Тангенс — что это такое (отношение чего к чему) и как его найти (по формулам и по клеточкам)

Как пользоваться таблицей Брадиса.

На некоторых примерах рассмотрим, как пользоваться таблицей Брадиса.

sin 7° = 0.1219 (косинусы находятся внизу) cos 82° = 0.1392.

sin 3°42′ = 0.0645 (ниже на изображении отмечено красным) cos 80°24′ = 0.1668.

Обратите внимание, все тоже самое верно и при определении значений тангенса и котангенса.

Далее рассмотрим вариант посложнее, когда угол, который представлен в таблице не указан, значит, нужно выбирать более близкое к нему значение (из значений, которые указаны в таблице синусов и косинусов), а на разницу, которая может составлять 1′,2′,3′, берем поправку из минут (желтая графа), как видно на примере:

sin 3°45′=sin 3°42′+3′=0.0645+0.0009=0.0654 либо

sin 3°45′=sin 3°48′−3′=0.0663−0.0009=0.0654

Кроме того, нужно помнить правило: для синуса у поправки неотрицательный знак, а у косинуса неположительный.

cos 80°27′=80°24′+3′=0.1668+(-0.0009)=0.1659 либо

cos 80°27′=80°30′−3′=0.1650−(-0.0009)=0.1659

Решение уравнения tg x = a

Обычная форма записи решения:
Более удобная форма записи решения
Ограничения на число a	Ограничений нет

Графическое обоснование решения уравнения tg x = a представлено на рисунке 3.

Рис. 3

Частные случаи решения уравнений tg x = a

Уравнение	Решение
tg x = – 1
tg x = 0
tg x = 1

Тангенс угла

Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.

В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.

Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.

Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.

Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.

Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.

Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).

Тригонометрические функции и их значение в изучении геометрии

В геометрии особую роль имеют тригонометрические функции, при помощи которых определяют, как относятся между собой стороны и углы прямоугольного треугольника. Конечно, тригонометрия не стоит на месте и со времен Евклида она намного шагнула вперёд и теперь может эти функции могут выражаться через решение дифференциальных уравнений.

В данный момент используются шесть обозначений для основных тригонометрических функций, причем четыре функции из шести, они стоят в ряду последними, можно определять не только с помощью геометрии.

Синус (sin)

Косинус (cos)

Тангенс (tg/tan)

Котангенс (ctg/cot)

Секанс (sec)

Косеканс (cosec/csc) .

Рассмотрим сам прямоугольный треугольник, обозначения его сторон и углов во всех справочниках, как обычно, стандартные, какой бы стороной он не лежал бы на плоскости.

В этом треугольнике различают три угла, обозначаемые α, β, γ, при этом γ всегда 90°. Сторона, лежащая напротив прямого угла γ, называется гипотенузой, она обозначается буквой С. Угол α, с него начинаются все расчеты, находится напротив стороны а / ВС/, называемой противолежащей к этому углу, и сторона b /АС/, которая находится рядом, подлежит к этому углу и называется прилежащей.

По Евклидовой теории, которая верна до сих пор (и будет верна всегда), суммы углов такого треугольника, который находится в одной плоскости, будет равна 180 или числу π. И значение любого угла будут находиться в пределах между 0 и π /2.

Тогда тригонометрические функции можно выразить через размеры сторон этого треугольника. Так как угол α является первым и в греческом алфавите и в нашем треугольнике, начинаем знакомство с функциями через этот угол.

• Синус α выражается через отношение катета, который лежит напротив этого угла, к гипотенузе нашего треугольника, то есть sin α = а: с.
• Косинус α выражается через отношение катета, который прилежит к углу α, и гипотенузы с, cos α = b: с. Кстати, sin β = α: с, что позволяет принять то, что sin α равен cos β и следовательно sin β равен cos α.
• Тангенс α равен частному от отношения противолежащего катета а к катету прилежащему b: tg α = а : b.
• Котангенс угла α в соответствии равен ctg α = b : а.
• Секанс угла α составляет отношение гипотенузы треугольника к катету, прилежащему к этому углу sec α = c : b.
• Косеканс угла α составляет отношение гипотенузы треугольника к катету, который противостоит углу, cosecα = с : a.

Эти функции можно выразить и через окружность путем задания системы координат. Задаем систему координат с центом в точке О. Угол, на который поворачивается отрезок ОА, изображенный на чертеже, будем считать произвольным, назовем его θ.

Тогда тангенсом этого угла θсчитается отношение ординаты точки А на окружности к её абсциссе. Следовательно, если ctg α = b : а, а АС = sin θ, ОС = cos θ, то tgθ = sin θ : cos θ. Аналогично получаем ctg θ = cos θ : sin θ или 1 : tgθ.

Тангенс — это отношение…

Итак, есть два определения:

1. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

   Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.

2. Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

   Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.

Приняты обозначения:

Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan⁡(α).

Применение функции тангенса для решения задач

Что бы научиться пользоваться этой функцией, Нужно попробовать решить несколько примеров по применению этой функции.

Пример: есть два катета ВС = 7 см и АС = 12 см. Нам нужно узнать все остальные данные о треугольнике.

Первая формула, это tg α = а : b. тогда tg α = 7 :12= 0, 5833, далее для нахождения угла α используем таблицы Брадиса. На пересечении градусов и минут находим ближайшее значение угла – 0,5844, соответствующее 30° и 18′.

Находим ближайшую поправку, разную 3′. Отнимаем ее от нашего угла и получаем угол α = 30° 15′. Второй угол находим, исходя из того, что сумма всех углов должна быть не больше 180°, а угол γ = 90° по условию. Тогда угол β = 90° – 30° 15′= 59°45′.

Нам осталось найти гипотенузу с.

Можем найти её через sin α, который равен а: с, тогда с = а : sin α.

Находим sin α через таблицу Брадиса. Ближайшее значение 30° 36′, будет 0,5060, тогда не хватает 3′, Что по полям поправок равно 0,0008. Добавляем это число к найденному: 0, 5060 + 0,0008 = 0,5068. Подставляем это значение в формулу, с = 7:0,5068, с = 13, 8 см. Задача решена.

Можно искать значение углов через значение числа π, которое равно 180°. Тогда наиболее популярные углы, такие, как тангенс 30 градусов, тангенс 0 градусов, тангенс 60 градусов, тангенс 90 градусов, тангенс 45 градусов, тангенс 15 градусов, тангенс 75 градусов можно рассматривать намного проще. Нужно знать, что тангенс 0 градусов равен 0, а тангенс 90 градусов не имеет конкретного значения.

Можно найти тангенс угла 5 градусов, который равен 0, 0875 и добавлять или отнимать от наиболее часто встречающихся углов. Например угол 45 градусов, его тангенс равен 1, тогда тангенс угла 50 градусов будет равен 1, 0875. Тангенс 35 градусов можно рассчитать путем добавления к тангенсу 30 градусов угол 5 градусов, а тангенс 10 градусов это удвоение угла 5 градусов.

Для удобства есть рассчитанная таблица основных углов через значение π.

Если угол больше 90 градусов, нужно помнить, что функции имеют свойство повторяться, поэтому, если ищем тангенс 145 градусов, тогда 180 – 145 = 35 градусов, но уже со знаком «минус», это можно понять по чертежу окружности, где положительное или отрицательное значение абсциссы и ординаты. Научиться быстро пользоваться таблицами Брадиса и рассчитывать значения треугольника совсем не сложно, главное, уловить суть процесса.

Найти тангенс угла tg(α), в прямоугольном треугольнике

График тангенса

Функция тангенса пишется как y = tg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

Определение

Геометрический смысл понятия таков: в контексте прямоугольного треугольника тангенс угла – это отношение катета противолежащего к катету прилежащему. Рассмотрим это отношение на конкретной фигуре для удобства понимания.

В данном треугольнике тангенс угла альфа – это отношение С к А. Теперь рассмотрим другой острый угол – β (бета). Для бета тангенс угла – это отношение А к С.

Теперь перейдем к определению тангенса, которое несет алгебраический смысл, для этого нам понадобится единичная окружность.

Для того чтобы отметить в декартовой системе координат численное значение тангенса необходимо для начала провести прямую х = 1, которая будет перпендикулярна оси абсцисс и параллельна оси ординат. После чего отложим от оси абсцисс угол альфа и продлим его сторону до пересечения с прямой х = 1. Ордината точки пересечения в конкретной ситуации будет являться численным значением тангенса отложенного угла.

С точки зрения алгебры, определение тангенса имеет следующий вид: тангенс угла – это отношение синуса данного угла к его косинусу.

Таблица Брадиса tg, ctg

Свойства

Тангенс угла tg(α) — есть отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.

Решение уравнения ctg x = a

Обычная форма записи решения
Более удобная форма записи решения
Ограничения на число a	Ограничений нет

Графическое обоснование решения уравнения ctg x = a представлено на рисунке 4.

Рис. 4

Частные случаи решения уравнений ctg x = a

Уравнение	Решение
ctg x = – 1
ctg x = 0
ctg x = 1

Уравнение: Решение:

Уравнение: ctg x = – 1 Решение:

Уравнение: Решение:

Уравнение: ctg x = 0 Решение:

Решение:

Уравнение: ctg x = 1 Решение:

Уравнение: Решение:

Таблица Брадиса – синусы и косинусы.

Как найти тангенс угла (формулы)

Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.

Сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому

Так как тангенс – это отношение катетов, то

Получается, что

Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.

В частности,

Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.

Обратная к тангенсу функция

Арктангенс x – это обратная функция к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равняется х (tg y = x), значит арктангенс x равен у:

arctg x = tg^-1 x = y

Например:

arctg 1 = tg^-1 1 = 45° = π/4 рад

Как связаны тангенс с котангенсом?

Тангенс является обратной функцией от котангенса, а это значит что: tg = 1/ctg. Таким образом, отношение тангенса к котангенсу является равным единице: tg/ctg = 1.