Таблица кубов и квадратов, как состовлять и найти

Как появилось понятие куб числа?

Древнегреческие математики оперировали так называемыми фигурными числами – числами, которые можно представить в виде фигуры. Выделялись, например:

  • треугольные
  • квадратные
  • пятиугольные числа и т.д.

Кубические числа выделялись в особый вид фигурных чисел, поскольку куб числа x равен объёму куба с длиной ребра, равной x.

Вообще, фигурные числа – интереснейшая тема. Ставьте лайки этому материалу, если хотите узнать о них больше!

Последовательность кубов натуральных чисел выглядит так

Полезно будет запомнить, хотя бы те, что меньше тысячи. Особенно мне нравится число 729. Посмотрите:

  • 729 равно 9 в кубе;
  • 729 равно 3 в шестой степени;
  • 729 равно 27 в квадрате, что очень сильно нравилось пифагорейцам. Например, Платон считал, что количество ночей и дней в году равняется 729 (364, 5 на каждое время суток). Кроме того, он считал, что жизнь царя должна длиться 729 месяцев (около 67 лет).

Еще несколько интересных свойств кубов чисел:

  • 1728 является количеством кубических дюймов в кубическом футе;
  • 1728 – единственный композиториал, являющийся одновременно кубом числа. Композиториал – это факториал (о нем я достаточно интересно уже писал), деленный на праймориал – последовательность произведения простых чисел, меньше данного.
Есть четыре простых числа, меньших 9 : 2,3,5,7
  • 216 является наименьшим кубом, который представим в виде суммы трёх других кубов: 3, 4 и 5;
  • Число 216 связано с тремя последовательными стихами Второй книги Моисея 14:19, 14:20 и 14:21. Каждый из этих стихов содержит в себе 72 буквы, что в сумме даёт 216 .
  • каждое натуральное число представимо как сумма не более девяти кубических чисел – гипотеза Поллока. доказанная в 20 веке.

Вот так, к слову выглядит формула вычисления суммы первых кубов чисел:

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Теория

Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью:

63 = 6 × 6 × 6 = 216

Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе».

Возвести в куб онлайн

Прежде чем приступать к возведению числа в куб, хочу сказать, что у нас есть калькулятор, который сделал совсем недавно! И он умеет не только возводить в куб(а это на минуточку – 3 степень числа) – но и в любую степнь

Как возвести число в куб онлайн!? Введите нужное число, которое требуется возвести в куб и нажмите возвести в куб. Справа от равно появится число, которое возвели в куб
Ну и далее пробежимся по нескольким поисковым запросам, которые так или иначе вы задаете в строке поиска!

Дополнительная информация

Квадратом числа называют произведение двух одинаковых множителей.

Мы уже пробовали находить квадраты первого десятка натуральных чисел.

Возводить двузначные числа, трехзначные и т.д. числа немного сложнее, главное хорошо знать и помнить таблицу умножения чисел.

Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.

1) Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы.

2) Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ).

3) Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25).

4) Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ.

Рассмотрим поясняющий пример.

Найдем квадрат 65.

652 = 65 ∙ 65

Первая цифра в числе 65– это цифра 6, следовательно, нам необходимо найти произведение 6 и суммы 6 + 1.

6(6 + 1) = 6 ∙ 7 = 42

Запишем число 42 и припишем к нему число 25.

652 = 4225

Проверим: Так как квадрат числа- это произведение двух одинаковых множителей 652 = 65 ∙ 65, то

