Как рассчитать площадь трапеции. Формула площади трапеции

Содержание

Основные свойства трапеции
Формулы определения длин сторон трапеции:
Как найти площадь трапеции через четыре стороны
Средняя линия трапеции
Формулы определения длины средней линии трапеции:
Через длины оснований и высоту
Формула
Пример
Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали
Как вычислить площадь равнобедренной трапеции через четыре стороны
Таблица с формулами площади трапеции
Найти площадь равнобедренной трапеции, зная радиус вписанной окружности и угол
Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
Пусть a и b основания трапеции. доказать что отрезок, соединяющий середины её диагоналей равен 1/2 * | а – б|?
Площадь трапеции через основания и два угла
Найти площадь трапеции, зная диагонали и угол между ними

Основные свойства трапеции

1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =	a + b
	2

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d₁ и d₂ связаны со сторонами соотношением:

d₁² + d₂² = 2ab + c² + d²

Формулы определения длин сторон трапеции:

1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

a = 2m – b

b = 2m – a

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a – h · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a – c·cos α – d·cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =	h	d =	h
	sin α		sin β

Как найти площадь трапеции через четыре стороны

Отнимите от большего основания меньшее.

Найдите квадрат полученного числа.

Прибавьте к результату квадрат одной боковой стороны и отнимите квадрат второй.

Поделите полученное число на удвоенную разность оснований.

Найдите квадрат результата и отнимите его от квадрата боковой стороны.

Найдите корень из полученного числа.

Умножьте результат на половину от суммы оснований.

S – искомая площадь трапеции.

a, b – основания трапеции.

c, d – боковые стороны.

Средняя линия трапеции

Определение.

Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =	a + b
	2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =	S
	h

Через длины оснований и высоту

Чему равна площадь трапеции, если:
основание a =
основание b =
высота h =

Ответ: S =

ед.²

Округление ответа:

Чему равна площадь трапеции если известны основания a и b, а также высота h?

Формула

S = ½ ⋅ (a + b) ⋅ h

Пример

Если у трапеции основание a = 3 см, основание b = 6 см, а высота h = 4 см, то её площадь:

S = ½ ⋅ (3 + 6) ⋅ 4 = 36 / 2 = 18 см²

Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали

{S= dfrac{1}{2} d_1 cdot d_2}

Формула для нахождения площади трапеции через перпендикулярные диагонали: {S=dfrac{1}{2}d_1 cdot d_2}, где d₁, d₂ — диагонали трапеции (перпендикулярные).

Как вычислить площадь равнобедренной трапеции через четыре стороны

Отнимите от большего основания трапеции меньшее и поделите результат на два.

Найдите квадрат полученного числа и отнимите его от квадрата боковой стороны.

Найдите корень из результата.

Умножьте полученное число на сумму оснований и поделите на два.

S — искомая площадь трапеции.
a, b — основания трапеции.
c, d — боковые стороны (напомним, в равнобедренной трапеции они равны).

Таблица с формулами площади трапеции

В зависимости от известных исходных данных и вида трапеции, площадь трапеции можно вычислить по различным формулам.

		эскиз	формула
Площадь для всех видов трапеции
1	высота и два основания
2	высота и средняя линия
3	четыре стороны
4	диагонали и угол между ними
5	основания и углы при одном из оснований
Площадь равнобедренной трапеции
6	стороны
7	основание, боковые стороны и угол при основании
8	основание, боковые стороны и угол при основании
9	основания и углы при одном из оснований
10	диагонали и угол между ними
11	средняя линия, боковые стороны и углы между основанием и боковыми сторонами
12	радиус вписанной окружности и угол при основании
13	основания и радиус вписанной окружности
14	основания и углы при одном из оснований
15	основания и боковые стороны
16	основания и средняя линия

Найти площадь равнобедренной трапеции, зная радиус вписанной окружности и угол

Радиус вписанной окружности r

Угол трапеции α

Сообщить об ошибке

Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

Чему равна площадь трапеции, если:
средняя линия m =
сторона c =
угол α =

Ответ: S =

ед.²

Округление ответа:

Чему равна площадь равнобедренной трапеции если средняя линия m, боковая сторона с, a угол при основании α?

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =	b	KN = ML =	a	TO = OQ =	a · b
	2		2		a + b

Пусть a и b основания трапеции. доказать что отрезок, соединяющий середины её диагоналей равен 1/2 * | а – б|?

Возьмем трапецию ABCD

Определим точку М как середину диагонали АС, точку N как середину диагонали BD. Тогда средняя линия трапеции KF будет проходить через точки M и N.

Вспомним свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции является параллельной основаниям и равняется полусумме их длин.

Рассмотрим треугольник ACD:

MF = AD/2

Рассмотрим треугольник BCD

NF = BC/2

Выразим MN через отрезки MF и NF:

MN = MF-NF

Подставим в формулу значения отрезков MF и NF:

MN = AD/2-BC/2 = (AD-BC)/2

Площадь трапеции через основания и два угла

[ S = frac{1}{2} left( b^{2} – a^{2} right) frac{ sin(alpha) cdot sin(beta) }{sin(alpha + beta)} ]

Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
Две другие стороны называются боковыми сторонами.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (или равнобедренной)
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
У равнобокой трапеции углы при основании равны.
У равнобокой трапеции диагонали равны.
Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и продолжения боковых сторон находятся на одной прямой.

Найти площадь трапеции, зная диагонали и угол между ними

Диагональ трапеции d₁

Диагональ трапеции d₂

Угол между диагоналями α

Источники

https://ru.onlinemschool.com/math/formula/trapezium/
https://Lifehacker.ru/kak-najti-ploshhad-trapecii/
https://poschitat.online/ploshad-trapecii
https://mnogoformul.ru/ploshhad-trapecii-formuly-i-kalkulyator-online
https://doza.pro/art/math/geometry/area-trapezium
https://geleot.ru/education/math/geometry/area/trapezoid
https://yandex.ru/q/question/hw.math/kak_naiti_ploshchad_trapetsii_5a22794d/?answer_id=6adac048-9ff1-4e4b-8aae-c657d64364f1&w=answer&w_question_id=1327ad2e-f410-4eda-9d70-bc19c2d134e5&w_origin=grave_unauth
https://calcsbox.com/post/formula-plosadi-trapecii.html