- Как появилось понятие куб числа?
- Степень с натуральным показателем
- Теория
- Возвести в куб онлайн
- Дополнительная информация
- Таблица кубов чисел от 1 до 100
- Степень числа и ее особенные свойства
- Геометрический смысл
- Возведите в куб сумму a b
- Кубы чисел от 10 до 99
- Вывод формулы
- Как возвести в куб многочлен
- Таблица кубов
- Некоторые свойства
- Степень с целым показателем
- Возведение двузначных чисел в куб
- Возведите в куб разность a b
Как появилось понятие куб числа?
Древнегреческие математики оперировали так называемыми фигурными числами – числами, которые можно представить в виде фигуры. Выделялись, например:
- треугольные
- квадратные
- пятиугольные числа и т.д.
Кубические числа выделялись в особый вид фигурных чисел, поскольку куб числа x равен объёму куба с длиной ребра, равной x.
Вообще, фигурные числа – интереснейшая тема. Ставьте лайки этому материалу, если хотите узнать о них больше!
Последовательность кубов натуральных чисел выглядит так
Полезно будет запомнить, хотя бы те, что меньше тысячи. Особенно мне нравится число 729. Посмотрите:
- 729 равно 9 в кубе;
- 729 равно 3 в шестой степени;
- 729 равно 27 в квадрате, что очень сильно нравилось пифагорейцам. Например, Платон считал, что количество ночей и дней в году равняется 729 (364, 5 на каждое время суток). Кроме того, он считал, что жизнь царя должна длиться 729 месяцев (около 67 лет).
Еще несколько интересных свойств кубов чисел:
- 1728 является количеством кубических дюймов в кубическом футе;
- 1728 – единственный композиториал, являющийся одновременно кубом числа. Композиториал – это факториал (о нем я достаточно интересно уже писал), деленный на праймориал – последовательность произведения простых чисел, меньше данного.
- 216 является наименьшим кубом, который представим в виде суммы трёх других кубов: 3, 4 и 5;
- Число 216 связано с тремя последовательными стихами Второй книги Моисея 14:19, 14:20 и 14:21. Каждый из этих стихов содержит в себе 72 буквы, что в сумме даёт 216 .
- каждое натуральное число представимо как сумма не более девяти кубических чисел – гипотеза Поллока. доказанная в 20 веке.
Вот так, к слову выглядит формула вычисления суммы первых кубов чисел:
Степень с натуральным показателем
Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.
По определению, .
Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.
.
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.
.
Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя
раз:
Теория
Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью:
63 = 6 × 6 × 6
= 216
Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе».
Возвести в куб онлайн
Как возвести число в куб онлайн!? Введите нужное число, которое требуется возвести в куб и нажмите возвести в куб. Справа от равно появится число, которое возвели в куб
Ну и далее пробежимся по нескольким поисковым запросам, которые так или иначе вы задаете в строке поиска!
Дополнительная информация
Квадратом числа называют произведение двух одинаковых множителей.
Мы уже пробовали находить квадраты первого десятка натуральных чисел.
Возводить двузначные числа, трехзначные и т.д. числа немного сложнее, главное хорошо знать и помнить таблицу умножения чисел.
Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.
1) Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы.
2) Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ).
3) Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25).
4) Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ.
Рассмотрим поясняющий пример.
Найдем квадрат 65.
652 = 65 ∙ 65
Первая цифра в числе 65– это цифра 6, следовательно, нам необходимо найти произведение 6 и суммы 6 + 1.
6 ∙ (6 + 1) = 6 ∙ 7 = 42
Запишем число 42 и припишем к нему число 25.
652 = 4225
Проверим: Так как квадрат числа- это произведение двух одинаковых множителей 652 = 65 ∙ 65, то
652 = 65 ∙ 65 = 4225
Получили все тот же ответ: 652 = 4225
Таблица кубов чисел от 1 до 100
12 = 1 22 = 8 32 = 27 42 = 64 52 = 125 62 = 216 72 = 343 82 = 512 92 = 729 102 = 1000 |
112 = 1331 122 = 1728 132 = 2197 142 = 2744 152 = 3375 162 = 4096 172 = 4913 182 = 5832 192 = 6859 202 = 8000 |
212 = 9261 222 = 10648 232 = 12167 242 = 13824 252 = 15625 262 = 17576 272 = 19683 282 = 21952 292 = 24389 302 = 27000 |
312 = 29791 322 = 32768 332 = 35937 342 = 39304 352 = 42875 362 = 46656 372 = 50653 382 = 54872 392 = 59319 402 = 64000 |
412 = 68921 422 = 74088 432 = 79507 442 = 85184 452 = 91125 462 = 97336 472 = 103823 482 = 110592 492 = 117649 502 = 125000 |
512 = 132651 522 = 140608 532 = 148877 542 = 157464 552 = 166375 562 = 175616 572 = 185193 582 = 195112 592 = 205379 602 = 216000 |
612 = 226981 622 = 238328 632 = 250047 642 = 262144 652 = 274625 662 = 287496 672 = 300763 682 = 314432 692 = 328509 702 = 343000 |
712 = 357911 722 = 373248 732 = 389017 742 = 405224 752 = 421875 762 = 438976 772 = 456533 782 = 474552 792 = 493039 802 = 512000 |
812 = 531441 822 = 551368 832 = 571787 842 = 592704 852 = 614125 862 = 636056 872 = 658503 882 = 681472 892 = 704969 902 = 729000 |
912 = 753571 922 = 778688 932 = 804357 942 = 830584 952 = 857375 962 = 884736 972 = 912673 982 = 941192 992 = 970299 1002 = 1000000 |
Степень числа и ее особенные свойства
Степень обладает рядом свойств, которые подробно вы будете рассматривать и доказывать в старших классах.
Сейчас мы познакомимся с некоторыми особенными свойствами степеней.
1. Любое число в первой степени равно этому же числу.
Первая степень числа а равна числу а.
В буквенном виде данное свойство запишем так:
а1 = а
Данная запись означает, что основание степени необходимо взять в качестве множителя один раз.
Например,
51 = 5, 1271 = 127, 10041 = 1004, 1234561 = 123456 и т.д.
Соответственно и единица в первой степени всегда равна единице: 11 = 1.
2. Любое натуральное число в нулевой степени равно единице.
а0 = 1
Например,
50 = 1, 1270 = 1, 100 = 1, 1234560 = 1 и т.д.
3. Ноль в любой степени равен нулю: 0n = 0.
На самом деле, по известному нам определению степени, 0 является основанием, n– показатель степени, указывающий сколько раз повторяется основание степени.
Таким образом получаем следующее равенство:
Например,
0128 = 0
015000 = 0
Слово «степень», порой, встречается в вашей повседневной жизни.
Степенные выражения используют в различных областях знаний, в науке и технике.
Часто приходится при расчетах и измерении встречаться с очень большими и очень маленькими числами.
С такими числами неудобно работать: выполнять различные действия и вычисления.
Иногда числа удобно представить в виде степени, записывая их, например, в стандартном виде.
Стандартный вид числа обобщенно можно записать так:
а ∙ 10n
В данной записи число (а), которое умножается на 10 в какой-либо степени, должно быть больше единицы или равно ей и быть меньше десяти.
Пример.
200000 = 2 ∙ 105
8000000000000 = 8 ∙ 1012
500 = 5 ∙ 102
Однозначное число, записанное в стандартном виде, будет равно самому себе, умноженному на десять в нулевой степени.
а = а ∙ 100 = а ∙ 1 = а
Пример.
2 = 2 ∙ 100 = 2 ∙ 1 = 2
5 = 5 ∙ 100 = 5 ∙ 1 = 5
8 = 8 ∙ 100 = 8 ∙ 1 = 8
Число десять представляют в стандартном виде, как произведение единицы и 10 в первой степени.
10 = 1 ∙ 101 = 1 ∙ 10 = 10
Изучая разряды и классы чисел, мы только лишь упоминали о больших и гигантских числах.
Известно, например, что один миллион записывается как единица и шесть нулей после нее.
В стандартном виде миллион запишем так:
1000000 = 1 ∙ 106.
Миллиард записывается следующим образом: единица и девять нулей после нее.
В стандартном виде миллиард запишем так:
1000000000 = 1 ∙ 109
Триллион представляет собой единицу и двенадцать нулей после нее.
В стандартном виде триллион запишем так:
1000000000000 = 1 ∙ 1012.
Самое большое число, которое называется «гугол», в десятичной системе исчисления изображается в виде единицы со ста нулями, записывают 10100 (десять в степени сто).
Часто при решение различных задач удобно записывать числа сокращенно, с помощью степеней.
Пример.
24000 = 24 ∙ 103
350000 = 35 ∙ 104
24500000 = 245 ∙ 105
Однако, при этом эти числа не будут относится к числам, записанным в стандартном виде, так как 24 > 10, 35 > 10, 245 > 10.
Многозначные числа, представленные в виде степени используют, например, в физике и астрономии, географии и биологии, информатике, медицине, экономике и т.д.
Приведем несколько занимательных примеров из разных областей знаний.
Расстояние от планета Земля до Солнца примерно 1495 ∙ 105 км.
Расстояние от Луны до Земли 384 ∙ 103 км.
Площадь Мирового океана примерно равна 36126 ∙ 104 км2
Общая площадь всех материков и островов на Земном шаре примерна равна 149 ∙ 106 км2
Общая длина всех кровеносных сосудов в организме взрослого человека примерна равна 1 ∙ 105 км.
Общее число волос на теле человека , не считая головы, насчитывается около 2 ∙ 104.
Тело взрослого человека за день перекачивает около 104 литров крови.
Скорее всего вам знакомы такие слова: гигабайт, мегабайт, байт, бит.
Это все единицы измерения количества информации.
На битах строится вся работа компьютера, электронной и цифровой техники.
Бит сама по себе маленькая величина, поэтому существуют кратные ей единицы.
23 бит = 8 бит = 1 байт.
Один килобайт (1Кб) = 210 байт = 1024 байт
Один мегабайт (1Мб) = 210 Кб = 1024 Кб
Один гигабайт (1Гб) = 210 Мб = 1024 Мб
Один терабайт (1Тб) = 210 Гб = 1024 Гб
Геометрический смысл
Куб числа равен объёму куба с длиной ребра, равной этому числу.
Возведите в куб сумму a b
Кубы чисел от 10 до 99
ДЕСЯТКИ | ЕДИНИЦЫ | |||||||||
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
1 | 1000 | 1331 | 1728 | 2197 | 2774 | 3375 | 4096 | 4913 | 5832 | 8659 |
2 | 8000 | 9261 | 10648 | 12167 | 13824 | 15625 | 17576 | 19683 | 21952 | 24389 |
3 | 27000 | 29791 | 32768 | 35937 | 39304 | 42875 | 46656 | 50653 | 54872 | 59319 |
4 | 64000 | 68921 | 74088 | 79507 | 85184 | 91125 | 97336 | 103823 | 110592 | 117649 |
5 | 125000 | 132651 | 140608 | 148877 | 157464 | 166375 | 175616 | 185193 | 195112 | 205379 |
6 | 216000 | 226981 | 238328 | 250047 | 262144 | 274625 | 287496 | 300763 | 314432 | 328509 |
7 | 343000 | 357911 | 373248 | 389017 | 405224 | 421875 | 438976 | 456533 | 474552 | 493039 |
8 | 512000 | 531441 | 551368 | 571787 | 592704 | 614125 | 636056 | 658503 | 681472 | 704969 |
9 | 729000 | 753571 | 778688 | 804357 | 830584 | 857375 | 884736 | 912673 | 941192 | 970299 |
Как пользоваться таблицей:
В первом столбце указаны десятки, в самой верхней строке – единицы. Куб конкретного числа находится на пересечении нужных десятков и единиц.
Допустим, необходимо найти куб числа 64. В столбце с десятками мы ищем цифру 6, в строке с единицами – цифру 4. Их пересечение соответствует числу 262144 – ответ, который и требовалось найти.
Вывод формулы
Формулу суммы кубов можно вывести, используя таблицу умножения и формулу суммы арифметической прогрессии[2]. Рассматривая в качестве иллюстрации метода две таблицы умножения 5×5, проведём рассуждения для таблиц размером n×n.
|
|
Как возвести в куб многочлен
Рассмотрим пример. Необходимо возвести в куб многочлен.
Используем формулу куба суммы. Только вместо «a» у нас будет «x», а вместо «b» будет «2y».
Часто возводят многочлен в куб следующим образом:
Это неверно! Для возведения многочлена в куб необходимо использовать формулу сокращенного умножения: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Таблица кубов
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
1 | 1000 | 1331 | 1728 | 2197 | 2744 | 3375 | 4096 | 4913 | 5832 | 6859 |
2 | 8000 | 9261 | 10648 | 12167 | 13824 | 15625 | 17576 | 19683 | 21952 | 24389 |
3 | 27000 | 29791 | 32768 | 35937 | 39304 | 42875 | 46656 | 50653 | 54872 | 59319 |
4 | 64000 | 68921 | 74088 | 79507 | 85184 | 91125 | 97336 | 103823 | 110592 | 117649 |
5 | 125000 | 132651 | 140608 | 148877 | 157464 | 166375 | 175616 | 185193 | 195112 | 205379 |
6 | 216000 | 226981 | 238328 | 250047 | 262144 | 274625 | 287496 | 300763 | 314432 | 328509 |
7 | 343000 | 357911 | 373248 | 389017 | 405224 | 421875 | 438976 | 456533 | 474552 | 493039 |
8 | 512000 | 531441 | 551368 | 571787 | 592704 | 614125 | 636056 | 658503 | 681472 | 704969 |
9 | 729000 | 753571 | 778688 | 804357 | 830584 | 857375 | 884736 | 912673 | 941192 | 970299 |
Некоторые свойства
- В десятичной записи куб может кончаться на любую цифру (в отличие от квадрата)
- В десятичной записи две последние цифры куба могут быть 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Зависимость предпоследней цифры куба от последней можно представить в виде следующей таблицы:
-
последняя
цифрапредпоследняя
цифра0 0 5 2, 7 4, 8 чётная 2, 6 нечётная 1, 3, 7, 9 любая
Степень с целым показателем
Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.
По определению,
.
Это верно для . Выражение 00 не определено.
Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.
Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.
Например,
Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.
Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где
— целое,
— натуральное.
Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.
Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен
.
Согласно определению,
В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при
.
Выражение всегда неотрицательно, т.е.
. Например,
.
Свойства арифметического квадратного корня:
Возведение двузначных чисел в куб
Возведение в уме двузначного числа X в куб (третью степень) удобно производить по формуле: Х3=(X+Y)X(X-Y)X+XY2*, где Y – число, на которое нужно уменьшить или увеличить число X, чтобы получить округлённое до десятков (заканчивающееся на 0) число.
Задача: 133
Решение:
Круглое число получается при вычитании 3 из 13. Поэтому за Y принимаем число 3. (X+Y) = 13 + 3 = 16 (X-Y) = 13 – 3 = 10 Подставляем полученные числа в формулу:
133 = 16 x 13 x 10 + 13 x 32
Умножение 16 на 13 удобно выполнить с помощью факторизации числа 16.
16 x 13 x 10 = 13 x 4 x 4 x 10 = 52 x 4 x 10 = 208 x 10 = 2080
13 x 33 = 13 x 9 = 117
2080 + 117 = 2197
Задача: 453
Решение:
453 = 50 x 45 x 40 + 45 x 52
50 x 45 x 40 = 45 x 40 x 50 = 1800 x 50 = 90000
45 x 52 = 45 x 5 x 5 = 225 x 5 = 1125
90000 + 1125 = 91125
Задача: 693
Решение:
693 = 70 x 69 x 68 + 69 x 12
Так как числа 69 и 68 близки к круглому числу 70, то их удобно перемножить с помощью формулы (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между круглым числом и перемножаемыми числами (см. урок 10).
68 x 69 = (70 – 2) x (70 – 1) = (70 – 2 – 1) x 70 + 2 x 1 = 67 x 70 + 2 x 1 = 4690 + 2 = 4692
4692 x 70 = 4692 x 70 = 328440 (см. урок 13)
69 x 12 = 69 x 1 = 69
328440 + 69 = 328509
Задача: 923
Решение:
923 = 94 x 92 x 90 + 92 x 22
Так как числа 94 и 92 близки к круглому числу 90, то их можно перемножить с помощью формулы (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между перемножаемыми числами и круглым числом (см. урок 10).
94 x 92 = (90 + 4) x (90 + 2) = (90 + 4 + 2) x 90 + 4 x 2 = 96 x 90 + 4 x 2 = 8640 + 8 = 8648
8648 x 90 = 778320 (см. урок 13)
92 x 22 = 92 x 4 = 368
778320 + 368 = 778688
Задача: 963
Решение:
963 = 100 x 96 x 92 + 96 x 42
Перемножить 96 и 92 можно следующими способами (в порядке снижения сложности):
1) Обычное перемножение слева направо: 96 x 92 = 96 x 90 + 96 x 2 = 8640 + 192 = 8832
2) Метод вычитания: 92 x (100 – 4) = 9200 – 368 = 8832
3) С использованием факторизации: 92 x 6 x 4 x 4 = 552 x 4 x 4 = 2208 x 4 = 8832
4) Вычисление по формуле (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab: 96 x 92 = (90 + 6) x (90 + 2) = (90 + 6 + 2) x 90 + 6 x 2 = 98 x 90 + 6 x 2 = 8820 + 12 = 8832
5) Вычисление по формуле (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab: 96 x 92 = (100 – 4) x (100 – = (100 – 4 –
x 100 + 4 x 8 = 88 x 100 + 4 x 8 = 8800 + 32 = 8832
8832 x 100 = 883200
Операцию 42 x 96 также можно выполнить несколькими методами, включая:
1) С использованием факторизации: 42 x 96 = 96 x 4 x 4 = 384 x 4 = 1536
2) Метод вычитания: 42 x 96 = 16 x (100 – 4) = 1600 – 64 = 1536
883200 + 1536 = 884736
* Формула получена путём умножения формулы для квадрата числа X (из урока 11) на число X: X3=X2X=((X+Y)(X-Y)+Y2)X=(X+Y)X(X-Y)+XY2
Возведите в куб разность a b
- https://zen.yandex.ru/media/mathematic/udivitelnye-fakty-o-kubah-chisel-kotorye-vy-ne-slyshali-5ed8911f005e4764bbb7ed4e
- https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/korni-i-stepeni/
- https://doza.pro/art/math/algebra/table-cubes
- http://axmara.narod.ru/_page/matematika/0111_kak_vozvesti_chislo_v_kub.html
- https://ladle.ru/education/matematika/5class/stepen-chisla
- https://ru.onlinemschool.com/math/formula/cube_table/
- https://wiki.monavista.ru/%D0%9A%D1%83%D0%B1_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)
- https://MicroExcel.ru/kuby-chisel/
- http://math-prosto.ru/?page=pages/how_to_use_formulas_of_abridged_multiplication/cube_of_sum.php
- https://drdo.ru/mentalnaya-arifmetika/vozvedenie-dvuznachnyh-chisel-v-kub/