Тригонометрические функции

Часто используемые значения косинуса

Косинус 0 градусов = 1

Косинус 30 градусов = 0,866025404 = {frac {sqrt{3}}{2}}

Косинус 45 градусов = 0,707106781 = {frac {sqrt{2}}{2}}

Косинус 60 градусов = 0,5 = {frac {1}{2}}

Косинус 90 градусов = 0

Косинус 120 градусов = -0,5 = {-frac {1}{2}}

Косинус 135 градусов = -0,707106781 = {-frac {sqrt{3}}{2}}

Косинус 180 градусов = -1

Таблица Брадиса – синусы и косинусы.

Таблица Брадиса – это таблица, помогающая при вычислениях в решении задач как в школе (на математике, алгебре, геометрии и физике в старших классах), так и в вузах. Таблица Брадиса – синусы и косинусы.

Как пользоваться таблицей Брадиса.

На некоторых примерах рассмотрим, как пользоваться таблицей Брадиса.

sin 7° = 0.1219 (косинусы находятся внизу) cos 82° = 0.1392.

sin 3°42′ = 0.0645 (ниже на изображении отмечено красным) cos 80°24′ = 0.1668.

Обратите внимание, все тоже самое верно и при определении значений тангенса и котангенса.

Далее рассмотрим вариант посложнее, когда угол, который представлен в таблице не указан, значит, нужно выбирать более близкое к нему значение (из значений, которые указаны в таблице синусов и косинусов), а на разницу, которая может составлять 1′,2′,3′, берем поправку из минут (желтая графа), как видно на примере:

sin 3°45′=sin 3°42′+3′=0.0645+0.0009=0.0654 либо

sin 3°45′=sin 3°48′−3′=0.0663−0.0009=0.0654

Кроме того, нужно помнить правило: для синуса у поправки неотрицательный знак, а у косинуса неположительный.

cos 80°27′=80°24′+3′=0.1668+(-0.0009)=0.1659 либо

cos 80°27′=80°30′−3′=0.1650−(-0.0009)=0.1659

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют указать значения тригонометрических функций для углов 0 и 90 градусов:
, а котангенс нуля градусов не определен, и
, а тангенс 90 градусов не определен.

В курсе геометрии из прямоугольных треугольников с углами 30, 60 и 90 градусов, а также 45, 45 и 90 градусов находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60 градусов:
,
и
.

Занесем указанные значения тригонометрических функций для углов 0, 30, 45, 60 и 90 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2 радиан) в таблицу, назовем ее таблицей основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Используя формулы приведения, только что составленную таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов можно расширить, дополнив значениями тригонометрических функций для углов 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315, 330 и 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). При этом она принимает следующий вид.

Опираясь на свойство периодичности синуса, косинуса, тангенса и котангенса, таблицу основных значений тригонометрических функций можно расширить еще, заменив углы 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов соответственно на , где z – любое целое число. Из такой таблицы можно найти значения для всех углов, которым соответствуют точки единичной окружности, указанные на чертеже ниже.

Основные значения тригонометрических функций, собранные в заполненной выше таблице, желательно знать наизусть, так как они очень часто используются при решении задач.

 

Тригонометрия. Свойства, графики тригонометрических функций.

Тригонометрия — раздел в математику, изучающий тригонометрические функции и их использование в геометрии. Тригонометрия. Свойства, графики тригонометрических функций.

Прямые тригонометрические функции.

– синус (sin x)

– косинус (cos x)

Таблица значений тригонометрических функций sin , cos , tg для наиболее популярных углов (таблица Брадиса).

α(град)

0

15

30

45

60

75

90

α(рад)

0

π/12

π/6

π/4

π/3

5π/12

π/2

sin

0

0,259

0,5

0,707

0,866

0,966

1

cos

1

0,966

0,866

0,707

0,5

0,259

0

tg

0

0,268

0,577

1

1,732

3,732

ctg

3,732

1,732

1

0,577

0,268

0

α(град)

120

135

150

180

270

360

α(рад)

2π/3

3π/4

5π/6

π

3π/2

sin

0,866

0,707

0,5

0

-1

0

cos

-0,5

-0,707

-0,866

-1

0

1

tg

-1,732

-1

-0,577

0

0

ctg

-0,577

-1

-1,732

0

Производные тригонометрические функции.

– тангенс (tg x)

– котангенс (ctg x)

Полная таблица Брадиса

sin 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ cos ± 1′ ± 2′ ± 3′
0,0000 90°
0,0000 0017 0035 0052 007 0087 0105 0122 014 0157 0175 89° 3 6 9
0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88° 3 6 9
0349 0366 0384 0401 0419 0436 0454 0471 0488 0506 0523 87° 3 6 9
0523 0541 0558 0576 0593 061 0628 0645 0663 068 0698 86° 3 6 9
0698 0715 0732 075 0767 0785 0802 0819 0837 0854 0872 85° 3 6 9
0872 0889 0906 0924 0941 0958 0976 0993 1011 1028 1045 84° 3 6 9
1045 1063 108 1097 1115 1132 1149 1167 1184 1201 1219 83° 3 6 9
1219 1236 1253 1271 1288 1305 1323 134 1357 1374 1392 82° 3 6 9
1392 1409 1426 1444 1461 1478 1495 1513 153 1547 1564 81° 3 6 9
1564 1582 1599 1616 1633 165 1668 1685 1702 1719 1736 80° 3 6 9
10° 1736 1754 1771 1788 1805 1822 184 1857 1874 1891 1908 79° 3 6 9
11° 1908 1925 1942 1959 1977 1994 2011 2028 2045 2062 2079 78° 3 6 9
12° 2079 2096 2113 213 2147 2164 2181 2198 2215 2233 225 77° 3 6 9
13° 225 2267 2284 23 2317 2334 2351 2368 2385 2402 2419 76° 3 6 8
14° 2419 2436 2453 247 2487 2504 2521 2538 2554 2571 2588 75° 3 6 8
15° 2588 2605 2622 2639 2656 2672 2689 2706 2723 274 2756 74° 3 6 8
16° 2756 2773 279 2807 2823 284 2857 2874 289 2907 2924 73° 3 6 8
17° 2924 294 2957 2974 299 3007 3024 304 3057 3074 309 72° 3 6 8
18° 309 3107 3123 314 3156 3173 319 3206 3223 3239 3256 71° 3 6 8
19° 3256 3272 3289 3305 3322 3338 3355 3371 3387 3404 342 70° 3 5 8
20° 342 3437 3453 3469 3486 3502 3518 3535 3551 3567 3584 69° 3 5 8
21° 3584 36 3616 3633 3649 3665 3681 3697 3714 373 3746 68° 3 5 8
22° 3746 3762 3778 3795 3811 3827 3843 3859 3875 3891 3907 67° 3 5 8
23° 3907 3923 3939 3955 3971 3987 4003 4019 4035 4051 4067 66° 3 5 8
24° 4067 4083 4099 4115 4131 4147 4163 4179 4195 421 4226 65° 3 5 8
25° 4226 4242 4258 4274 4289 4305 4321 4337 4352 4368 4384 64° 3 5 8
26° 4384 4399 4415 4431 4446 4462 4478 4493 4509 4524 454 63° 3 5 8
27° 454 4555 4571 4586 4602 4617 4633 4648 4664 4679 4695 62° 3 5 8
28° 4695 471 4726 4741 4756 4772 4787 4802 4818 4833 4848 61° 3 5 8
29° 4848 4863 4879 4894 4909 4924 4939 4955 497 4985 5 60° 3 5 8
30° 5 5015 503 5045 506 5075 509 5105 512 5135 515 59° 3 5 8
31° 515 5165 518 5195 521 5225 524 5255 527 5284 5299 58° 2 5 7
32° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446 57° 2 5 7
33° 5446 5461 5476 549 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592 56° 2 5 7
34° 5592 5606 5621 5635 565 5664 5678 5693 5707 5721 5736 55° 2 5 7
35° 5736 575 5764 5779 5793 5807 5821 5835 585 5864 5878 54° 2 5 7
36° 5878 5892 5906 592 5934 5948 5962 5976 599 6004 6018 53° 2 5 7
37° 6018 6032 6046 606 6074 6088 6101 6115 6129 6143 6157 52° 2 5 7
38° 6157 617 6184 6198 6211 6225 6239 6252 6266 628 6293 51° 2 5 7
39° 6293 6307 632 6334 6347 6361 6374 6388 6401 6414 6428 50° 2 4 7
40° 6428 6441 6455 6468 6481 6494 6508 6521 6534 6547 6561 49° 2 4 7
41° 6561 6574 6587 66 6613 6626 6639 6652 6665 6678 6691 48° 2 4 7
42° 6691 6704 6717 673 6743 6756 6769 6782 6794 6807 682 47° 2 4 6
43° 682 6833 6845 6858 6871 6884 6896 6909 6921 6934 6947 46° 2 4 6
44° 6947 6959 6972 6984 6997 7009 7022 7034 7046 7059 7071 45° 2 4 6
45° 7071 7083 7096 7108 712 7133 7145 7157 7169 7181 7193 44° 2 4 6
46° 7193 7206 7218 723 7242 7254 7266 7278 729 7302 7314 43° 2 4 6
47° 7314 7325 7337 7349 7361 7373 7385 7396 7408 742 7431 42° 2 4 6
48° 7431 7443 7455 7466 7478 749 7501 7513 7524 7536 7547 41° 2 4 6
49° 7547 7559 757 7581 7593 7604 7615 7627 7638 7649 766 40° 2 4 6
50° 766 7672 7683 7694 7705 7716 7727 7738 7749 776 7771 39° 2 4 6
51° 7771 7782 7793 7804 7815 7826 7837 7848 7859 7869 788 38° 2 4 5
52° 788 7891 7902 7912 7923 7934 7944 7955 7965 7976 7986 37° 2 4 5
53° 7986 7997 8007 8018 8028 8039 8049 8059 807 808 809 36° 2 3 5
54° 809 81 8111 8121 8131 8141 8151 8161 8171 8181 8192 35° 2 3 5
55° 8192 8202 8211 8221 8231 8241 8251 8261 8271 8281 829 34° 2 3 5
56° 829 83 831 832 8329 8339 8348 8358 8368 8377 8387 33° 2 3 5
57° 8387 8396 8406 8415 8425 8434 8443 8453 8462 8471 848 32° 2 3 5
58° 848 849 8499 8508 8517 8526 8536 8545 8554 8563 8572 31° 2 3 5
59° 8572 8581 859 8599 8607 8616 8625 8634 8643 8652 866 30° 1 3 4
60° 866 8669 8678 8686 8695 8704 8712 8721 8729 8738 8746 29° 1 3 4
61° 8746 8755 8763 8771 878 8788 8796 8805 8813 8821 8829 28° 1 3 4
62° 8829 8838 8846 8854 8862 887 8878 8886 8894 8902 891 27° 1 3 4
63° 891 8918 8926 8934 8942 8949 8957 8965 8973 898 8988 26° 1 3 4
64° 8988 8996 9003 9011 9018 9026 9033 9041 9048 9056 9063 25° 1 3 4
65° 9063 907 9078 9085 9092 91 9107 9114 9121 9128 9135 24° 1 2 4
66° 9135 9143 915 9157 9164 9171 9178 9184 9191 9198 9205 23° 1 2 3
67° 9205 9212 9219 9225 9232 9239 9245 9252 9259 9265 9272 22° 1 2 3
68° 9272 9278 9285 9291 9298 9304 9311 9317 9323 933 9336 21° 1 2 3
69° 9336 9342 9348 9354 9361 9367 9373 9379 9385 9391 9397 20° 1 2 3
70° 9397 9403 9409 9415 9421 9426 9432 9438 9444 9449 9455 19° 1 2 3
71° 9455 9461 9466 9472 9478 9483 9489 9494 95 9505 9511 18° 1 2 3
72° 9511 9516 9521 9527 9532 9537 9542 9548 9553 9558 9563 17° 1 2 3
73° 9563 9568 9573 9578 9583 9588 9593 9598 9603 9608 9613 16° 1 2 2
74° 9613 9617 9622 9627 9632 9636 9641 9646 965 9655 9659 15° 1 2 2
75° 9659 9664 9668 9673 9677 9681 9686 969 9694 9699 9703 14° 1 1 2
76° 9703 9707 9711 9715 972 9724 9728 9732 9736 974 9744 13° 1 1 2
77° 9744 9748 9751 9755 9759 9763 9767 977 9774 9778 9781 12° 1 1 2
78° 9781 9785 9789 9792 9796 9799 9803 9806 981 9813 9816 11° 1 1 2
79° 9816 982 9823 9826 9829 9833 9836 9839 9842 9845 9848 10° 1 1 2
80° 9848 9851 9854 9857 986 9863 9866 9869 9871 9874 9877 0 1 1
81° 9877 988 9882 9885 9888 989 9893 9895 9898 99 9903 0 1 1
82° 9903 9905 9907 991 9912 9914 9917 9919 9921 9923 9925 0 1 1
83° 9925 9928 993 9932 9934 9936 9938 994 9942 9943 9945 0 1 1
84° 9945 9947 9949 9951 9952 9954 9956 9957 9959 996 9962 0 1 1
85° 9962 9963 9965 9966 9968 9969 9971 9972 9973 9974 9976 0 0 1
86° 9976 9977 9978 9979 998 9981 9982 9983 9984 9985 9986 0 0 0
87° 9986 9987 9988 9989 999 999 9991 9992 9993 9993 9994 0 0 0
88° 9994 9995 9995 9996 9996 9997 9997 9997 9998 9998 9998 0 0 0
89° 9998 9999 9999 9999 9999 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0 0 0
90° 0,0000

Другие тригонометрические функции.

– секанс (sec x)

– косеканс (cosec x)

В современном мире есть 6 базовых тригонометрических функций, которые ниже в таблице указаны вместе с уравнениями, которые связывают их.

Функция

Соотношение

sin

cos

tg или tan

ctg или cot

sec

cosec или csc

Тригонометрия. Обратные тригонометрические функции. Арксинус.

Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям . Тригонометрия. Обратные тригонометрические функции. Арксинус.

Как пользоваться таблицей Брадиса косинусов или синусов

Таблица Брадиса для синусов и косинусов даёт значение синуса любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса, на пересечении строки, имеющей в заголовке (слева) соответствующее число минут. Так, sin 70° 30`=0.9426. Для получения синусов прочих углов нужна интерполяция, вводящая поправку на равность между данным углом и ближайшим табличным. Эта поправка берется из соответствующего столбца поправок справа (курсив). Она прибавляется к ближайшему меньшему значению синуса, если данный угол превосходит ближайший меньший табличный на 1,2,3 минуты, и отнимается от ближайшего большего табличного синуса в остальных случаях. Например, sin 70° 32`=0,9428, так как 9426+2=9428, и sin 70° 34`= 0,9430, так как 9432-2=9430. Та же таблица синусов и косинусов служит для разыскания косинусов, при чем надо пользоваться нумерацией градусов справа, нумерацией минут снизу и не забывать, что при возрастании острого угла его косинус убывает. Подыскание косинусов можно устранить, звменяя их синусами дополнительных углов.
Значение тангенса любого острого угла, содержащего целое число градусов и минут определяется по табл. если угол заключен между 0° и 76°, и по таблице тангенсов если между 76° и 90. Работа по таблице тангенсов и котангенсов требует применения интерполяции, облегчаемой поправками, помещенными в столбцах справа (курсив) и ничем не отличается от работы таблицы sin и cos. Тангенсы углов, которые больше 76 градусов, содержащих целое число градусов и минут, табл. дает непосредственно (без интерполяции).
Таблицы Брадиса по синусам, косинусам, тангенсам и котангенсам позволяют решать и обратный вопрос, то есть находить острый угол по данному значению его синуса или тангенса.

Таблица Брадиса – тангенсы и котангенсы.

Таблица Брадиса – это таблица, помогающая при вычислениях в решении задач как в школе (на математике, алгебре, геометрии и физике в старших классах), так и в вузах. Таблица Брадиса – тангенсы и котангенсы.
Источники


  • https://mnogoformul.ru/tablica-sinusov-i-kosinusov
  • https://www.calc.ru/Tablitsa-Bradisa-Tangensy-I-Kotangensy.html
  • https://www.calc.ru/Tablitsa-Bradisa-Sinusy-I-Kosinusy.html
  • http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/tables_of_sin_cos_tg_ctg.html
  • https://www.calc.ru/Trigonometricheskiye-Funktsii-Znacheniye-Trigonometricheskik.html
  • https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/tablica-bradisa/sinus-i-cosinus/

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об Экселе: формулы, полезные советы и решения
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: