Тригонометрические формулы сложения, примеры сложения тригонометрических функций

Тригонометрические функции

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Формула	Название формулы
	Сумма синусов
	Разность синусов
	Сумма косинусов
	Разность косинусов
	Сумма тангенсов
	Разность тангенсов

Сумма синусов

Разность синусов

Сумма косинусов

Разность косинусов

Сумма тангенсов

Разность тангенсов

Основные тригонометрические формулы

Формулы сложения.

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α – β) = sin α · cos β – sin β · cos α

cos (α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β

cos (α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 – tg α · tg β)

tg (α – β) = (tg α – tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β – ctg α)

ctg (α – β) = (ctg α · ctg β – 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Список формул

Запишем формулы суммы и разности синусов и косинусов. Как Вы понимаете, их четыре штуки: две для синусов и две для косинусов.

Теперь дадим их формулировки. При формулировании формул суммы и разности синусов и косинусов угол называют полусуммой углов и , а угол – полуразностью. Итак,

• Формула суммы синусов : сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
• Формула разности синусов : разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.
• Сумма косинусов : сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности этих углов.
• Формула разности косинусов : разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на синус полуразности этих углов, взятому со знаком минус.

Стоит отметить, что формулы суммы и разности синусов и косинусов справедливы для любых углов и .

Список формул сложения

Для начала перечислим все формулы сложения, и дадим их формулировки. Для удобства представим их в виде списка:

• Формула синуса суммы – синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.
• Синус разности двух углов – синус разности двух углов равен разности произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.
• Формула косинуса суммы – косинус суммы двух углов равен разности произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.
• Косинус разности – косинус разности двух углов равен сумме произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.
• Тангенс суммы .
• Тангенс разности .
• Котангенс суммы .
• Котангенс разности .

Отдавая дань краткости, формулы сложения обычно группируют две в одну, используя знаки плюс минус вида и минус плюс . В таком виде они выглядят так:

Каждая из записанных формул сложения соответствует двум формулам, перечисленным вначале этого пункта. Например, формула отвечает двум формулам: синусу суммы (когда берется верхний знак из ) и синусу разности (когда берется нижний знак из ).

Формулы сложения из таблицы называют соответственно формулами сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

В заключение этого пункта отметим, что формулы сложения для синуса и косинуса справедливы для любых углов и . А формулы сложения для тангенса и котангенса справедливы для всех и , для которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы.

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формула	Название формулы
	Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла
	Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла
	Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла

Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла

Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

Сумма аргументов

Значения тригонометрических функций

Универсальная тригонометрическая подстановка

Вывод формул

Для вывода формул суммы и разности синусов можно использовать формулы сложения, в частности, формулы
синуса суммы ,
синуса разности ,
косинуса суммы и
косинуса разности .

Также нам потребуется представление углов и в виде и . Такое представление правомерно, так как и для любых углов и .

Теперь подробно разберем вывод формулы суммы синусов двух углов вида .

Сначала в сумме заменяем на , а на , при этом получаем . Теперь к применяем формулу синуса суммы, а к – формулу синуса разности:

После приведения подобных слагаемых получаем . В итоге имеем формулу суммы синусов вида .

Для вывода остальных формул нужно лишь проделать аналогичные действия. Приведем вывод формул разности синусов, а также суммы и разности косинусов:

Для разности косинусов мы привели формулы двух видов или . Они эквивалентны, так как , что следует из свойств синусов противоположных углов.

Итак, мы разобрали доказательство всех формул суммы и разности синусов и косинусов.

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Формула	Название формулы
	Выражение синуса угла через тангенс половинного угла
	Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла
	Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла

Выражение синуса угла через тангенс половинного угла

Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла

Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла

Доказательство

Начнем с доказательства формулы косинуса разности . Она нам поможет доказать другие формулы сложения.

Перед доказательством стоит озвучить один не очень очевидный факт, который мы используем. Он заключается в следующем. Возьмем единичную окружность. Пусть точки A₁ и A₂ получены в результате поворота начальной точки A(1, 0) вокруг точки O на углы и соответственно. Тогда угол между векторами и равен либо , либо , где z – любое целое число. Другими словами, угол между указанными векторами равен либо , либо , либо отличается от этих значений на целое число полных оборотов. Приведем графическую иллюстрацию для наглядности.

Более того, формулы приведения позволяют нам записать следующие результаты и . Таким образом, косинус угла между векторами и равен косинусу угла , то есть, . Теперь можно переходить непосредственно к доказательству формулы косинуса разности.

В силу определений синуса и косинуса, точки A₁ и A₂ имеют координаты и соответственно. Тогда и (при необходимости смотрите координаты векторов через координаты точек их начала и конца). Длины этих векторов равны единице, так как они равны радиусу единичной окружности.

Теперь запишем скалярное произведение векторов и . С одной стороны имеем , а это же скалярное произведение в координатах имеет вид . Отсюда получаем равенство . Этим доказана формула косинуса разности.

Переходим к доказательству следующей формулы сложения. Формулу косинуса суммы легко доказать, используя уже доказанную формулу и представление вида . Имеем

последний переход возможен в силу свойств синуса и косинуса противоположных углов.

Из формулы косинуса разности легко получить формулу синуса суммы, достаточно лишь обратиться к формуле приведения вида . Так

в последнем переходе мы использовали формулы приведения.

А вот доказательство формулы синуса разности:

в последнем переходе использовалось свойство синуса и косинуса противоположных углов.

Переходим к доказательству формул сложения для тангенса и котангенса. Для этого достаточно вспомнить, что тангенс – это отношение синуса к косинуса, а котангенс – отношение косинуса к синусу, а также применить доказанные выше формулы.

Так . Теперь разделим числитель и знаменатель полученной дроби на , учитывая что и , имеем

после сокращения дробей получаем .
В итоге имеем .

Теперь докажем формулу тангенса разности:

Формулы сложения для котангенса доказываются аналогично формулам сложения для тангенса:

и

Тригонометрические функции суммы и разности углов

Примеры применения формул суммы и разности тригонометрических функций

Пример. Вычислить точное значение следующего выражения:.

Решение. Так как невозможно найти точное решение ни для , ни для попробуем использовать формулу (7).

Ответ:

Формулы тройного угла.

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α

cos 3α = 4cos³ α – 3cos α

tg 3α = (3tg α – tg³ α) ÷ (1 – 3tg² α)

ctg 3α = (3ctg α – ctg³ α) ÷ (1 – 3ctg² α)

Формулы приведения.

Основное тригонометрическое тождество:

sin²α+cos²α=1

Данное тождество − результат применения теоремы Пифагора к треугольнику в единичном тригонометрическом круге.

Соотношение между косинусом и тангенсом:

1/cos²α−tan²α=1 или sec²α−tan²α=1.

Данная формула является следствием основного тригонометрического тождества и получается из него делением левой и правой части на cos2α. Предполагается, что α≠π/2+πn,n∈Z.

Тригонометрические функции двойного угла

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Формула	Название формулы
	Выражение куба синуса через синус угла и синус тройного угла
	Выражение куба косинуса через косинус угла и косинус тройного угла

Выражение куба синуса через синус угла и синус тройного угла

Выражение куба косинуса через косинус угла и косинус тройного угла