652 = 65 ∙ 65 = 4225

Получили все тот же ответ: 652 = 4225

Таблица кубов чисел от 1 до 100

12 = 1

22 = 8

32 = 27

42 = 64

52 = 125

62 = 216

72 = 343

82 = 512

92 = 729

102 = 1000

112 = 1331

122 = 1728

132 = 2197

142 = 2744

152 = 3375

162 = 4096

172 = 4913

182 = 5832

192 = 6859

202 = 8000

212 = 9261

222 = 10648

232 = 12167

242 = 13824

252 = 15625

262 = 17576

272 = 19683

282 = 21952

292 = 24389

302 = 27000

312 = 29791

322 = 32768

332 = 35937

342 = 39304

352 = 42875

362 = 46656

372 = 50653

382 = 54872

392 = 59319

402 = 64000

412 = 68921

422 = 74088

432 = 79507

442 = 85184

452 = 91125

462 = 97336

472 = 103823

482 = 110592

492 = 117649

502 = 125000

512 = 132651

522 = 140608

532 = 148877

542 = 157464

552 = 166375

562 = 175616

572 = 185193

582 = 195112

592 = 205379

602 = 216000

612 = 226981

622 = 238328

632 = 250047

642 = 262144

652 = 274625

662 = 287496

672 = 300763

682 = 314432

692 = 328509

702 = 343000

712 = 357911

722 = 373248

732 = 389017

742 = 405224

752 = 421875

762 = 438976

772 = 456533

782 = 474552

792 = 493039

802 = 512000

812 = 531441

822 = 551368

832 = 571787

842 = 592704

852 = 614125

862 = 636056

872 = 658503

882 = 681472

892 = 704969

902 = 729000

912 = 753571

922 = 778688

932 = 804357

942 = 830584

952 = 857375

962 = 884736

972 = 912673

982 = 941192

992 = 970299

1002 = 1000000

Степень числа и ее особенные свойства

Степень обладает рядом свойств, которые подробно вы будете рассматривать и доказывать в старших классах.

Сейчас мы познакомимся с некоторыми особенными свойствами степеней.

1. Любое число в первой степени равно этому же числу.

Первая степень числа а равна числу а.

В буквенном виде данное свойство запишем так:

а1 = а

Данная запись означает, что основание степени необходимо взять в качестве множителя один раз.

Например,

51 = 5, 1271 = 127, 10041 = 1004, 1234561 = 123456 и т.д.

Соответственно и единица в первой степени всегда равна единице: 11 = 1.

2. Любое натуральное число в нулевой степени равно единице.

а0 = 1

Например,

50 = 1, 1270 = 1, 100 = 1, 1234560 = 1 и т.д.

3. Ноль в любой степени равен нулю: 0n = 0.

На самом деле, по известному нам определению степени, 0 является основанием, n– показатель степени, указывающий сколько раз повторяется основание степени.

Таким образом получаем следующее равенство:

Например,

0128 = 0

015000 = 0

Слово «степень», порой, встречается в вашей повседневной жизни.

Степенные выражения используют в различных областях знаний, в науке и технике.

Часто приходится при расчетах и измерении встречаться с очень большими и очень маленькими числами.

С такими числами неудобно работать: выполнять различные действия и вычисления.

Иногда числа удобно представить в виде степени, записывая их, например, в стандартном виде.

Стандартный вид числа обобщенно можно записать так:

а ∙ 10n

В данной записи число (а), которое умножается на 10 в какой-либо степени, должно быть больше единицы или равно ей и быть меньше десяти.

Пример.

200000 = 2 ∙ 105

8000000000000 = 8 ∙ 1012

500 = 5 ∙ 102

Однозначное число, записанное в стандартном виде, будет равно самому себе, умноженному на десять в нулевой степени.

а = а ∙ 100 = а ∙ 1 = а

Пример.

2 = 2 ∙ 100 = 2 ∙ 1 = 2

5 = 5 ∙ 100 = 5 ∙ 1 = 5

8 = 8 ∙ 100 = 8 ∙ 1 = 8

Число десять представляют в стандартном виде, как произведение единицы и 10 в первой степени.

10 = 1 ∙ 101 = 1 ∙ 10 = 10

Изучая разряды и классы чисел, мы только лишь упоминали о больших и гигантских числах.

Известно, например, что один миллион записывается как единица и шесть нулей после нее.

 

В стандартном виде миллион запишем так:

1000000 = 1 ∙ 106.

Миллиард записывается следующим образом: единица и девять нулей после нее.

 

В стандартном виде миллиард запишем так:

1000000000 = 1 ∙ 109

Триллион представляет собой единицу и двенадцать нулей после нее.

 

В стандартном виде триллион запишем так:

1000000000000 = 1 ∙ 1012.

Самое большое число, которое называется «гугол», в десятичной системе исчисления изображается в виде единицы со ста нулями, записывают 10100 (десять в степени сто).

Часто при решение различных задач удобно записывать числа сокращенно, с помощью степеней.

Пример.

24000 = 24 ∙ 103

350000 = 35 ∙ 104

24500000 = 245 ∙ 105

Однако, при этом эти числа не будут относится к числам, записанным в стандартном виде, так как 24 > 10, 35 > 10, 245 > 10.

Многозначные числа, представленные в виде степени используют, например, в физике и астрономии, географии и биологии, информатике, медицине, экономике и т.д.

Приведем несколько занимательных примеров из разных областей знаний.

Расстояние от планета Земля до Солнца примерно 1495 ∙ 105 км.

Расстояние от Луны до Земли 384 ∙ 103 км.

Площадь Мирового океана примерно равна 36126 ∙ 104 км2

Общая площадь всех материков и островов на Земном шаре примерна равна 149 ∙ 106 км2

Общая длина всех кровеносных сосудов в организме взрослого человека примерна равна 1 ∙ 105 км.

Общее число волос на теле человека , не считая головы, насчитывается около 2 ∙ 104.

Тело взрослого человека за день перекачивает около 104 литров крови.

Скорее всего вам знакомы такие слова: гигабайт, мегабайт, байт, бит.

Это все единицы измерения количества информации.

На битах строится вся работа компьютера, электронной и цифровой техники.

Бит сама по себе маленькая величина, поэтому существуют кратные ей единицы.

23 бит = 8 бит = 1 байт.

Один килобайт (1Кб) = 210 байт = 1024 байт

Один мегабайт (1Мб) = 210 Кб = 1024 Кб

Один гигабайт (1Гб) = 210 Мб = 1024 Мб

Один терабайт (1Тб) = 210 Гб = 1024 Гб

Геометрический смысл

Куб числа равен объёму куба с длиной ребра, равной этому числу.

Возведите в куб сумму a b

(a + b)³ = (a + b)*(a + b)*(a + b) = (a² + 2ba + b²) *(a + b) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab³ + b³

Кубы чисел от 10 до 99

ДЕСЯТКИ ЕДИНИЦЫ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1000 1331 1728 2197 2774 3375 4096 4913 5832 8659
2 8000 9261 10648 12167 13824 15625 17576 19683 21952 24389
3 27000 29791 32768 35937 39304 42875 46656 50653 54872 59319
4 64000 68921 74088 79507 85184 91125 97336 103823 110592 117649
5 125000 132651 140608 148877 157464 166375 175616 185193 195112 205379
6 216000 226981 238328 250047 262144 274625 287496 300763 314432 328509
7 343000 357911 373248 389017 405224 421875 438976 456533 474552 493039
8 512000 531441 551368 571787 592704 614125 636056 658503 681472 704969
9 729000 753571 778688 804357 830584 857375 884736 912673 941192 970299
 

Как пользоваться таблицей:

В первом столбце указаны десятки, в самой верхней строке – единицы. Куб конкретного числа находится на пересечении нужных десятков и единиц.

Допустим, необходимо найти куб числа 64. В столбце с десятками мы ищем цифру 6, в строке с единицами – цифру 4. Их пересечение соответствует числу 262144 – ответ, который и требовалось найти.

Вывод формулы

Формулу суммы кубов можно вывести, используя таблицу умножения и формулу суммы арифметической прогрессии[2]. Рассматривая в качестве иллюстрации метода две таблицы умножения 5×5, проведём рассуждения для таблиц размером n×n.

Таблица умножения и кубы чисел
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25
Таблица умножения и арифметическая прогрессия
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25

Как возвести в куб многочлен

Рассмотрим пример. Необходимо возвести в куб многочлен.

Используем формулу куба суммы. Только вместо «a» у нас будет «x», а вместо «b» будет «2y».

Часто возводят многочлен в куб следующим образом:

Это неверно! Для возведения многочлена в куб необходимо использовать формулу сокращенного умножения: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Таблица кубов

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729
1 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859
2 8000 9261 10648 12167 13824 15625 17576 19683 21952 24389
3 27000 29791 32768 35937 39304 42875 46656 50653 54872 59319
4 64000 68921 74088 79507 85184 91125 97336 103823 110592 117649
5 125000 132651 140608 148877 157464 166375 175616 185193 195112 205379
6 216000 226981 238328 250047 262144 274625 287496 300763 314432 328509
7 343000 357911 373248 389017 405224 421875 438976 456533 474552 493039
8 512000 531441 551368 571787 592704 614125 636056 658503 681472 704969
9 729000 753571 778688 804357 830584 857375 884736 912673 941192 970299
 

Некоторые свойства

  • В десятичной записи куб может кончаться на любую цифру (в отличие от квадрата)
  • В десятичной записи две последние цифры куба могут быть 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Зависимость предпоследней цифры куба от последней можно представить в виде следующей таблицы:
последняя
цифра
предпоследняя
цифра
0 0
5 2, 7
4, 8 чётная
2, 6 нечётная
1, 3, 7, 9 любая

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

.

Это верно для . Выражение 00 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Возведение двузначных чисел в куб

Возведение в уме двузначного числа X в куб (третью степень) удобно производить по формуле: Х3=(X+Y)X(X-Y)X+XY2*, где Y – число, на которое нужно уменьшить или увеличить число X, чтобы получить округлённое до десятков (заканчивающееся на 0) число.

Задача: 133

Решение:

Круглое число получается при вычитании 3 из 13. Поэтому за Y принимаем число 3. (X+Y) = 13 + 3 = 16 (X-Y) = 13 – 3 = 10 Подставляем полученные числа в формулу:

133 = 16 x 13 x 10 + 13 x 32

Умножение 16 на 13 удобно выполнить с помощью факторизации числа 16.

16 x 13 x 10 = 13 x 4 x 4 x 10 = 52 x 4 x 10 = 208 x 10 = 2080

13 x 33 = 13 x 9 = 117

2080 + 117 = 2197

Задача: 453

Решение:

453 = 50 x 45 x 40 + 45 x 52

50 x 45 x 40 = 45 x 40 x 50 = 1800 x 50 = 90000

45 x 52 = 45 x 5 x 5 = 225 x 5 = 1125

90000 + 1125 = 91125

Задача: 693

Решение:

693 = 70 x 69 x 68 + 69 x 12

Так как числа 69 и 68 близки к круглому числу 70, то их удобно перемножить с помощью формулы (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между круглым числом и перемножаемыми числами (см. урок 10).

68 x 69 = (70 – 2) x (70 – 1) = (70 – 2 – 1) x 70 + 2 x 1 = 67 x 70 + 2 x 1 = 4690 + 2 = 4692

4692 x 70 = 4692 x 70 = 328440 (см. урок 13)

69 x 12 = 69 x 1 = 69

328440 + 69 = 328509

Задача: 923

Решение:

923 = 94 x 92 x 90 + 92 x 22

Так как числа 94 и 92 близки к круглому числу 90, то их можно перемножить с помощью формулы (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между перемножаемыми числами и круглым числом (см. урок 10).

94 x 92 = (90 + 4) x (90 + 2) = (90 + 4 + 2) x 90 + 4 x 2 = 96 x 90 + 4 x 2 = 8640 + 8 = 8648

8648 x 90 = 778320 (см. урок 13)

92 x 22 = 92 x 4 = 368

778320 + 368 = 778688

Задача: 963

Решение:

963 = 100 x 96 x 92 + 96 x 42

Перемножить 96 и 92 можно следующими способами (в порядке снижения сложности):

1) Обычное перемножение слева направо: 96 x 92 = 96 x 90 + 96 x 2 = 8640 + 192 = 8832

2) Метод вычитания: 92 x (100 – 4) = 9200 – 368 = 8832

3) С использованием факторизации: 92 x 6 x 4 x 4 = 552 x 4 x 4 = 2208 x 4 = 8832

4) Вычисление по формуле (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab: 96 x 92 = (90 + 6) x (90 + 2) = (90 + 6 + 2) x 90 + 6 x 2 = 98 x 90 + 6 x 2 = 8820 + 12 = 8832

5) Вычисление по формуле (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab: 96 x 92 = (100 – 4) x (100 – 8) = (100 – 4 – 8) x 100 + 4 x 8 = 88 x 100 + 4 x 8 = 8800 + 32 = 8832

8832 x 100 = 883200

Операцию 42 x 96 также можно выполнить несколькими методами, включая:

1) С использованием факторизации: 42 x 96 = 96 x 4 x 4 = 384 x 4 = 1536

2) Метод вычитания: 42 x 96 = 16 x (100 – 4) = 1600 – 64 = 1536

883200 + 1536 = 884736

* Формула получена путём умножения формулы для квадрата числа X (из урока 11) на число X: X3=X2X=((X+Y)(X-Y)+Y2)X=(X+Y)X(X-Y)+XY2

Возведите в куб разность a b

(a – b)³ = (a – b)*(a – b)*(a – b) = (a² – 2ab + b²) *(a – b) = a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³ = a³- 3a²b + 3ab³ – b³
Источники


  • https://zen.yandex.ru/media/mathematic/udivitelnye-fakty-o-kubah-chisel-kotorye-vy-ne-slyshali-5ed8911f005e4764bbb7ed4e
  • https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/korni-i-stepeni/
  • https://doza.pro/art/math/algebra/table-cubes
  • http://axmara.narod.ru/_page/matematika/0111_kak_vozvesti_chislo_v_kub.html
  • https://ladle.ru/education/matematika/5class/stepen-chisla
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/cube_table/
  • https://wiki.monavista.ru/%D0%9A%D1%83%D0%B1_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)
  • https://MicroExcel.ru/kuby-chisel/
  • http://math-prosto.ru/?page=pages/how_to_use_formulas_of_abridged_multiplication/cube_of_sum.php
  • https://drdo.ru/mentalnaya-arifmetika/vozvedenie-dvuznachnyh-chisel-v-kub/

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: