Теорема синусов

Решение задачи

Также можно доказать следующий факт. Отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметр описанной около треугольника окружности.

Другими словами, для любого треугольника ABC, у которого сторона AB = c, сторона BC = a, сторона CA = b, имеют место следующие равенства: a/sin(A) =b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R. Здесь R – радиус описанной около треугольника окружности.

Обобщенная теорема синусов

Теорема синусов — это тригонометрическая теорема, которой мы будем часто пользоваться. К сожалению, она обычно появляется в учебниках в урезанной форме, и в этом виде она не приносит всей той пользы, которую могла бы дать обобщенная теорема. Поэтому мы позволим себе доказать теорему синусов в желательной для нас форме.Мы начинаем с треугольника ABC (обозначенного обычным способом) и описываем вокруг него окружность с центром в точке O и радиусом R, как показано на рисунках 1 и 2. Проведем диаметр CJ и хорду BJ. В обоих случаях ∠CBJ — прямой, так как он вписан в полукруг. Следовательно, на обоих рисунках

.

На рисунке 1 Ĵ = Â, поскольку углы J и A опираются на одну и ту же дугу окружности. На рисунке 2 Ĵ = 180° − Â, потому что противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными. Вспоминая, что

, получим, что в обоих случаях sin Ĵ = sin Â, следовательно, sin  = a/2R, т. е.

$\frac{a}{\sin \⁡\hat{A}}=2\⁢R$

.

Та же самая процедура, примененная к другим углам треугольника ABC дает

$\frac{b}{\sin \⁡\hat{B}}=2\⁢R\text{,}\frac{c}{\sin \⁡\hat{C}}=2\⁢R$

.

Объединяя результаты, мы можем сформулировать обобщенную теорему синусов следующим образом:

Теорема 1.11. Для треугольника ABC с радиусом описанного круга R выполнены соотношения:

$\frac{a}{\sin \⁡\hat{A}}=\frac{b}{\sin \⁡\hat{B}}=\frac{c}{\sin \⁡\hat{C}}=2\⁢R$

.

Доказательство теоремы синусов по учебнику Погорелова:

Применим формулу площади треугольника для двух углов A и C:


После приравнивания правых частей и сокращения на получим тоже самое равенство , как и в доказательстве первым способом. Из него тем же путем получаем равенство дробей.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Рис.1

Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Рис.2

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB. Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D.

Рис.3

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB. Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Рис.4

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE. Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Основные свойства:

• Центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис
• Радиус вписанной окружности равен:
  $r=frac{S}{p}$

  r=pS​, где

  $S$

  S — площадь, а

  $p$

  p — полупериметр треугольника;

• Отрезки, проведенные из одной вершины к точкам касания с окружностью, равны. Их можно выразить как разность полупериметра и противоположной стороны:
  $CA_1=CB_1=p-c$

  CA1​=CB1​=p−c.

Теорема синусов: формулировка

Что же нам сообщает теорема синусов? Вероятнее всего, что-нибудь о синусах, не правда ли? Давай сформулируем.

Первый вопрос, который возникает при взгляде на эту формулу: «Но при чём же здесь вообще ?». Вот давай именно с него и начнём.

Доказательство второй части теоремы синусов:

Опишем около данного треугольника окружность и через В проведем ее диаметр BD. Так как углы D и C опираются на одну дугу, то они равны (следствие из теоремы о вписанных углах). Тогда Опишем около данного треугольника окружность и через В проведем ее диаметр BD. Так как углы D и C опираются на одну дугу, то они равны (следствие из теоремы о вписанных углах). Тогда . Применим в треугольнике ABD определение синуса угла D: Что и требовалось доказать.

Задачи на вторую часть теоремы синусов:
1) В окружность радиуса 15 вписана трапеция. Длины диагонали и высоты трапеции соответственно равны 20 и 6. Найти боковую сторону.
2) Радиус окружность, описанной около трапеции, равен 25, а косинус ее тупого угла равен -0,28 (минус!!!). Диагональ трапеции образует с основанием угол . Найти высоту трапеции.
3) В окружность радиуса 10 вписана трапеция. Длины диагонали и средней линии трапеции соответственно равны 15 и 12. Найти длину боковой стороны трапеции.
4) Олимпиада в Финансовой академии 2009г. Хорды окружности пересекаются в точке Q. Известно, что а радиус окружности равен 4см. Найдите длину хорды PN. Олимпиада в Финансовой академии 2009г.
5) В треугольнике PST . Вокруг точки пересечения его биссектрис и вершин P и T описана окружность с радиусом 8см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника PST (авторская задача).

Детально разобрать теорему синусов и получить необходимую практику ее использования в задачах вам всегда поможет репетитор по математике. Ее плановое школьное изучение происходит в курсе геометрии 9 класса в теме решение треугольников (по всем программам). Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике для сдачи экзамена не менее чем на 70 баллов — придется тренироваться в решении крепких планиметрических задач с номеров С4. В них теорему синусов часто применяют к вписанным треугольникам учитывая соотношение . Помните об этом!

Доказательство обычной теоремы синусов

Воспользуемся только определением высоты  треугольника, опущенной на сторону b, и синуса для двух углов. Следовательно, , что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов.

Теорема Виета.

Биссектрисы треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.

Рис.5

Теорема синусов: доказательство

Тебе уже известно, что около каждого треугольника можно описать окружность. Мы это и сделаем. А потом проведём диаметр . Пусть этот диаметр пересекает окружность в точке . Давай рассмотрим . Что же это за треугольник?

Ну, конечно же, прямоугольный, ведь в угол опирается на диаметр (вспоминаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Но и кроме того, в равен в , потому что эти углы опираются на одну дугу (опять вспоминаем ту же тему…).

А теперь просто запишем выражение для синуса в прямоугольном .

Но ведь – диаметр , и .

Вспомним, что и получим .

Вот и всё! Провели одну линию, рассмотрели один прямоугольный треугольник – и доказательство готово.

Но как же быть с углами и ? – спросишь ты. Да, точно также. Давай рассмотрим .

Теперь проведём диаметр и соединим точки и . Как-то тут немного по-другому получается, ты заметил? , конечно, прямоугольный, так как опирается на диаметр . Но теперь , потому что четырехугольник – вписанный. (Надеюсь, ты ещё помнишь, что для угла у нас было .) В чём же дело? Ну, просто – тупой, поэтому и получилось такое различие. Но, к счастью, для теоремы синусов это различие не играет роли. Сейчас мы в этом убедимся. Итак, запишем выражение для синуса в прямоугольном .

Ну вот, мы рассмотрели и острый, и тупой угол. Если ты все ещё беспокоишься об угле , то проделай все те же действия самостоятельно и убедись, что все получается. Обрати внимание, что мы доказали «четверное равенство».

в такой последовательности:

А теперь внимание! Обсудим пользу этой теоремы.

Понимаешь, теорема синусов – единственный разумный способ для нахождения радиуса описанной окружности.

Почему я так говорю? А ты вспомни сам: ну где ещё в формулах участвует ?! Возможно, правда, ты знаком с формулой , то есть , но!

Давай – ка сравним:

Из теоремы синусов:

Из формулы площади: .

Чувствуешь разницу? В первой формуле нужно знать только одну сторону и один угол, а во второй формуле – все стороны, да ещё и площадь! Ну и какую формулу легче применить? А кроме того, открою тебе маленький секрет: формула как раз и доказывается именно с применением теоремы синусов. Чтобы убедиться в этом, читай темы «Площадь круга и его частей, Площадь треугольника и четырехугольника». Итак, теорема синусов бывает полезна и для нахождения синуса какого – то угла, если известны две стороны и один угол, но в основном теорема синусов – главный инструмент для нахождения радиуса описанной окружности. Запомни это очень хорошо!