- Тригонометрические функции
- Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
- Основные тригонометрические формулы
- Формулы сложения.
- Список формул
- Список формул сложения
- Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций
- Сумма аргументов
- Значения тригонометрических функций
- Универсальная тригонометрическая подстановка
- Вывод формул
- Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
- Доказательство
- Тригонометрические функции суммы и разности углов
- Примеры применения формул суммы и разности тригонометрических функций
- Формулы тройного угла.
- Формулы приведения.
- Основное тригонометрическое тождество:
- Соотношение между косинусом и тангенсом:
- Тригонометрические функции двойного угла
- Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса
Тригонометрические функции
tg α = | sin α | , α ≠ | π | + πn, n є Z |
cos α | 2 |
ctg α = | cos α | , α ≠ π + πn, n є Z |
sin α |
sec α = | 1 | , α ≠ | π | + πn, n є Z |
cos α | 2 |
cosec α = | 1 | , α ≠ π + πn, n є Z |
sin α |
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Формула | Название формулы |
![]() |
Сумма синусов |
![]() |
Разность синусов |
![]() |
Сумма косинусов |
![]() |
Разность косинусов |
![]() |
Сумма тангенсов |
![]() |
Разность тангенсов |
Сумма синусов |
![]() ![]() |
Разность синусов |
![]() ![]() |
Сумма косинусов |
![]() ![]() |
Разность косинусов |
![]() ![]() |
Сумма тангенсов |
![]() |
Разность тангенсов |
![]() |
Основные тригонометрические формулы
1 + tg2 α = | 1 |
cos2 α |
1 + ctg2 α = | 1 |
sin2 α |
Формулы сложения.
sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
sin (α – β) = sin α · cos β – sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β
cos (α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 – tg α · tg β)
tg (α – β) = (tg α – tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β – ctg α)
ctg (α – β) = (ctg α · ctg β – 1) ÷ (ctg β + ctg α)
Список формул
Запишем формулы суммы и разности синусов и косинусов. Как Вы понимаете, их четыре штуки: две для синусов и две для косинусов.

Теперь дадим их формулировки. При формулировании формул суммы и разности синусов и косинусов угол называют полусуммой углов
и
, а угол
– полуразностью. Итак,
- Формула суммы синусов
: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
- Формула разности синусов
: разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.
- Сумма косинусов
: сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности этих углов.
- Формула разности косинусов
: разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на синус полуразности этих углов, взятому со знаком минус.
Стоит отметить, что формулы суммы и разности синусов и косинусов справедливы для любых углов и
.
Список формул сложения
Для начала перечислим все формулы сложения, и дадим их формулировки. Для удобства представим их в виде списка:
- Формула синуса суммы
– синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.
- Синус разности двух углов
– синус разности двух углов равен разности произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.
- Формула косинуса суммы
– косинус суммы двух углов равен разности произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.
- Косинус разности
– косинус разности двух углов равен сумме произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.
- Тангенс суммы
.
- Тангенс разности
.
- Котангенс суммы
.
- Котангенс разности
.
Отдавая дань краткости, формулы сложения обычно группируют две в одну, используя знаки плюс минус вида и минус плюс
. В таком виде они выглядят так:

Каждая из записанных формул сложения соответствует двум формулам, перечисленным вначале этого пункта. Например, формула отвечает двум формулам: синусу суммы (когда берется верхний знак из
) и синусу разности (когда берется нижний знак из
).
Формулы сложения из таблицы называют соответственно формулами сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
В заключение этого пункта отметим, что формулы сложения для синуса и косинуса справедливы для любых углов и
. А формулы сложения для тангенса и котангенса справедливы для всех
и
, для которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы.
Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций
Формула | Название формулы |
![]() |
Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла |
![]() |
Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла |
![]() |
Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла |
Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла |
![]() |
Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла |
![]() |
Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла |
![]() |
Сумма аргументов
Действие | Формула |
Синус суммы углов | cos (α+β) = cos α cos β – sin α sin β‘ data-original-value=’cos (α+β) = cos α cos β – sin α sin β‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”3″ data-y=”3″ data-x=”1″ data-cell-id=”B3″>cos (α+β) = cos α cos β – sin α sin β |
Тангенс суммы углов | ctg (α+β) = (ctg α ctg β – 1) / (ctg β + ctg α)‘ data-original-value=’ctg (α+β) = (ctg α ctg β – 1) / (ctg β + ctg α)‘ data-cell-type=”text” data-db-index=”5″ data-y=”5″ data-x=”1″ data-cell-id=”B5″>ctg (α+β) = (ctg α ctg β – 1) / (ctg β + ctg α) |
Значения тригонометрических функций
α | 0 | ||||||||||||||||
α° | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
sin α | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | ||||||||||||
cos α | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | ||||||||||||
tg α | 0 | 1 | − | −1 | 0 | 1 | − | −1 | 0 | ||||||||
ctg α | − | 1 | 0 | −1 | − | 1 | 0 | −1 | − |
Универсальная тригонометрическая подстановка
sin α = | 2 tg (α/2) |
1 + tg2 (α/2) |
cos α = | 1 – tg2 (α/2) |
1 + tg2 (α/2) |
tg α = | 2 tg (α/2) |
1 – tg2 (α/2) |
ctg α = | 1 – tg2 (α/2) |
2 tg (α/2) |
Вывод формул
Для вывода формул суммы и разности синусов можно использовать формулы сложения, в частности, формулы
синуса суммы ,
синуса разности ,
косинуса суммы и
косинуса разности .
Также нам потребуется представление углов и
в виде
и
. Такое представление правомерно, так как
и
для любых углов
и
.
Теперь подробно разберем вывод формулы суммы синусов двух углов вида .
Сначала в сумме заменяем
на
, а
на
, при этом получаем
. Теперь к
применяем формулу синуса суммы, а к
– формулу синуса разности:
После приведения подобных слагаемых получаем . В итоге имеем формулу суммы синусов вида
.
Для вывода остальных формул нужно лишь проделать аналогичные действия. Приведем вывод формул разности синусов, а также суммы и разности косинусов:
Для разности косинусов мы привели формулы двух видов или
. Они эквивалентны, так как
, что следует из свойств синусов противоположных углов.
Итак, мы разобрали доказательство всех формул суммы и разности синусов и косинусов.
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
Формула | Название формулы |
![]() |
Выражение синуса угла через тангенс половинного угла |
![]() |
Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла |
![]() |
Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла |
Выражение синуса угла через тангенс половинного угла |
![]() |
Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла |
![]() |
Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла |
![]() |
Доказательство
Начнем с доказательства формулы косинуса разности . Она нам поможет доказать другие формулы сложения.
Перед доказательством стоит озвучить один не очень очевидный факт, который мы используем. Он заключается в следующем. Возьмем единичную окружность. Пусть точки A1 и A2 получены в результате поворота начальной точки A(1, 0) вокруг точки O на углы и
соответственно. Тогда угол между векторами
и
равен либо
, либо
, где z – любое целое число. Другими словами, угол между указанными векторами равен либо
, либо
, либо отличается от этих значений на целое число полных оборотов. Приведем графическую иллюстрацию для наглядности.

Более того, формулы приведения позволяют нам записать следующие результаты и
. Таким образом, косинус угла между векторами
и
равен косинусу угла
, то есть,
. Теперь можно переходить непосредственно к доказательству формулы косинуса разности.
В силу определений синуса и косинуса, точки A1 и A2 имеют координаты и
соответственно. Тогда
и
(при необходимости смотрите координаты векторов через координаты точек их начала и конца). Длины этих векторов равны единице, так как они равны радиусу единичной окружности.
Теперь запишем скалярное произведение векторов и
. С одной стороны имеем , а это же скалярное произведение в координатах имеет вид
. Отсюда получаем равенство
. Этим доказана формула косинуса разности.
Переходим к доказательству следующей формулы сложения. Формулу косинуса суммы легко доказать, используя уже доказанную формулу и представление вида . Имеем
последний переход возможен в силу свойств синуса и косинуса противоположных углов.
Из формулы косинуса разности легко получить формулу синуса суммы, достаточно лишь обратиться к формуле приведения вида . Так
в последнем переходе мы использовали формулы приведения.
А вот доказательство формулы синуса разности:
в последнем переходе использовалось свойство синуса и косинуса противоположных углов.
Переходим к доказательству формул сложения для тангенса и котангенса. Для этого достаточно вспомнить, что тангенс – это отношение синуса к косинуса, а котангенс – отношение косинуса к синусу, а также применить доказанные выше формулы.
Так . Теперь разделим числитель и знаменатель полученной дроби на
, учитывая что
и
, имеем
после сокращения дробей получаем .
В итоге имеем .
Теперь докажем формулу тангенса разности:
Формулы сложения для котангенса доказываются аналогично формулам сложения для тангенса:
и
Тригонометрические функции суммы и разности углов
tg(α + β) = | tg α + tg β |
1 – tgα · tg β |
tg(α – β) = | tg α – tg β |
1 + tgα · tg β |
ctg(α + β) = | ctgα · ctg β – 1 |
ctg β + ctg α |
ctg(α – β) = | ctgα · ctg β + 1 |
ctg β – ctg α |
Примеры применения формул суммы и разности тригонометрических функций
Пример. Вычислить точное значение следующего выражения:.
Решение. Так как невозможно найти точное решение ни для , ни для
попробуем использовать формулу (7).
![]() ![]() ![]() ![]() |
Ответ:
Формулы тройного угла.
sin 3α = 3sin α – 4sin³ α
cos 3α = 4cos³ α – 3cos α
tg 3α = (3tg α – tg³ α) ÷ (1 – 3tg² α)
ctg 3α = (3ctg α – ctg³ α) ÷ (1 – 3ctg² α)
Формулы приведения.
Функция / угол в рад. |
π/2 – α |
π/2 + α |
π – α |
π + α |
3π/2 – α |
3π/2 + α |
2π – α |
2π + α |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
sin |
cos α |
cos α |
sin α |
– sin α |
– cos α |
– cos α |
– sin α |
sin α |
cos |
sin α |
– sin α |
– cos α |
– cos α |
– sin α |
sin α |
cos α |
cos α |
tg |
ctg α |
– ctg α |
– tg α |
tg α |
ctg α |
– ctg α |
– tg α |
tg α |
ctg |
tg α |
– tg α |
– ctg α |
ctg α |
tg α |
– tg α |
– ctg α |
ctg α |
Функция / угол в ° |
90° – α |
90° + α |
180° – α |
180° + α |
270° – α |
270° + α |
360° – α |
360° + α |
Основное тригонометрическое тождество:
sin2α+cos2α=1
Данное тождество − результат применения теоремы Пифагора к треугольнику в единичном тригонометрическом круге.
Соотношение между косинусом и тангенсом:
1/cos2α−tan2α=1 или sec2α−tan2α=1.
Данная формула является следствием основного тригонометрического тождества и получается из него делением левой и правой части на cos2α. Предполагается, что α≠π/2+πn,n∈Z.
Тригонометрические функции двойного угла
tg 2α = | 2 tg α |
1 – tg2 α |
ctg 2α = | ctg2 α – 1 |
2 ctg α |
Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса
Формула | Название формулы |
![]() |
Выражение куба синуса через синус угла и синус тройного угла |
![]() |
Выражение куба косинуса через косинус угла и косинус тройного угла |
Выражение куба синуса через синус угла и синус тройного угла |
![]() |
Выражение куба косинуса через косинус угла и косинус тройного угла |
![]() |
- https://ru.onlinemschool.com/math/formula/trigonometry_formula/
- https://www.resolventa.ru/spr/trig/formula.htm
- https://www.calc.ru/Trigonometricheskiye-Formuly.html
- http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/sum_of_sin_and_cos.html
- http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/angle_addition_formulas.html
- https://MicroExcel.ru/summa-raznost-argumentov-trigonometricheskikh-funktsiy/
- https://doza.pro/art/math/geometry/trig-formulas
- https://matworld.ru/trigonometry/summa-i-raznost-trigonometricheskih-funkcij.php