Теорема синусов

Решение задачи

Также можно доказать следующий факт. Отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметр описанной около треугольника окружности.

Другими словами, для любого треугольника ABC, у которого сторона AB = c, сторона BC = a, сторона CA = b, имеют место следующие равенства: a/sin(A) =b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R. Здесь R – радиус описанной около треугольника окружности.

Обобщенная теорема синусов

Теорема синусов — это тригонометрическая теорема, которой мы будем часто пользоваться. К сожалению, она обычно появляется в учебниках в урезанной форме, и в этом виде она не приносит всей той пользы, которую могла бы дать обобщенная теорема. Поэтому мы позволим себе доказать теорему синусов в желательной для нас форме.Мы начинаем с треугольника ABC (обозначенного обычным способом) и описываем вокруг него окружность с центром в точке O и радиусом R, как показано на рисунках 1 и 2. Проведем диаметр CJ и хорду BJ. В обоих случаях ∠CBJ — прямой, так как он вписан в полукруг. Следовательно, на обоих рисунках

sin ⁡ J ^ = a C J = a 2 ⁢ R

.

На рисунке 1 Ĵ = Â, поскольку углы J и A опираются на одну и ту же дугу окружности. На рисунке 2 Ĵ = 180° − Â, потому что противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными. Вспоминая, что

sin ⁡ θ = 180° θ

, получим, что в обоих случаях sin Ĵ = sin Â, следовательно, sin  = a/2R, т. е.

a sin ⁡ A ^ = 2 ⁢ R

.

Та же самая процедура, примененная к другим углам треугольника ABC дает

b sin ⁡ B ^ = 2 ⁢ R , c sin ⁡ C ^ = 2 ⁢ R

.

Объединяя результаты, мы можем сформулировать обобщенную теорему синусов следующим образом:

Теорема 1.11. Для треугольника ABC с радиусом описанного круга R выполнены соотношения:

a sin ⁡ A ^ = b sin ⁡ B ^ = c sin ⁡ C ^ = 2 ⁢ R

.

Доказательство теоремы синусов по учебнику Погорелова:

Применим формулу площади треугольника для двух углов A и C:


После приравнивания правых частей и сокращения на получим тоже самое равенство , как и в доказательстве первым способом. Из него тем же путем получаем равенство дробей.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Рис.1

Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Рис.2

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB. Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D.

Рис.3

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB. Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Рис.4

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE. Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Основные свойства:

  • Центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис
  • Радиус вписанной окружности равен:
    r=Spr=frac{S}{p}

    , где

    SS

    — площадь, а

    pp

    — полупериметр треугольника;

  • Отрезки, проведенные из одной вершины к точкам касания с окружностью, равны. Их можно выразить как разность полупериметра и противоположной стороны:
    CA1=CB1=pcCA_1=CB_1=p-c

    .

Теорема синусов: формулировка

Что же нам сообщает теорема синусов? Вероятнее всего, что-нибудь о синусах, не правда ли? Давай сформулируем.

Для любого

(здесь – радиус описанной окружности).

Первый вопрос, который возникает при взгляде на эту формулу: «Но при чём же здесь вообще ?». Вот давай именно с него и начнём.

Доказательство второй части теоремы синусов:

Опишем около данного треугольника окружность и через В проведем ее диаметр BD. Так как углы D и C опираются на одну дугу, то они равны (следствие из теоремы о вписанных углах). Тогда Опишем около данного треугольника окружность и через В проведем ее диаметр BD. Так как углы D и C опираются на одну дугу, то они равны (следствие из теоремы о вписанных углах). Тогда . Применим в треугольнике ABD определение синуса угла D: Что и требовалось доказать.

Задачи на вторую часть теоремы синусов:
1) В окружность радиуса 15 вписана трапеция. Длины диагонали и высоты трапеции соответственно равны 20 и 6. Найти боковую сторону.
2) Радиус окружность, описанной около трапеции, равен 25, а косинус ее тупого угла равен -0,28 (минус!!!). Диагональ трапеции образует с основанием угол . Найти высоту трапеции.
3) В окружность радиуса 10 вписана трапеция. Длины диагонали и средней линии трапеции соответственно равны 15 и 12. Найти длину боковой стороны трапеции.
4) Олимпиада в Финансовой академии 2009г. Хорды окружности пересекаются в точке Q. Известно, что а радиус окружности равен 4см. Найдите длину хорды PN. Олимпиада в Финансовой академии 2009г.
5) В треугольнике PST . Вокруг точки пересечения его биссектрис и вершин P и T описана окружность с радиусом 8см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника PST (авторская задача).

Детально разобрать теорему синусов и получить необходимую практику ее использования в задачах вам всегда поможет репетитор по математике. Ее плановое школьное изучение происходит в курсе геометрии 9 класса в теме решение треугольников (по всем программам). Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике для сдачи экзамена не менее чем на 70 баллов — придется тренироваться в решении крепких планиметрических задач с номеров С4. В них теорему синусов часто применяют к вписанным треугольникам учитывая соотношение . Помните об этом!

Доказательство обычной теоремы синусов

Воспользуемся только определением высоты  треугольника, опущенной на сторону b, и синуса для двух углов. Следовательно, , что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов.

Теорема Виета.

Формулы Виета — это формулы, которые выражают коэффициенты многочлена через его корни. Теорема Виета.

Биссектрисы треугольника

Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.

Рис.5

Теорема синусов: доказательство

Тебе уже известно, что около каждого треугольника можно описать окружность. Мы это и сделаем. А потом проведём диаметр . Пусть этот диаметр пересекает окружность в точке . Давай рассмотрим . Что же это за треугольник?

Ну, конечно же, прямоугольный, ведь в угол опирается на диаметр (вспоминаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Но и кроме того, в равен в , потому что эти углы опираются на одну дугу (опять вспоминаем ту же тему…).

А теперь просто запишем выражение для синуса в прямоугольном .

Но ведь – диаметр , и .

Вспомним, что и получим .

Вот и всё! Провели одну линию, рассмотрели один прямоугольный треугольник – и доказательство готово.

Но как же быть с углами и ? – спросишь ты. Да, точно также. Давай рассмотрим .

Теперь проведём диаметр и соединим точки и . Как-то тут немного по-другому получается, ты заметил? , конечно, прямоугольный, так как опирается на диаметр . Но теперь , потому что четырехугольник – вписанный. (Надеюсь, ты ещё помнишь, что для угла у нас было .) В чём же дело? Ну, просто – тупой, поэтому и получилось такое различие. Но, к счастью, для теоремы синусов это различие не играет роли. Сейчас мы в этом убедимся. Итак, запишем выражение для синуса в прямоугольном .

Ну вот, мы рассмотрели и острый, и тупой угол. Если ты все ещё беспокоишься об угле , то проделай все те же действия самостоятельно и убедись, что все получается. Обрати внимание, что мы доказали «четверное равенство».

в такой последовательности:

А теперь внимание! Обсудим пользу этой теоремы.

Понимаешь, теорема синусов – единственный разумный способ для нахождения радиуса описанной окружности.

Почему я так говорю? А ты вспомни сам: ну где ещё в формулах участвует ?! Возможно, правда, ты знаком с формулой , то есть , но!

Давай – ка сравним:

Из теоремы синусов:

Из формулы площади: .

Чувствуешь разницу? В первой формуле нужно знать только одну сторону и один угол, а во второй формуле – все стороны, да ещё и площадь! Ну и какую формулу легче применить? А кроме того, открою тебе маленький секрет: формула как раз и доказывается именно с применением теоремы синусов. Чтобы убедиться в этом, читай темы «Площадь круга и его частей, Площадь треугольника и четырехугольника». Итак, теорема синусов бывает полезна и для нахождения синуса какого – то угла, если известны две стороны и один угол, но в основном теорема синусов – главный инструмент для нахождения радиуса описанной окружности. Запомни это очень хорошо!

Источники


  • http://www.nado5.ru/e-book/teorema-sinusov
  • http://tapemark.narod.ru/geometr/1_1.xml
  • https://ankolpakov.ru/teorema-sinusov/
  • https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/otcircle.htm
  • https://lampa.io/p/%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA:-%D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%B8-%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-0000000050fd9fe86e56f30e64000008
  • https://youclever.org/book/teorema-sinusov-2
  • https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81%D0%BE%D0%B2
  • https://www.calc.ru/Teorema-Sinusov-Dokazatelstvo-Teoremy-Sinusov.html
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: