столбце указаны десятки, в самой верхней строке – единицы. Куб конкретного числа находится на пересечении нужных десятков и единиц.

Допустим, необходимо найти куб числа 64. В столбце с десятками мы ищем цифру 6, в строке с единицами – цифру 4. Их пересечение соответствует числу 262144 – ответ, который и требовалось найти.

Вывод формулы

Формулу суммы кубов можно вывести, используя таблицу умножения и формулу суммы арифметической прогрессии^[2]. Рассматривая в качестве иллюстрации метода две таблицы умножения 5×5, проведём рассуждения для таблиц размером n×n.

Таблица умножения и кубы чисел
×	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

Таблица умножения и арифметическая прогрессия
×	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

Как возвести в куб многочлен

Рассмотрим пример. Необходимо возвести в куб многочлен.

Используем формулу куба суммы. Только вместо «a» у нас будет «x», а вместо «b» будет «2y».

Часто возводят многочлен в куб следующим образом:

Это неверно! Для возведения многочлена в куб необходимо использовать формулу сокращенного умножения: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Таблица кубов

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729
1	1000	1331	1728	2197	2744	3375	4096	4913	5832	6859
2	8000	9261	10648	12167	13824	15625	17576	19683	21952	24389
3	27000	29791	32768	35937	39304	42875	46656	50653	54872	59319
4	64000	68921	74088	79507	85184	91125	97336	103823	110592	117649
5	125000	132651	140608	148877	157464	166375	175616	185193	195112	205379
6	216000	226981	238328	250047	262144	274625	287496	300763	314432	328509
7	343000	357911	373248	389017	405224	421875	438976	456533	474552	493039
8	512000	531441	551368	571787	592704	614125	636056	658503	681472	704969
9	729000	753571	778688	804357	830584	857375	884736	912673	941192	970299

Некоторые свойства

В десятичной записи куб может кончаться на любую цифру (в отличие от квадрата)
В десятичной записи две последние цифры куба могут быть 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Зависимость предпоследней цифры куба от последней можно представить в виде следующей таблицы:

последняя цифра	предпоследняя цифра
0	0
5	2, 7
4, 8	чётная
2, 6	нечётная
1, 3, 7, 9	любая

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

$\text{[math]}$ .

Это верно для $\text{[math]}$ . Выражение 0⁰ не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

$\text{[math]}$

Конечно, все это верно для $\text{[math]}$ , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

$\text{[math]}$

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

$\text{[math]}$

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — целое, $\text{[math]}$ — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень $\text{[math]}$ -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа $\text{[math]}$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $\text{[math]}$ .

Согласно определению, $\text{[math]}$

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение $\text{[math]}$ для нас сейчас имеет смысл только при $\text{[math]}$ .

Выражение $\text{[math]}$ всегда неотрицательно, т.е. $\text{[math]}$ . Например, $\text{[math]}$ .

Свойства арифметического квадратного корня:

$\text{[math]}$

Возведение двузначных чисел в куб

Возведение в уме двузначного числа X в куб (третью степень) удобно производить по формуле: Х³=(X+Y)X(X-Y)X+XY²*, где Y – число, на которое нужно уменьшить или увеличить число X, чтобы получить округлённое до десятков (заканчивающееся на 0) число.

Задача: 13³

Решение:

Круглое число получается при вычитании 3 из 13. Поэтому за Y принимаем число 3. (X+Y) = 13 + 3 = 16 (X-Y) = 13 – 3 = 10 Подставляем полученные числа в формулу:

13³ = 16 x 13 x 10 + 13 x 3²

Умножение 16 на 13 удобно выполнить с помощью факторизации числа 16.

16 x 13 x 10 = 13 x 4 x 4 x 10 = 52 x 4 x 10 = 208 x 10 = 2080

13 x 3³ = 13 x 9 = 117

2080 + 117 = 2197

Задача: 45³

Решение:

453 = 50 x 45 x 40 + 45 x 5²

50 x 45 x 40 = 45 x 40 x 50 = 1800 x 50 = 90000

45 x 5² = 45 x 5 x 5 = 225 x 5 = 1125

90000 + 1125 = 91125

Задача: 69³

Решение:

69³ = 70 x 69 x 68 + 69 x 1²

Так как числа 69 и 68 близки к круглому числу 70, то их удобно перемножить с помощью формулы (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между круглым числом и перемножаемыми числами (см. урок 10).

68 x 69 = (70 – 2) x (70 – 1) = (70 – 2 – 1) x 70 + 2 x 1 = 67 x 70 + 2 x 1 = 4690 + 2 = 4692

4692 x 70 = 4692 x 70 = 328440 (см. урок 13)

69 x 1² = 69 x 1 = 69

328440 + 69 = 328509

Задача: 92³

Решение:

92³ = 94 x 92 x 90 + 92 x 2²

Так как числа 94 и 92 близки к круглому числу 90, то их можно перемножить с помощью формулы (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между перемножаемыми числами и круглым числом (см. урок 10).

94 x 92 = (90 + 4) x (90 + 2) = (90 + 4 + 2) x 90 + 4 x 2 = 96 x 90 + 4 x 2 = 8640 + 8 = 8648

8648 x 90 = 778320 (см. урок 13)

92 x 2² = 92 x 4 = 368

778320 + 368 = 778688

Задача: 96³

Решение:

96³ = 100 x 96 x 92 + 96 x 4²

Перемножить 96 и 92 можно следующими способами (в порядке снижения сложности):

1) Обычное перемножение слева направо: 96 x 92 = 96 x 90 + 96 x 2 = 8640 + 192 = 8832

2) Метод вычитания: 92 x (100 – 4) = 9200 – 368 = 8832

3) С использованием факторизации: 92 x 6 x 4 x 4 = 552 x 4 x 4 = 2208 x 4 = 8832

4) Вычисление по формуле (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab: 96 x 92 = (90 + 6) x (90 + 2) = (90 + 6 + 2) x 90 + 6 x 2 = 98 x 90 + 6 x 2 = 8820 + 12 = 8832

5) Вычисление по формуле (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab: 96 x 92 = (100 – 4) x (100 – = (100 – 4 – x 100 + 4 x 8 = 88 x 100 + 4 x 8 = 8800 + 32 = 8832

8832 x 100 = 883200

Операцию 4² x 96 также можно выполнить несколькими методами, включая:

1) С использованием факторизации: 4² x 96 = 96 x 4 x 4 = 384 x 4 = 1536

2) Метод вычитания: 4² x 96 = 16 x (100 – 4) = 1600 – 64 = 1536

883200 + 1536 = 884736

* Формула получена путём умножения формулы для квадрата числа X (из урока 11) на число X: X³=X²X=((X+Y)(X-Y)+Y²)X=(X+Y)X(X-Y)+XY²

Возведите в куб разность a b

(a – b)³ = (a – b)*(a – b)*(a – b) = (a² – 2ab + b²) *(a – b) = a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³ = a³- 3a²b + 3ab³ – b³

Источники

https://zen.yandex.ru/media/mathematic/udivitelnye-fakty-o-kubah-chisel-kotorye-vy-ne-slyshali-5ed8911f005e4764bbb7ed4e
https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/korni-i-stepeni/
https://doza.pro/art/math/algebra/table-cubes
http://axmara.narod.ru/_page/matematika/0111_kak_vozvesti_chislo_v_kub.html
https://ladle.ru/education/matematika/5class/stepen-chisla
https://ru.onlinemschool.com/math/formula/cube_table/
https://wiki.monavista.ru/%D0%9A%D1%83%D0%B1_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)
https://MicroExcel.ru/kuby-chisel/
http://math-prosto.ru/?page=pages/how_to_use_formulas_of_abridged_multiplication/cube_of_sum.php
https://drdo.ru/mentalnaya-arifmetika/vozvedenie-dvuznachnyh-chisel-v-kub/