Тригонометрические формулы – список основных формул

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности. Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Тригонометрические функции суммы и разности углов

sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
sin(αβ) = sin α · cos β – cos α · sin β
cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β
cos(αβ) = cos α · cos β + sin α · sin β
tg(α + β) = tg α + tg β
1 – tgα · tg β
tg(αβ) = tg α – tg β
1 + tgα · tg β
ctg(α + β) = ctgα · ctg β – 1
ctg β + ctg α
ctg(αβ) = ctgα · ctg β + 1
ctg β – ctg α

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Формула Название формулы
Выражение куба синуса через
синус угла и синус тройного угла
Выражение куба косинуса через
косинус угла и косинус тройного угла
Выражение куба синуса через
синус угла и синус тройного угла
Выражение куба косинуса через
косинус угла и косинус тройного угла

Список формул

Запишем формулы суммы и разности синусов и косинусов. Как Вы понимаете, их четыре штуки: две для синусов и две для косинусов.

Теперь дадим их формулировки. При формулировании формул суммы и разности синусов и косинусов угол называют полусуммой углов и , а угол – полуразностью. Итак,

  • Формула суммы синусов : сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
  • Формула разности синусов : разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.
  • Сумма косинусов : сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности этих углов.
  • Формула разности косинусов : разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на синус полуразности этих углов, взятому со знаком минус.

Стоит отметить, что формулы суммы и разности синусов и косинусов справедливы для любых углов и .

Формулы общего вида

Определения
Синус угла α (обозн. sin(α)) — отношение противолежащего от угла α катета к гипотенузе.
Косинус угла α (обозн. cos(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к гипотенузе.
Тангенс угла α (обозн. tg(α)) — отношение противолежащего к углу α катета к прилежащему. Эквивалентное определение — отношение синуса угла α к косинусу того же угла — sin(α)/cos(α).
Котангенс угла α (обозн. ctg(α)) — отношение прилежащего к углу α катета к противолежащему. Эквивалентное определение — отношение косинуса угла α к синусу того же угла — cos(α)/sin(α).
Другие тригонометрические функции: секанс — sec(α) = 1/cos(α); косеканс — cosec(α) = 1/sin(α).
Примечание
Мы специально не пишем знак * (умножить), — там, где две функции записаны подряд, без пробела, он подразумевается.
Подсказка
Для вывода формул косинуса, синуса, тангенса или котангенса кратных (4+) углов, достаточно расписать их по формулам соотв. косинуса, синуса, тангенса или котангенса суммы, либо сводить к предыдущим случаям, сводя до формул тройных и двойных углов.

Вывод формул


Для вывода формул суммы и разности синусов можно использовать формулы сложения, в частности, формулы
синуса суммы ,
синуса разности ,
косинуса суммы и
косинуса разности .

Также нам потребуется представление углов и в виде и . Такое представление правомерно, так как и для любых углов и .

Теперь подробно разберем вывод формулы суммы синусов двух углов вида .

Сначала в сумме заменяем на , а на , при этом получаем . Теперь к применяем формулу синуса суммы, а к – формулу синуса разности:

После приведения подобных слагаемых получаем . В итоге имеем формулу суммы синусов вида .

Для вывода остальных формул нужно лишь проделать аналогичные действия. Приведем вывод формул разности синусов, а также суммы и разности косинусов:

Для разности косинусов мы привели формулы двух видов или . Они эквивалентны, так как , что следует из свойств синусов противоположных углов.

Итак, мы разобрали доказательство всех формул суммы и разности синусов и косинусов.

Значения тригонометрических функций

α 0
α° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
sin α 0 1 0 −1 0
cos α 1 0 −1 0 1
tg α 0 1 −1 0 1 −1 0
ctg α 1 0 −1 1 0 −1

Формулы приведения



Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье формулы приведения.

Теория

Тригонометрия – раздел математики, изучающий зависимости углов и сторон треугольников, которые выражены функциями, называемыми тригонометрическими.

Функция – это правило, описывающее зависимость одной величины от другой.

Тождество – это равенство, справедливое при любых значениях, входящих в него переменных

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Формула Название формулы
Сумма синусов
Разность синусов
Сумма косинусов
Разность косинусов
Сумма тангенсов
Разность тангенсов
Сумма синусов
Разность синусов
Сумма косинусов
Разность косинусов
Сумма тангенсов
Разность тангенсов

Формулы двойного, тройного и т.д. угла


Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Тригонометрические функции

sin α, cos α
tg α = sin α , α π + πn, n є Z
cos α 2
ctg α = cos α , απ + πn, n є Z
sin α
sec α = 1 , α π + πn, n є Z
cos α 2
cosec α = 1 , απ + πn, n є Z
sin α

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Формула Название формулы
Выражение синуса угла через
тангенс половинного угла
Выражение косинуса угла через
тангенс половинного угла
Выражение тангенса угла через
тангенс половинного угла
Выражение синуса угла через тангенс половинного угла
Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла
Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла

Тригонометрические функции двойного угла

sin 2α = 2 sin α · cos α
cos 2α = cos2 α – sin2 α
tg 2α = 2 tg α
1 – tg2 α
ctg 2α = ctg2 α – 1
2 ctg α

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формула Название формулы
Выражение квадрата синуса
через косинус двойного угла
Выражение квадрата косинуса
через косинус двойного угла
Выражение квадрата тангенса
через косинус двойного угла
Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла
Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла
Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

Универсальная тригонометрическая подстановка

Обзор основных формул тригонометрии завершаем формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Такая замена получила название универсальной тригонометрической подстановки. Ее удобство заключается в том, что все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально без корней.

 

Формулы тройного угла

sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α
cos 3α = 4 cos3 α – 3 cos α
tg 3α = 3 tg α – tg3 α
1 – 3 tg2 α
ctg 3α = 3 ctg α – ctg3 α
1 – 3 ctg2 α

Примеры применения формул суммы и разности тригонометрических функций

Пример. Вычислить точное значение следующего выражения:.

Решение. Так как невозможно найти точное решение ни для , ни для попробуем использовать формулу (7).

Ответ:

Источники


  • http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/trigonometric_formulas.html
  • https://ru.onlinemschool.com/math/formula/trigonometry_formula/
  • https://www.resolventa.ru/spr/trig/formula.htm
  • http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/sum_of_sin_and_cos.html
  • https://scolaire.ru/trigonometriya_formula.php
  • https://doza.pro/art/math/geometry/trig-formulas
  • https://matworld.ru/trigonometry/summa-i-raznost-trigonometricheskih-funkcij.php

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: