Теорема Виета и обратная формула Виета для чайников, как применять

Теорема Виета 8 класс

Формула
Если x1 и x2 – корни приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0, то:
Примеры
x1 = -1; x2 = 3 – корни уравнения x2 – 2x – 3 = 0.
p = -2, q = -3.
x1 + x2 = -1 + 3 = 2 = -p,
x1 • x2 = -1 • 3 = -3 = q.

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида.

Правило
Если x1 и x2 – корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, то
Пример
x1 = 1,5 и x2 = 2 – корни квадратного уравнения 2x2 – 7x + 6.
Выполняются равенства x1 + x2 = 3,5 = – 73 и x1 • x2 = 3 = 62.

Формулировка теоремы

Если c1, c2…, cn являются корнями многочлена xn + a1xn−1 + a2xn−2 + … + an, где каждый корень взят соответствующее его кратности число раз, то:

коэффициенты a1, a2…, an можно выразить в виде симметрических многочленов от корней, т.е.:

  • a1 = −(c1 + c2 + … + cn)
  • a2 = c1c2 + c1c3 + … + c1cn + c2c3 + … + cn−1cn
  • a3 = −(c1c2c3 + c1c2c4 + … + cn−2cn−1cn)
  • an−1 = (−1)n−1(c1c2 … cn−1 + c1c2 … cn−2cn + … + c2c3 … cn
  • an = (−1)nc1c2 … cn

Другими словами, (−1)kak равняется сумме всех возможных произведений из k корней.

Примечание: теорема названа в честь французского маетиматика Франсуа Виета.

Кубическое уравнение

Для кубического уравнения p(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0 с корнями x1, x2 и x3 справедливо:

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
( -x^2+6x+1,4=0, quad 8x^2-7x=0, quad x^2-frac{4}{9}=0 )
имеет вид
( ax^2+bx+c=0, )
где x – переменная, a, b и c – числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём ( a neq 0 ).

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax2+bx+c=0, где ( a neq 0 ), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
( x^2-11x+30=0, quad x^2-6x=0, quad x^2-8=0 )

Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x2+7=0, 3x2-10x=0, -4x2=0 – неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax2+c=0, где ( c neq 0 );
2) ax2+bx=0, где ( b neq 0 );
3) ax2=0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2+c=0 при ( c neq 0 ) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
( x^2 = -frac{c}{a} Rightarrow x_{1,2} = pm sqrt{ -frac{c}{a}} )

Так как ( c neq 0 ), то ( -frac{c}{a} neq 0 )

Если ( -frac{c}{a}>0 ), то уравнение имеет два корня.

Если ( -frac{c}{a}Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2+bx=0 при ( b neq 0 ) раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение
( x(ax+b)=0 Rightarrow left{ begin{array}{l} x=0 \ ax+b=0 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} x=0 \ x=-frac{b}{a} end{array} right. )

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0 при ( b neq 0 ) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax2=0 равносильно уравнению x2=0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Обратная теорема

Если для чисел x1 и x2 справедливы соотношения x1 + x2 = −p, а x1x2 = q, значит они являются корнями приведенного квадратного уравнения x2 + px + c = 0.

Виет Франсуа

Виет Франсуа (1540-13.12.1603) родился в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Рошель.

Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением.

Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику, и все свободное время отдавал этим наукам.

Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся.

Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят. Виет и его последователи установи, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка.

Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений.

Не случайно за это Виета называют “отцом” алгебры, основоположником буквенной символики.

Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов кратных дуг через sin x и cos x.

Эти знания тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических уравнений, так и в геометрии, например, при решении с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам.

Гордясь найденным решением, Виет называл себя Алоллонием Гальским (Галлией во времена древнего Рима называли современную Францию).

Нельзя сказать, что во Франции о Виете ничего не знали.

Громкую славу он получил при Генрихе III, во время франко-испанской войны.

Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась.

Благодаря такому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка всё время оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету.

Рассказывают, что Виет две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки – Виет. Будучи уверенными в невозможности разгадать их способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.

В конце 16 столетия голландский математик Андриан ван-Роумен, известный, пожалуй, тем, что вычислил число Пи с восемнадцатью верными знаками, решил бросить вызов всем математикам мира.

Он разослал во все европейские страны уравнение 45-й степени:

x^45-45x^43+945x^41+⋯-3795x^3+45x=a,

французским математикам он решил это уравнение не посылать, считая, что там нет способных справиться с задачей: Декарт в то время еще не родился, Пьера Рамуса в 1572 убили в Варфоломеевскую ночь, о других математиках не было слышно.

Так французские математики не смогли принять вызов. Больше всего было ущемлено самолюбие Генриха IV. – И все же у меня есть математик! – воскликнул король. – Позовите Виета! В приемную короля вошел пятидесятитрехлетний седоволосый советник короля Франсуа Виет. Он тут же, в присутствие короля, министров и гостей, нашел один корень предложенного уравнения. Виет увидел, что а есть сторона правильного 15-угольника, вписанного в круг радиуса 1, а по коэффициентам второго и последнего членов заключил, что х есть хорда 1/45 этой дуги, как оно и было на самом деле.

Король ликовал, все поздравляли придворного советника.

На следующий день Виет нашел еще 22 корня уравнения.

После такого успеха Виета составитель злополучного уравнения Роумен стал ревностным почитателем его.

В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: “…14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер … в Париже. Ему было более шестидесяти лет”. Подозревают, что Виет был убит.

Несмотря на огромное желание и упорные занятия, книгу, которую назвал “Искусство анализа, или Новая алгебра”.

Виет всё же не завершил. Но главное было написано.

Решение неполных квадратных уравнений

Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.

Пример 1. Решить уравнение

5x2 = 0 .

Решение.

Ответ: 0 .

Пример 2. Решить уравнение

2x2 + 3x= 0 . (3)

Решение. Вынося в левой части уравнения (3) переменную x за скобки, перепишем уравнение в виде

x (2x+ 3) = 0 . (4)

Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение

2x2 – 5 = 0 .

Решение.

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение

3x2 + 11 = 0 . (5)

Решение. Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной x, а правая часть равна 0, то уравнение решений не имеет.

Ответ: .

Выделение полного квадрата

Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

(6)

Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

Формула (6) получена.

Решение примеров

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения:

x2 – 3x + 2 = 0

Решение: так как

x1 + x2 = -(-3) = 3

x1 · x2 = 2

очевидно, что корни равны 1 и 2:

1 + 2 = 3

1 · 2 = 2

Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

12 – 3 · 1 + 2 = 0

и

22 – 3 · 2 + 2 = 0

Ответ: 1, 2.

Пример 2. Найти корни уравнения:

x2 + 8x + 15 = 0

Решение:

x1 + x2 = -8

x1 · x2 = 15

Методом подбора находим, что корни равны -3 и -5:

-3 + -5 = -8

-3 · -5 = 15

Ответ: -3, -5.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

x1 = -3, x2 = 6.

Решение: так как x1 = -3, x2 = 6 корни уравнения x2 + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

p = -(x1 + x2) = -(-3 + 6) = -3

q = x1 · x2 = -3 · 6 = -18

Следовательно, искомое уравнение:

x2 – 3x – 18 = 0

Ответ: x2 – 3x – 18 = 0.

Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

x1 = 2, x2 = 3.

Решение:

p = -(x1 + x2) = -(2 + 3) = -5

q = x1 · x2 = 2 · 3 = 6

Ответ: x2 – 5x + 6 = 0.

Заключение

На мой взгляд, формулы Виета – очень важное математическое открытие. Люди пользуются ей уже пятое столетие. Но история теоремы на этом не закончится. Я уверена, что и в будущем её будут применять, исследовать и открывать в ней новые аспекты.

Удивительна жизнь Франсуа Виета, его преданность науке, его желание навести порядок в математических записях решений и правил. Жизнь Виета – пример для всех людей, желающих посвятить себя науке и не боящихся сложной умственной работы.

Работая с учебной литературой и решая подобранные моим учителем задачи, я была удивлена результатом своего исследования, большим количеством заданий, которые решаются с помощью теоремы Виета.

Выполняя работу, я узнала о выполнимости теорема Виета для кубических уравнений и алгебраических уравнений степени п.

  • подбирать устно целые корни приведенного квадратного уравнения;
  • используя зависимости между коэффициентами, подбирать устно корни уравнений с большими коэффициентами, дающими громоздкие вычисления с помощью дискриминанта;
  • различные задачи на зависимость между коэффициентами и корнями уравнений;
  • исследовательские задачи с параметрами;
  • задания из разных разделов алгебры и геометрии, первоначально не связанных с решением уравнений;
  • задания из математических олимпиад по теме «Многочлены» и «Алгебраические уравнения»;

Франсуа Виет очень гордился своей знаменитой теоремой.

Теорема Виета – азбука в решении квадратных уравнений и очень красивая азбука.

Источники


  • https://formula-xyz.ru/teorema-vieta.html
  • https://MicroExcel.ru/teorema-vieta/
  • https://www.math-solution.ru/math-task/quadr-eq
  • https://tvorcheskie-proekty.ru/node/2469
  • https://www.resolventa.ru/spr/algebra/kv.htm
  • https://naobumium.info/algebra/teorema_vieta.php

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: